# Modos normales de vibración de una barra elástica

#  | ## Movimiento ondulatorio

    Propagación de un
    movimiento ondulatorio
    Descripción de la
    propagación
    Movimiento ondulatorio
    armónico
    Medida de la velocidad
    del sonido
    Ondas transversales en
    una cuerda
    Ondas estacionarias (I)
    Vibraciones barra
    Ondas estacionarias (II)
    Ondas longitudinales
    en una barra elástica
    Reflexión y transmisión
    de ondas
    Ley de Snell de la
    refracción
    Espejismos
|  | Ondas estacionarias en una cuerda Modos normales de vibración de una barra elástica con ambos extremos fijos Modos normales de vibración de una barra elástica con un extremo libre Medida del módulo de Young de una barra elástica Referencias
Vamos a comprobar que los modos de vibración de una barra con ambos extremos fijos son similares a los de una cuerda aunque su descripción analítica es mucho más complicada. En primer lugar, volvemos a obtener la fórmula de las frecuencias de los modos normales de vibración de una cuerda cuyos extremos están fijos por otro procedimiento más general que nos va a servir de modelo para describir los modos de vibración de una barra con ambos extremos fijos. ## Ondas estacionarias en una cuerda La ecuación diferencial del movimiento ondulatorio es siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda y ψ el desplazamiento trasversal de un punto x de la cuerda en el instante t. Estudiamos una solución de la forma ψ(x,t)=y(x)·sen(ωt) Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω. La ecuación diferencial se convierte en La solución de esta ecuación diferencial, similar a la de un M.A.S., es y=Asen (kx)+Bcos(kx) con k=ω/v que es el número de onda Las condiciones de contorno son: La cuerda está fija por sus extremos x=0 y x=L De la primera condición, tenemos que B=0. y de la segunda, sen(kL)=0 o bien, kL=nπ, con n=1, 2, 3,… que nos da los distintas frecuencias de vibración de la cuerda La amplitud de las oscilaciones de los puntos x de la cuerda en el modo normal n es Estas funciones cumplen que La integral es el área bajo la curva de la figura inferior. ## Modos normales de vibración de una barra elástica con extremos fijos Para encontrar los modos normales de vibración de una barra elástica con ambos extremos fijos seguimos un procedimiento similar La ecuación diferencial del movimiento de un elemento de la barra es Siendo ψ el desplazamiento trasversal de un punto x de la barra en el instante t. ρ es la densidad de la barra Y es el módulo de Young del material de la barra. I=ab3/12 es el momento de inercia de la sección trasversal rectangular de la barra de anchura a y espesor b. Estudiamos una solución de la forma ψ(x,t)=y(x)·sen(ωt) Cada punto x de la barra vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω. La ecuación diferencial se convierte en Las raíces de la ecuación característica son son dos raíces reales y dos imaginarias r=q, r=-q, r=iq, r=-iq La solución general es o de forma equivalente y=A1senh(qx)+A2·cosh(qx)+A3·sen(qx)+A4·cos(qx) La pendiente o derivada de y es, Condiciones de contorno. La barra está firmemente sujeta por sus extremo x=0, y la pendiente en este punto es dy/dx=0. 0=A2+A4 0=A1+A3 La barra está firmemente sujeta por sus extremo x=L, y la pendiente en este punto es dy/dx=0. 0=A1(senh(qL)-sen(qL))+A2(cosh(qL)-cos(qL)) 0=A1(cosh(qL)-cos (qL))+A2(senh(qL)+sen(qL)) Eliminado A1 y A2 obtenemos una ecuación trascendente en qL (senh(qL)-sen(qL))·(senh(qL)+sen(qL))-(cosh(qL)-cos (qL))2=0 Las raíces rn=qn·L de esta ecuación se calculan por el procedimiento numérico del punto medio, sus primeros cinco valores son: rn=4.73, 7.85, 11.00, 14.14, 17.27 Conocido los valores posibles de qn se calculan las frecuencias de vibración ωn=2πfn Donde fn es la frecuencia del modo normal n de vibración y Cn es un número que corresponde a este modo. Sus primeros valores son: C1=3.56, C2=9.82, C3=19.2, C4=31.8, C5=47.5, etc. El coeficiente Cn es independiente de las características de la barra y el segundo término, bajo la raíz, depende del material y de las dimensiones de la barra. La amplitud de la vibración y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n es: El valor de la constante de proporcionalidad A es la escala vertical. Para que todos los modos de vibración estén dibujados a la misma escala, se calcula A de modo que ### Aproximaciones Cuando qL es grande exp(-qL)≈0 y el seno y el coseno hiperbólico se pueden aproximar a exp(-qL)/2. Con esta aproximación la ecuación trascendente (senh(qL)-sen(qL))·(senh(qL)+sen(qL))-(cosh(qL)-cos (qL))2=0 se reduce a cos(qL)=1/exp(qL). Si qL es grande cos(qL)=0, Las raíces de esta ecuación son qnL=π/2+n π Los cinco primeros valores de rn=qnL son rn=4.71, 7.85, 11.00, 14.14, 17.28. Son prácticamente los mismos, que los calculados resolviendo la ecuación trascendente por procedimientos numéricos La amplitud y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n se puede aproximar a Se puede calcular el valor aproximado de la integral Para obtener el integrando, hay que integrar dos veces por partes exp(-qnx)·sen(qnx), y lo mismo, exp(-qnx)·cos (qnx). Para calcular el valor aproximado de la integral, se ha despreciado los términos exp(-qnL) y exp(-2qnL) y por otra parte, cos(2qnL)=0. ### Ejemplo: Sea una barra de acero densidad ρ=7.8 g/cm3, módulo de Young Y=20.6·1010 N/m2 de dimensiones a=2.54 cm de ancho, b=0.76 mm de espesor y longitud L=20.3 cm. El momento de inercia de la sección trasversal es I=ab3/12=9.29·10-13 m4 La frecuencia del modo fundamental de vibración vale La frecuencia del segundo modo normal de vibración será f2=9.82·27.36=269 Hz y así, sucesivamente. Como se describe en el artículo citado en las referencias, se puede diseñar una experiencia que permita excitar un modo normal de vibración de la barra, medir la frecuencia con un osciloscopio, y calcular el módulo de Young de la barra. Previamente, se miden las dimensiones de la barra (longitud, anchura y espesor) con los instrumentos adecuados y se pesa en una balanza para determinar su densidad (masa/volumen). ### Actividades El programa interactivo, resuelve la ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio, calculando las cinco primeras raíces. Representa la amplitud y(x) de los puntos x de la barra para los cinco primeros modos de vibración y proporciona el valor de los coeficientes Cn Se pulsan los botones titulados Siguiente>> y <<Anterior

## Modos normales de vibración de una barra elástica con un extremo libre Para encontrar los modos normales de vibración de una barra elástica con un extremo libre seguimos un procedimiento similar La solución general de la ecuación que describe las vibraciones de una barra es. ψ(x,t)=y(x)·sen(ωt) La solución de la ecuación diferencial, la amplitud y(x) de la vibración de los puntos x de la barra y(x)=A1senh(qx)+A2·cosh(qx)+A3·sen(qx)+A4·cos(qx) Las condiciones de contorno cambian La barra está firmemente sujeta por su extremo izquierdo x=0, y la pendiente en este punto es dy/dx=0. 0=A2+A4 0=A1+A3 En el extremos derecho libre x=L, y(L) y su pendiente dy/dt no son cero, pero el momento y la fuerza son cero, lo que implica que d2y/dx2=0 y d3y/dx3=0 A1(senh(qL)+sen(qL))+A2(cosh(qL)+cos(qL))=0 A1(cosh(qL)+cos (qL))+A2(senh(qL)-sen(qL))=0 Eliminado A1 y A2 obtenemos una ecuación trascendente en qL cosh(qL)·cos (qL)=-1 Las raíces rn=qn·L de esta ecuación se calculan por el procedimiento numérico del punto medio, sus primeros valores son: rn=1.875, 4.693, 7.855, 10.996, … Conocido los valores posibles de qn se calculan las frecuencias de vibración ωn=2πfn Donde fn es la frecuencia del modo normal n de vibración y Cn es un número que corresponde a este modo. Sus primeros valores son: C1=0.56, C2=3.51, C3=9.82, C4=19.24, … El coeficiente Cn es independiente de las características de la barra y el segundo término, bajo la raíz, depende del material y de las dimensiones de la barra. La amplitud y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n es: El valor de la constante de proporcionalidad A es la escala vertical. Para que todos los modos de vibración estén dibujados a la misma escala, se calcula A de modo que ### Ejemplo: Sea una barra de acero del ejemplo del apartado anterior La frecuencia del modo fundamental de vibración es, f1=0.56·27.36=15.3 Hz La frecuencia del segundo modo normal de vibración es, f2=3.51·27.36=96.0 Hz y así, sucesivamente. ### Actividades El programa interactivo, resuelve la ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio, calculando las cinco primeras raíces. Representa la amplitud y(x) de los puntos x de la barra para los cinco primeros modos de vibración y proporciona el valor de los coeficientes Cn Se pulsan los botones titulados Siguiente>> y <<Anterior

## Medida del módulo de Young de una barra elástica En la figura, se muestra el esquema del dispositivo experimental: Una varilla de acero de densidad ρ=7800 kg/m3, de sección rectangular anchura a= 2.54 mm, altura b=0.76 mm sujeta firmemente por su extremo izquierdo. La varilla de longitud L se pone a oscilar mediante una bobina conectada a un generador de frecuencia variable. Se va modificando la frecuencia del generador hasta que la varilla entra en resonancia en su modo fundamental cuya frecuencia es Midiendo f1, para una longitud L de la varilla, calculamos el módulo de Young en unidades 109 o GPa. ### Actividades Se pulsa el botón titulado Nuevo El programa interactivo genera un número aleatorio entre 160 y 210 que representa el módulo de Young Y en 109 N/m2 o GPa Se introduce La longitud L de la varilla en mm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud. La parte entera de frecuencia f en Hz, actuando en la barra de desplazamiento titulada Frecuencia. La parte decimal de la frecuencia, seleccionado un número 0-9 en el control de selección titulado Décimas. Se pulsa el botón titulado Empieza Se va cambiando de frecuencia actuando en la barra de desplazamiento, hasta observar que la varilla oscila. Se ajusta la parte decimal hasta conseguir que la amplitud de la oscilación sea máxima. El botón Pausa detiene el movimiento de la varilla, y pulsando sucesivamente el botón Paso, podemos medir con la regla el máximo desplazamiento del extremo derecho de la varilla. Una vez que se ha medido la frecuencia de resonancia (parte entera y primer decimal) se pulsa el botón titulado Datos, para guardar el par de datos (longitud, frecuencia) en el área de texto situado en la parte izquierda del applet. Se cambia la longitud de la varilla y se vuelve a buscar la frecuencia de resonancia del primer modo de vibración. Cuando tengamos varios pares de datos se pulsa el botón titulado Gráfica. Se representa en el eje vertical la frecuencia de resonancia f1 en Hz y en el eje horizontal la longitud L de la varilla en cm. Conocida la longitud L de la varilla y la frecuencia f1 de su modo fundamental de vibración, se despeja el módulo de Young Y en GPa (109 N/m2) de la fórmula Se completa una tabla como la siguiente
Longitud L (m) | Frecuencia f1 (Hz) | Módulo de Young Y (GPa)
| Valor medio |

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## Referencias

Wilson F., Lord A. E., Young's modulus determination via simple, inexpensive static and dynamic measurements. Am. J. Phys. 41, May 1973, pp. 653-656.

Turvey K. An undergraduate experiment on the vibration of a cantilever and its application to the determination of Young's modulus. Am. J. Phys. 58 (5) May 1990, pp. 483-487