# La ley de Snell de la refracción

#  | ## Movimiento ondulatorio

    Propagación de un
    movimiento ondulatorio
    Descripción de la
    propagación
    Movimiento ondulatorio
    armónico
    Medida de la velocidad
    del sonido
    Ondas transversales en
    una cuerda
    Ondas estacionarias (I)
    Vibraciones barra
    Ondas estacionarias (II)
    Ondas longitudinales
    en una barra elástica
    Reflexión y transmisión
    de ondas
    Ley de Snell de la
      refracción
    Espejismos
|  | El principio de Huygens Ley de Snell de la refracción El principio de Fermat
En la página anterior titulada "Reflexión y transmisión de ondas", hemos estudiado la propagación de una onda a lo largo del eje X. El plano x=0 es la superficie de separación de los dos medios. Hemos visto que, cuando una onda incide sobre la superficie que separa dos medios de distintas propiedades mecánicas, una parte se refleja y otra parte se trasmite al segundo medio. En esta página, vamos a estudiar el comportamiento de una onda plana que se propaga hacia la superficie de separación de dos medios, formando cierto ángulo de incidencia. ## El principio de Huygens El principio de Huygens proporciona un método geométrico para hallar, a partir de una forma conocida del frente de ondas en cierto instante, la forma que adoptará dicho frente en otro instante posterior. El principio supone que cada punto del frente de ondas primario da origen a una fuente de ondas secundarias que producen ondas esféricas que tienen la misma frecuencia y se propagan en todas las direcciones con la misma velocidad que la onda primaria en cada uno de dichos puntos. El nuevo frente de ondas, en un instante dado, es la envolvente de todas las ondas secundarias tal como se muestra en la figura.
| Supongamos que conocemos la forma del frente de ondas inicial AB. Sobre el frente situamos varias fuentes de ondas secundarias señaladas por puntos de color rojo y azul. Sea v es la velocidad de propagación en el punto donde está situada la fuente secundaria de ondas. Para determinar la forma del frente de ondas A'B' en el instante t, se traza una circunferencia de radio v·t. centrada en cada una de las fuentes (en color rojo). La envolvente de todas las circunferencias es el nuevo frente de ondas en el instante t.
El radio de las circunferencias será el mismo si el medio es homogéneo e isótropo, es decir, tiene las mismas propiedades en todos los puntos y en todas las direcciones. ### Ley de la reflexión En la parte izquierda de la figura, se muestra el aspecto de un frente de ondas que se refleja sobre una superficie plana. Si el ángulo que forma el frente incidente con la superficie reflectante es θi, vamos a demostrar, aplicando el principio de Huygens, que el frente de ondas reflejado forma un ángulo θr tal que θi= θr. Las posiciones del frente de ondas al cabo de un cierto tiempo t, se calculan trazando circunferencias de radio v·t con centro en las fuentes secundarias de ondas situadas en varios puntos del frente de onda inicial. Las ondas secundarias situadas junto al extremos superior A se propagarán sin obstáculo, su envolvente dará lugar a un nuevo frente de ondas paralelo al inicial y situado a una distancia v·t. Las ondas secundarias producidas en el extremo inferior del frente de ondas chocan contra la superficie reflectante, invirtiendo el sentido de su propagación. La envolvente de las ondas secundarias reflejadas da lugar a la parte del frente de ondas reflejado. El frente de ondas completo en el instante t tiene la forma de una línea quebrada. Tomemos la fuente de ondas secundarias P, de la porción OP del frente de ondas incidente, trazamos la recta perpendicular PP’, tal que PP’=v·t. Con centro en O trazamos una circunferencia de radio v·t. Se traza el segmento P’O’ que es tangente a dicha circunferencia. Este segmento, es la porción del frente de ondas reflejado. De la igualdad de los triángulos OPP’ y OO’P’ se concluye que el ángulo θi es igual al ángulo θr. Si trazamos las rectas perpendiculares (denominadas rayos) a los frentes de onda incidente y reflejado, se concluye, que el ángulo de incidencia θi formado por el rayo incidente y la normal a la superficie reflectante, es igual al ángulo de reflexión θr formado por el rayo reflejado y dicha normal. ## Ley de Snell de la refracción Consideremos un frente de ondas que se acerca a la superficie de separación de dos medios de distintas propiedades. Si en el primer medio la velocidad de propagación de las ondas es v1 y en el segundo medio es v2 vamos a determinar, aplicando el principio de Huygens, la forma del frente de onda un tiempo posterior t. A la izquierda, se ha dibujado el frente de ondas que se refracta en la superficie de separación de dos medio, cuando el frente de ondas incidente entra en contacto con el segundo medio. Las fuentes de ondas secundarias situadas en el frente de ondas incidente, producen ondas que se propagan en todas las direcciones con velocidad v1 en el primer medio y con velocidad v2 en el segundo medio. La envolvente de las circunferencias trazadas nos da la forma del frente de ondas después de tiempo t, una línea quebrada formada por la parte del frente de ondas que se propaga en el primer medio y el frente de ondas refractado que se propaga en el segundo. El frente de ondas incidente forma un ángulo θ1 con la superficie de separación, y frente de ondas refractado forma un ángulo θ2 con dicha superficie. En la parte central de la figura, establecemos la relación entre estos dos ángulos. En el triángulo rectángulo OPP’ tenemos que v1·t=|OP’|·senθ1 En el triángulo rectángulo OO’P’ tenemos que v2·t=|OP’|·senθ2 La relación entre los ángulos θ1 y θ2 es ### Reflexión total Si v1>v2 el ángulo θ1 > θ2 el rayo refractado se acerca a la normal Si v1<v2 el ángulo θ1 < θ2 el rayo refractado se aleja de la normal En este segundo caso, para un ángulo límite θc el ángulo de refracción es θ2 =π/2 El ángulo límite es aquél ángulo incidente para el cual el rayo refractado emerge tangente a la superficie de separación entre los dos medios. Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite, el seno del ángulo de refracción resulta mayor que la unidad. Esto indica, que las ondas que inciden con un ángulo mayor que el límite no pasan al segundo medio, sino que son reflejados totalmente en la superficie de separación. En la figura, observamos que a medida que se incrementa el ángulo de incidencia θ1 el ángulo de refracción aumenta hasta que se hace igual a π/2. Si se vuelve a incrementar el ángulo de incidencia, la onda incidente se refleja en el primer medio. ### Índice de refracción Se denomina índice de refracción, al cociente entre la velocidad de la luz c en el vacío y la velocidad v de la luz en un medio material transparente. n=c/v La ley de Snell de la refracción se expresa en términos del índice de refracción n1·senθ1= n2·senθ2 En la siguiente tabla, se proporcionan datos acerca de los índices de refracción de diversas sustancias
Sustancia | Índice de refracción (línea sodio D)
Azúcar | 1.56
Diamante | 2.417
Mica | 1.56-1.60
Benceno | 1.504
Glicerina | 1.47
Agua | 1.333
Alcohol etílico | 1.362
Aceite de oliva | 1.46
Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física elemental. Edt. Mir (1975), pág. 209 ### Actividades Se introduce El ángulo de incidencia θ1, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo. El índice de refracción n, en el control de edición titulado Índice de refracción, o seleccionando una sustancia en el control de selección situado debajo. Se pulsa el botón titulado Empieza El primer medio, de color amarillo, es el aire n1=1, y el medio de color azul claro es segundo medio cuyo índice de refracción n2 se ha seleccionado. Observamos la propagación de las ondas en los dos medios Como el primer medio tiene menor índice de refracción que el segundo, se cumple que θ1 > θ2, el rayo refractado se acerca a la normal a la superficie de separación. Se ha de tener en cuenta, que una parte de la luz incidente se refleja, pero por razones de claridad no se muestra en el applet. Los sucesivos frentes de onda están separados una longitud de onda, como la frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro, la longitud de onda cambia, y se hace más pequeña cuando el medio tiene menor velocidad de propagación, o mayor índice de refracción. Si n>1 entonces, λ0> λ, la longitud de onda de la luz λ0 de una determinada frecuencia f, que se propaga en el vacío (o en el aire) es mayor que la longitud de onda λ de la misma radiación que se propaga en un medio de índice de refracción n. Si se activa la casilla titulada Invertir, el primer medio tiene mayor índice de refracción que el segundo. Observamos que la longitud de onda aumenta, y que el ángulo de incidencia θ1 es menor que el ángulo de refracción θ2. El rayo refractado se aleja de la normal. A partir de un determinado ángulo de incidencia, la onda incidente no pasa al segundo medio, se refleja en la superficie de separación Calcular el ángulo límite para el agua, diamante, etc. y observar el comportamiento de las ondas para un ángulo de incidencia un poco mayor o menor que el ángulo límite.

## ## El principio de Fermat A partir del principio del tiempo mínimo de Fermat, se puede obtener las leyes de la reflexión y de la refracción de un modo muy sencillo. Este principio afirma, que la trayectoria real que sigue un rayo de luz entre dos puntos es aquella en la que emplea un tiempo mínimo en recorrerla. ### Ley de la reflexión Sea una fuente S que emite rayos que se reflejan en una superficie horizontal reflectante y llegan al observador situado en el punto P. Como la luz se propaga en el mismo medio homogéneo, para encontrar la trayectoria que sigue un rayo de luz tal que emplee un tiempo mínimo en recorrerla, equivale encontrar la trayectoria cuya longitud es mínima. Imaginemos que un rayo emitido por S se refleja en A y llega a P. La longitud del camino seguido por este rayo es SAP, y esta longitud es igual a S’AP, siendo S’ la fuente puntual S reflejada en la superficie. Esta línea es quebrada y por tanto, de mayor longitud que la línea recta S’BP, que tiene igual longitud que SBP.
| Para la línea SBP, el ángulo de incidencia θi (que forma el rayo incidente, con la normal a la superficie reflectante) es igual al ángulo de reflexión θr (que forma el rayo reflejado con dicha normal)
### Ley de la refacción
| Calculamos el tiempo que tarda un rayo de luz en ir de la fuente S hasta llegar al observador P. El primer tramo SO lo recorre en el primer medio con velocidad v1, y el segundo tramo OP lo recorre en el segundo medio con una velocidad v2.
El tiempo t es una función de la posición x de O. La función t(x) tendrá un mínimo en la posición x en la que se cumple que la derivada primera de t respecto de x a cero Esto es equivalente a escribir Que es la ley de Snell de la refracción ### Actividades Se introduce La velocidad de la luz en el primer medio v1, en el control de edición titulado Velocidad A La velocidad de la luz en el segundo medio v2, en el control de edición titulado Velocidad B Se pulsa el botón titulado Nuevo Se representa la fuente S en la parte superior y el observador P en la parte inferior. Sus posiciones se asignan aleatoriamente dentro de ciertos límites. La posición x del punto O, en la superficie de separación entre los dos medios, se puede modificar moviendo con el puntero del ratón un pequeño cuadrado de color rojo. Se pulsa el botón titulado Trayectoria. Se traza el camino SOP y se calcula el tiempo que tarda la luz en recorrerlo. Se mueve el punto O hacia la izquierda o hacia la derecha hasta encontrar la trayectoria real SOP seguida por el rayo de luz. Para ayudarnos en esta tarea, se proporciona en la parte superior izquierda del applet, el tiempo empleado por el rayo de luz en recorrer la trayectoria actual y el tiempo empleado por el rayo de luz en recorrer la trayectoria anterior. Cuando se encuentra la trayectoria SOP real que sigue el rayo de luz, se representa el rayo incidente, el refractado y se proporcionan los datos del ángulo de incidencia y de refracción. Ejemplo: Introducimos los valores de las velocidades en el primer medio (amarillo) v1=1.0; en el segundo medio (azul claro) v2=4.0 Pulsamos el botón titulado Nuevo Medimos en las escalas graduadas las posiciones de S, (punto de color azul en la parte superior) y P (punto de color azul en la parte inferior) Posición del emisor S (2.4, 3.3) Posición del observador P (-3.1, -2.0) Movemos con el puntero del ratón el cuadrado de color rojo hasta la posición x=-1.8 Se pulsa el botón titulado Traza El tiempo que emplea la luz en recorrer el camino SOP es Se mueve el cuadrado de color rojo a otra posición, y se vuelve a pulsar el botón titulado Traza. Así, hasta encontrar la trayectoria real seguida por un rayo de luz entre la posición S y la P. Para la posición x=1.6 encontramos la trayectoria real SOP que sigue el rayo de luz. El ángulo θ1 que forma el rayo incidente con la normal a la superficie de separación es Comprobamos la ley de Snell de la refracción

Arrastrar con el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color rojo