# Ondas estacionarias en una cuerda no homogénea

#  | ## Movimiento ondulatorio

    Propagación de un
    movimiento ondulatorio
    Descripción de la
    propagación
    Movimiento ondulatorio
    armónico
    Medida de la velocidad
    del sonido
    Ondas transversales en
    una cuerda
    Ondas estacionarias (I)
    Vibraciones barra
    Ondas estacionarias (II)
    Ondas longitudinales
    en una barra elástica
    Reflexión y transmisión
    de ondas
    Ley de Snell de la
    refracción
    Espejismos
|  | Solución de la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio Frecuencias de los modos de vibración de la cuerda Amplitud de las ondas estacionarias Casos especiales Actividades Referencias
En esta página, estudiamos las ondas estacionarias producidas en una cuerda no homogénea sujeta por ambos extremos. La cuerda de longitud 2L está formada por dos mitades de la misma longitud L pero de distinta densidad lineal m1 y m2 respectivamente. La tensión T de la cuerda es igual al peso que cuelga de su extremo derecho. ## Solución de la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio Las ecuaciones diferenciales del movimiento ondulatorio, son respectivamente Ψ es el desplazamiento trasversal de un punto x de la cuerda en el instante t. v1 y v2 son las velocidades de propagación de las ondas trasversales en las partes izquierda y derecha de la cuerda Siguiendo los mismos pasos que para una cuerda homogénea sujeta por ambos extremos, ensayamos la solución Ψ(x,t)=y(x)sen(ωt) que describe una onda estacionaria. Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω. Introduciendo esta expresión en cada una de las dos ecuaciones diferenciales del movimiento ondulatorio obtenemos las ecuaciones diferenciales similares a las de un M.A.S. Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales son y1(x)=A1sen (k1x)+B1cos(k1x) y2(x)=A2sen (k2x)+B2cos(k2x) k1=ω/v1 y k2=ω/v2 son los números de onda, respectivos Los coeficientes A1, B1, A2 y B2, vienen determinados por la continuidad de la función de onda en x=0, y por las condiciones de contorno en los extremos fijos x=-L y x=+L. ### Continuidad de la función que describe la onda estacionaria En el punto x=0, las dos mitades de la cuerda se unen. La función que describe la onda estacionaria tiene que ser continua y también su derivada primera. y1(0)=y2(0) B1=B2 La función que describe la amplitud de la onda estacionaria y(x) en cada una de las dos partes de la cuerda es y1(x)=A1sen (k1x)+B1cos(k1x) y2(x)=A1(k1/ k2)sen (k2x)+B1cos(k2x) ### Condiciones de contorno El extremo izquierdo de la cuerda está sujeto en x=-L y el extremo derecho en x=+L. Se tiene que cumplir que y1(-L)=0 y y2(+L)=0 A1 sen (k1L)=B1cos(k1L) A1(k1/k2)sen (k2L)=-B1cos(k2L) Dividiendo miembro a miembro eliminamos A1 y B1. ## Frecuencias de los modos de vibración de la cuerda Para calcular las frecuencias de los modos de vibración de la cuerda se resuelve la ecuación trascendente Se dibujan las funciones z=v1tan(2πfL/v1) z=v2tan(2πfL/v2) en función de la frecuencia f . Las abscisas de los puntos de intersección son las frecuencias f1, f2, f3, … de los distintos modos de vibración tal como se muestra en la figura. En la figura, se representa la primera función para v1=40 m/s (en azul), y la segunda para v2=80 m/s (en rojo), en ambos casos, la longitud de cada una de las dos mitades de la cuerda es L= 1m. Se ha empleado el procedimiento numérico del el punto medio para calcular las frecuencias. Para ello, hay que calcular las raíces de la ecuación trascendente Una representación gráfica de esta función, nos sugiere que esta no es una forma conveniente, para aplicar dicho procedimiento numérico, ya que la función tangente crece rápidamente con el argumento. Expresamos la ecuación anterior de la forma equivalente En la figura, se representa esta función en función de la frecuencia f, ω=2πf cuando v1=40 m/s v2=80 m/s y L=1 m. Los ceros de la función, los puntos de corte con el eje horizontal son las frecuencias f1, f2, f3, …de los distintos modos de vibración: 12.2, 27.8, 40.0, 52.2, 67.8, 80.0,.. Hz ## Amplitud de las ondas estacionarias Despejamos A1, en las dos ecuaciones que resultan de aplicar las condiciones de contorno, y la sustituimos en las dos funciones que describen la amplitud de la onda estacionaria y(x) en cada una de las dos partes de la cuerda Para el modo de vibración ω=2πf. B1 es un factor de escala. Para que todos los modos de vibración se representen a la misma escala se calcula B1 de modo que el área bajo la curva La integral definida de la izquierda es el área sombreada en color azul y la integral de la derecha es el área sombreada en color rojo. Después de realizar algunas operaciones se llega al siguiente resultado Para obtener este resultado, se ha empleado las integrales siguientes: y de modo similar, para la parte derecha de la cuerda ## Casos especiales Para ciertas frecuencias puede ocurrir que sen(ωL/v1) y sen(ωL/v2) sean ambos cero a la vez. Por ejemplo, cuando v1=40 m/s y v2=80 m/s con L=1 m tenemos que sen(ωL/v1)=0 para 2πf1L/v1=n1π donde n1 es un entero. Las frecuencias f1=20n1 son f1=20, 40, 60, 80, 100,…Hz sen(ωL/v2)=0 para 2πf2L/v2=n2π donde n2 es un entero. Las frecuencias f2=40n2 son f2=40, 80, … Hz Las frecuencias comunes son f1= f2=40, 80, 120… Hz Las frecuencias especiales son aquellas f1=n1v1/(2L) y f2=n2v2/(2L) para las cuales se cumple que n1v1=n2v2 donde n1 y n2 son enteros Corresponden a los modos de vibración de la cuerda para las cuales el área se hace infinita y B1 tiende a cero. Pero la amplitud y(x) del modo de vibración no es cero sino una expresión que vamos a calcular a continuación En la ecuación trascendente que calcula las frecuencias de los modos de vibración cuando sen(ωL/v1) =sen(ωL/v2) se cumple que v1·cos(ωL/v2) +v2·cos(ωL/v1)=0 Tenemos la igualdad que introducimos en la larga expresión que calcula el factor de escala B1, a continuación, sacamos factor común al cociente Cuando sen(ωL/v1)→0 o el cociente c→∞, obtenemos La amplitud de los modos de vibración para estas frecuencias especiales es Cuando sen(ωL/v1)→0 que como podemos comprobar, cumple las condiciones de continuidad en x=0 y las de contorno en x=-L y en x=L. ## Actividades Se introduce La velocidad de propagación v1 de las ondas en la parte izquierda de la cuerda, actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad 1. La velocidad de propagación v2 de las ondas en la parte izquierda de la cuerda, actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad 2. La longitud de cada una de las dos mitades de la cuerda se ha fijado en L=1 m. Se pulsa el botón titulado Inicio Se calculan las frecuencias de los distintos modos de vibración de la cuerda utilizando el procedimiento numérico del punto medio. Se representa el modo fundamental de vibración de la cuerda de frecuencia ω=2πf1 Ψ1(x,t)=y1(x)sen(ωt) en el intervalo -L<x<0 Ψ2(x,t)=y2(x)sen(ωt) en el intervalo 0<x<+L Se representan los otros modos de vibración de frecuencias f2, f3, f4 ..., pulsando en el botón titulado Siguiente>> y Anterior<<.

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## Referencias

Clendenning L. M. A laboratory approach to eigenvalue problem. Am. J. Phys. 36 (10) October 1968, pp. 879-881