# Interferencia de ondas producidas por dos fuentes (II)

#  | ## Movimiento ondulatorio

    Interferencia y
    difracción
    Tubo de Quincke
    Interferencia de las
    ondas producidas
    por dos fuentes (I)
    Interferencia de las
      ondas producidas
      por dos fuentes (II)
    Interferencia de la
    ondas producidas
    por varias fuentes
    Difracción producida
    por una rendija
    Interferencia más
    difracción
    Difracción abertura
    rectangular y circular
    Difracción de Fresnel
|  | Interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas Intensidad Actividades Referencias
En esta página, se prosigue el estudio de la interferencia producida por dos fuentes sincrónicas en el plano que contiene las dos fuentes y el punto de observación. ## Interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S2 que oscilan en fase con la misma frecuencia angular w , y que emiten ondas armónicas.
| Cuando emite solamente S1 el punto P describe el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de amplitud A1 y frecuencia angular w . y 1=A1·sen(kr1-w t) Cuando emite solamente S2 el punto P describe el M.A.S. de amplitud A2 y frecuencia angular w . y 2=A2·sen(kr2-w t)
Cuando emiten simultáneamente S1 y S2. El punto P describe un M.A.S. que es la composición de dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia. Los casos más importantes son aquellos en los que los M.A.S. están en fase y en oposición de fase. En fase o interferencia constructiva.
| Dos M.A.S están en fase cuando la diferencia de fase kr2-kr1 es un múltiplo entero de 2p .Teniendo en cuenta que k=2p /l kr2-kr1 =2n p r2-r1 =nλ La amplitud resultante es la suma de amplitudes A=A1+A2
En oposición de fase o interferencia destructiva.
| Dos M.A.S están en oposición de fase cuando la diferencia de fase kr2-kr1 es un múltiplo entero de p .Teniendo en cuenta que k=2p /l kr2-kr1 =(2n+1)p r2-r1 =(n+½)λ La amplitud resultante es la diferencia de amplitudes. Si ambas son iguales, el punto P no se mueve.
### Amplitud resultante En el caso general, es necesario sumar vectorialmente las amplitudes para obtener la resultante. La amplitud es máxima A=A1+A2 cuando kr2-kr1=2nπ La amplitud es mínima A=A1-A2 cuando kr2-kr1=(2n+1)π Si la separación d de las fuentes S1 y S2 es pequeña comparada con la distancia desde las fuentes hasta la pantalla, podemos despreciar la pequeña diferencia entre r1 y r2 y suponer que las amplitudes A1 y A2 son prácticamente iguales. Podemos escribir ### Máximos y mínimos de intensidad
| En la figura, vemos la amplitud debida a la interferencia de las ondas emitidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d, tal como se vería en una cubeta de ondas cuando nos situamos cerca de las fuentes.
| En la figura, vemos la intensidad debida a la interferencia de las ondas producidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d, codificada en escala de grises. El color negro indica mínimo de intensidad y el color blanco máximo de intensidad.
| Las curvas que describen los máximos (en color azul) y mínimos (en color rojo) de intensidad es el lugar geométrico de los puntos (x, y) cuya ecuación y=f(x) vamos a determinar
El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de caminos es Δ es r2-r1=Δ. r2 es la distancia de la fuente S2 al punto P y r1 es la distancia de la fuente S1 al punto P.
| Δ=2nπ, si la interferencia es constructiva (máximo de intensidad) Δ=(2n+1)π/2, si la interferencia es destructiva (mínimo de intensidad)
Si las coordenadas del punto P son (x, y), y (0, ±d/2) son las posiciones de las fuentes, la ecuación de la curva r2-r1=Δ. es Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz cuadrada Elevando al cuadrado ambos miembros otra vez, obtenemos que es la ecuación de una hipérbola Si la pantalla se encuentra a una distancia x de las fuentes. Las posiciones de los máximos y los mínimos se calculan despejando y de la ecuación de la hipérbola
| El primer máximo, se produce cuando Δ=0, y=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2, El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ El segundo mínimo, se produce cuando Δ=3λ/2 y así, sucesivamente.
Como podemos apreciar en la figura, la hipérbola se aproxima a una recta, su asíntota, cuando nos alejamos una distancia no demasiado grande de las fuentes. Despejamos el cociente y/x en la ecuación de la hipérbola La pendiente de la asíntota se calcula en el límite cuando x→∞ Empleando la relación trigonométrica Con esta aproximación, la diferencia de caminos r2-r1=Δ≈d·senθ. Esta última relación, nos permite determinar las direcciones θ para las cuales la interferencia es constructiva o destructiva.
| El primer máximo, se produce cuando Δ=0, para el ángulo θ=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2, para el ángulo d·senθ= λ/2 El segundo máximo, se produce para Δ=λ, para el ángulo d·senθ= λ El segundo mínimo, se produce para Δ=3λ/2, para el ángulo d·senθ= 3λ/2
Si la pantalla está a una distancia x de las fuentes, la posición y de los máximos y mínimos de intensidad se calcula mediante al relación y=x·tanθ En la mayor parte de los experimentos, incluso en la cubeta de ondas es difícil apreciar la parte curva de las hipérbolas, lo podemos comprobar al final de la página en la simulación de la cubeta de ondas. En un experimento de óptica, la distancia entre las fuentes d=2·10-4 m, la longitud de onda λ=6·10-7 m, y la distancia a la pantalla x=2 m. ### Ejemplo La separación entre las fuentes es d=100 La longitud de onda es λ=50 La posición de la pantalla se encuentra en x=100, Determinar las posiciones y de los máximos y mínimos de intensidad a lo largo de la pantalla. Utilizamos la fórmula El primer máximo, se produce cuando Δ=0, y=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2=25, y=28.7 El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ=50, y=62.9 El segundo mínimo, se produce cuando Δ=3λ/2=75, y=119.4 Se aleja la pantalla de las fuentes en la posición x=200 El primer máximo, se produce cuando Δ=0, y=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2=25, y=53.1 El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ=50, y=118.1 Si suponemos que la hipérbola en esta posición se aproxima a una recta, su asíntota Calculamos las direcciones mediante la fórmula d·senθ=Δ y las posiciones mediante la expresión, y=x·tanθ El primer máximo, se produce cuando Δ=0, θ=0, y=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ=λ/2=25, θ=14.5º, y=51.6 El segundo máximo, se produce cuando Δ=λ=50, θ=30º, y=115.5 Como vemos, aunque la pantalla sigue estando cerca de las fuentes la aproximación d·senθ=Δ, da buenos resultados. ## Intensidad Las condiciones de interferencia son
Interferencia constructiva, r2-r1=nl . Interferencia destructiva, r2-r1=(n+½)l
Las direcciones q para las cuales la interferencia es constructiva o destructiva se calculan
Interferencia constructiva, d·senq ≈nl . Interferencia es destructiva, d·senq ≈(n+½)l
Las posiciones y sobre la pantalla situada a una distancia x de las fuentes, que registran interferencia constructiva y destructiva se calculan mediante y=x·tgq . Si el ángulo q es pequeño podemos hacer la aproximación, senq ≈tgq =y/x La intensidad de un movimiento ondulatorio es proporcional al cuadrado de la amplitud, I es la intensidad resultante en el punto P cuando las dos fuentes emiten simultáneamente, e I0 es la intensidad en el punto P debido a una sola de las fuentes.
En la interferencia constructiva, d·senq =nl y la intensidad I=22I0. En la interferencia destructiva, d·senq =(n+½)l y la intensidad I=0.
En la figura, se muestra la gráfica de la intensidad, el máximo es 4I0. y el mínimo 0. ## Actividades Se introduce La longitud de onda λ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud de onda, o en el control de edición correspondiente. La separación d, entre las dos fuentes, actuando en la barra de desplazamiento titulada Separación , o en el control de edición correspondiente. Se pulsa el botón titulado Dibuja Se muestra, a la izquierda del applet, el diagrama de amplitudes resultado de la interferencia de las ondas producidas por las dos fuentes sincrónicas. Esta figura es similar a la que se puede observar en el laboratorio cuando se realiza una experiencia con la cubeta de ondas. A la derecha, el diagrama de intensidades. La intensidad en cada punto se codifica mediante un color perteneciente a la escala de grises. La intensidad máxima corresponde al blanco y la mínima al color negro. Si se activa la casilla titulada Posiciones y se pulsa el botón titulado Dibuja Se sustituye este último diagrama, por la representación gráfica de las hipérbolas que describen el lugar geométrico de los puntos P tal que la diferencia de caminos r2-r1 de las fuentes S2 y S1 al punto P es un múltiplo entero de la longitud de onda nl (en color azul) o de los puntos cuya diferencia de caminos es un múltiplo semientero de la longitud de onda (n+½)l (en color rojo). Con el puntero del ratón se mueve la pantalla, acercándola o alejándola de las fuentes. Para una posición x, se puede medir mediante la regla vertical, las posiciones de los máximos y mínimos de intensidad a lo largo de la pantalla.

Arrastrar el pequeño cuadrado de color rojo con el puntero del ratón

## Referencias

Poon D. C. H. How good is the aproximation "Path difference ≈d·senq "? The Physics Teacher Vol 40, November 2002, pp. 460-462