Cinemática |
Movimiento relativo Movimiento relativo de traslación uniforme
Aceleración centrífuga y de Coriolis |
 Movimiento
rectilíneo y uniforme
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| Cuando un cuerpo se mueve sobre la superficie de la Tierra está sometido a dos fuerzas la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis, La fuerza de Coriolis es la responsable de la rotación del plano del péndulo de Foucault, la circulación del aire alrededor de los centros de baja o alta presión, la desviación de la trayectoria de proyectiles de largo alcance, la rotación del agua cuando sale por el desagüe de la bañera, etc. La fuerza centrífuga es responsable del cambio en el módulo y en la dirección de la aceleración de la gravedad a distintas latitudes. Las fuerzas reales como la fuerza que ejerce un muelle, la fuerza de atracción gravitatoria, las fuerzas eléctricas o magnéticas son las que describen las interacciones entre los cuerpos. Las fuerzas de inercia solamente se observan en sistemas de referencia acelerados, para distinguirlas de las fuerzas reales se denominan también fuerzas ficticias o pseudofuerzas. La introducción de este tipo de fuerzas junto con las reales facilita la resolución de los problemas de Mecánica en los sistemas de referencia en movimiento relativo de rotación uniforme como la Tierra. Las fórmulas que relacionan la velocidad v’ y de la aceleración a’ medidas en el sistema no inercial con la velocidad v y aceleración a medidas en el sistema inercial son las siguientes
Su justificación la podemos encontrar en algunos libros de texto
Movimiento rectilíneo y uniformeVector posiciónUna partícula P se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante v, sabiendo que en el instante inicial t=0, se encuentra en la posición x0, determinar la trayectoria en el sistema no inercial que gira con velocidad angular constante w en el sentido de las agujas del reloj. Sistema inercial La posición de la partícula P en función del tiempo es x=x0+vt El vector posición es r=xi La trayectoria de la partícula es rectilínea
Si la partícula parte del origen en el instante t=0, x=v·t. La distancia r de la partícula al origen en el instante t es
El ángulo girado por el sistema no inercial al cabo de un cierto tiempo t es θ=ω·t
Vector velocidadSistema inercial La velocidad v de la partícula P es constante v=vi Sistema no inercial Derivando respecto del tiempo obtenemos la velocidad de la partícula medida en el sistema no inercial
Vamos a comparar este resultado con el que nos proporciona la fórmula
Con v=vi se obtiene v’=vi+w xj
Obtenemos de nuevo, el vector velocidad v’
Vector aceleraciónSistema inercial La velocidad v de la partícula P es constante en módulo y dirección a=0 Sistema no inercial Derivando las componentes de la velocidad con respecto del tiempo obtenemos la aceleración a’ medida en el sistema no inercial.
Veamos ahora mediante la fórmula
Los datos que tenemos son
Calculamos cada aceleración separadamente -2w ´ v’=-2(-w k)(vxi’+vyj’)=-2w vyi’+2w vxj’ =-2w (v·sen(w t)+ x·w ·cos(w t))i’+2w (v·cos(w t)- x·w ·sen(w t))j’
En la figura, se muestra que la aceleración de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad v'. A la izquierda, se muestra el producto vectorial en el espacio, y a la derecha la misma representación en el plano. -w ´ (w ´ r) con r= x·cos(w t)i’+ x·sen(w t)j’ -w ´ (w ´ r)=-(-w k) ´ (w ·x·sen(w t)i’-w ·x·cos(w t)j’) =w2·x·cos(w t)i’+w2·x·sen(w t)j’
En la figura, se muestra el resultado del triple producto vectorial. La aceleración centrífuga tiene dirección radial. Sumando las dos contribuciones volvemos a obtener la aceleración a’ medida en el sistema no inercial a’=(-2w ·v·sen(w t)- w2·x·cos(w t))i’+(2w ·v·cos(w t)- w2·x·sen(w t))j’
ActividadesSe introduce los siguientes datos:
Se pulsa el botón titulado Empieza Para ver la representación del vector velocidad, aceleración centrífuga y de Coriolis activar la casilla titulada Vectores. |
Simulación del péndulo de FoucaultEn 1851 Jean Leon Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris. Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre, el hilo de arena que caía del cubo mientras oscilaba el péndulo señalaba la trayectoria. Demostró experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora. El experimento de Foucault es una prueba efectiva de la rotación de la Tierra. Aunque la Tierra estuviera cubierta de nubes, este experimento hubiese demostrado que tiene un movimiento de rotación. En esta simulación, el movimiento de péndulo se sustituye por el Movimiento Armónico Simple de un punto P. x=Acos(wpt) Donde wp es la frecuencia angular de oscilación de este imaginario péndulo. Se dibuja la trayectoria en el sistema no inercial OX’Y’ aplicando la transformación x’=x·cos(w t)=Acos(wpt)·cos(w t) Donde w es la velocidad angular de rotación En la figura, se muestra el ángulo girado por el plano de oscilación del "péndulo" durante el periodo de una oscilación. El péndulo parte de A y regresa a B, para iniciar una nueva oscilación. El ángulo girado es Dq =w ·P. Siendo P=2p/wp el periodo de una oscilación
El ángulo girado por el plano de oscilación del péndulo en una hora, es el producto de Dq por el número de oscilaciones que da el péndulo en una hora. Dq·60·60/P=w ·60·60=15º a la hora Teniendo en cuenta que la velocidad angular de rotación w de la Tierra es de 360º en 24 h.
Sabiendo que la latitud de Paris es de aproximadamente 49º, el plano de oscilación del péndulo de Foucault gira a razón de 11.3º cada hora. Caso particular w=wp Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son
x’=Acos(w·t)·cos(w t)=(A/2)(1+cos(2w
·t)) Eliminamos el tiempo t de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y obtenemos la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (A/2, 0) y de radio A/2.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza. Como ejemplo interesante se sugiere aquel en el que la velocidad angular de rotación de la plataforma es igual a la frecuencia angular del MAS, w=wp. |
El péndulo esférico visto desde el Sistema de Referencia NO InercialUn péndulo esférico la composición de dos MAS de la misma frecuencia angular wp pero de direcciones perpendiculares desfasados 90º. x=Acos(wp·t)
En un instante t la partícula dista r del origen y hace un ángulo θ con el eje X. La posición de la partícula en el Sistema de Referencia Inercial es x=r·cosθ
La posición de la partícula el Sistema de Referencia No Inercial es x’=r·cos(θ+w·t)=x·cos(w
·t)-y·sen(w
·t) Las ecuaciones paramétricas del movimiento del péndulo esférico visto desde el Sistema de Referencia No Inercial son: x’= Acos(wp·t)·cos(w
·t)- Bsen(wp·t)·sen(w
·t) Casos particulares con wp=±w
Eliminamos el tiempo t de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y obtenemos la ecuación de una circunferencia de radio (A+B)/2 centrada en el punto ((A-B)/2, 0) ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza. Como ejemplo interesante, se sugiere aquel en el que a la frecuencia angular del MAS es igual a la velocidad angular de rotación de la plataforma, wp=±w. |
Daw H. A., Coriolis lecture demostration. Am. J. Phys. 55 (11) November 1987, pp. 1010-1014
Movimiento relativo de
rotación uniforme
