Dinámica

Movimiento en el 
seno de un fluido

Fórmula de Stokes.

Medida de la viscosidad
de un fluido (I)

Medida de la viscosidad
de un fluido (II)

Descenso de un
paracaidista

Movimiento vertical de
una esfera en un fluido

Tiro parabólico con
  rozamiento.

Modelo unidimensional
movimiento en un fluido.

Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Referencias

Código fuente

En la página anterior "Movimiento vertical de una esfera en el seno de un fluido" hemos estudiado el movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba en un medio que opone resistencia a su movimiento y lo comparamos con el movimiento del mismo cuerpo en el vacío.

Aplicamos dos modelos de fuerza para describir la resistencia que opone el medio al movimiento del cuerpo.

• Una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, para bajos valores del número de Reynolds

• Una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad para altos números de Reynolds.

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v₀ pero con ángulos de tiro q distintos.

Como hemos visto en la página "Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad" el proyectil disparado en el vacío con un ángulo de q =45º tiene un alcance máximo. Vamos a comprobar si esta afirmación se mantiene cuando el proyectil (por ejemplo, una pelota de golf) se mueve en un medio como el aire.

Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad

Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son:

El peso mg La fuerza de rozamiento Fr, que es sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). Fr=-mbv.

Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto.

La solución de estas ecuaciones con las condiciones iniciales t=0, v_x=v_0x, v_y=v_0y, son

Integrando de nuevo, con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, tenemos

Para un proyectil disparado con velocidad v₀ y ángulo de tiro q . Las velocidades iniciales son

v_0x=v₀·cosq
v_0y=v₀·senq

Alcance del proyectil, altura máxima y tiempo de vuelo

El proyectil llega al suelo y=0, a una distancia x=R del origen. R se denomina alcance del proyectil.

En la primera ecuación ponemos x=R y despejamos el tiempo de vuelo t,

sustituyéndola en la segunda ecuación con y=0.

Una ecuación trascendente en R, que se resolverá por procedimientos numéricos

La altura máxima, como v_y=dy/dt=0, despejamos el tiempo t y se introduce en la expresión de y

Actividades

Se introduce

• El valor del parámetro b

• La velocidad inicial de disparo v₀

• El ángulo de tiro θ

Se pulsa el botón titulado Calcular

• El programa interactivo, calcula el alcance R, resolviendo la ecuación trascendente por el método del punto medio. Cuando el parámetro b es grande el procedimiento numérico no produce buenos resultados

• Calcula el tiempo de vuelo

• La altura máxima

Entre paréntesis se muestran los resultados para el caso del tiro parabólico ideal (sin rozamiento)

Nota: para valores grandes de b: 0.2, 0.3, etc, el procedimiento numérico no produce buenos resultados. Compárese con las trayectorias de la partícula para distintos ángulos de tiro, en al applet más abajo

Cuando hay rozamiento, el alcance máximo no se obtiene para 45º, sino para un ángulo ligeramente inferior. Calcular el alcance para 45º, 44º, 43º...

Aproximaciones

Si la resistencia del aire es pequeña b~0, el término ln(1-bR/v_0x) se puede desarrollar en serie hasta potencias de tercer orden en b.

Haciendo algunas operaciones obtenemos la ecuación de segundo grado en R

Donde R₀ es el alcance cuando no se considera el rozamiento del aire.

Ejemplo: Sea v₀=60 m/s. y θ=45º

Cuando no se considera rozamiento el alcance es

Cuando hay un pequeño rozamiento con el aire b=0.01, el alcance se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado en R, cuya raíz positiva es R=348.3 m

Actividades

Se introduce:

• El valor del parámetro b en unidades s^-1, el control de edición titulado b
• La velocidad inicial v₀ en el control de edición titulado Velocidad inicial.

El programa interactivo traza las trayectorias y calcula el alcance de los proyectiles disparados con ángulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45º (en color rojo)

Compara estas trayectorias con la que seguiría el mismo proyectil disparado con un ángulo de 45º en el vacío (en color azul).

En la parte superior derecha del applet, se muestra el alcance R de cada uno de los proyectiles que se ha calculado resolviendo la ecuación trascendente en R. Podemos observar que el máximo alcance no se obtiene para el ángulo de disparo de 45º sino para un ángulo inferior. Y como cabía esperar, el alcance del proyectil disparado con 45º es inferior en un medio como el aire que en el vacío.

Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.

Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son como hemos visto ya

• El peso mg
• La fuerza de rozamiento F_r, que es de sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). F_r=-bmv·v.

Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto.

Este sistema de ecuaciones diferenciales acopladas se resuelven aplicando procedimientos numéricos, por ejemplo, el método de Runge-Kutta.

Las condiciones iniciales son las misma que en la sección anterior t=0, v_0x=v₀·cosq , v_0y=v₀·senq , x=0, y=0

Actividades

En el applet introducimos:

• El valor del parámetro b en unidades m^-1, en el control de edición titulado b
• La velocidad inicial v₀ en el control de edición titulado Velocidad inicial.

El programa interactivo traza y calcula el alcance de los proyectiles disparados con ángulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45º (en color rojo).

Compara estas trayectorias con la que seguiría el mismo proyectil disparado con un ángulo de 45º en el vacío (en color azul).

En la parte superior derecha del applet, se muestra el alcance (aproximado) de cada uno de los proyectiles. Podemos observar que el máximo alcance del proyectil no se obtiene para el ángulo de disparo de 45º sino para un ángulo inferior. Y como cabía esperar, el alcance del proyectil disparado con 45º es inferior en un medio como el aire que en el vacío.

Alcance, altura máxima y tiempo de vuelo

En el apartado anterior, se ha calculado la trayectoria del proyectil resolviendo un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden. En este apartado, vamos a integrar las ecuaciones del movimiento para calcular el alcance, el tiempo de vuelo y la altura máxima.

Cambiamos de sistema de referencia, y escribimos las ecuaciones del movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal donde ρ es el radio de curvatura de la trayectoria.

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo dθ, que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ,  tal como se aprecia en la figura.

Hemos de tener en cuenta que la curvatura de la trayectoria es negativa (figura de la derecha). La curva queda a la derecha de la tangente tomada en sentido de las x crecientes. La igualdad anterior se escribe para este caso

Las ecuaciones del movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal se convierten en una única ecuación diferencial de primer orden.

Haciendo el cambo de variable u=1/v²

Esta ecuación es del tipo lineal (véase Puig Adam P., Curso teórico-práctico de Ecuaciones Diferenciales aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática, 1970. págs. 29-30)

Buscamos una solución de la forma u=w(θ)·z(θ)

Hacemos que

La integral se calcula fácilmente

Nos queda ahora que

Integramos por partes

Resolvemos esta última integral haciendo el cambio de variable t=tan(θ/2)

De este modo,

Finalmente,

La constante de integración C₂ se calcula a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la velocidad de disparo es v₀ y hace un ángulo θ₀ con la horizontal (véase la figura más abajo)

La función que relaciona el módulo de la velocidad v y el ángulo θ, que forma la dirección de la velocidad (tangente a la trayectoria) con la horizontal es

Posición del proyectil

dx=ds·cosθ=ρdθ·cosθ

Utilizando la ecuación del movimiento en la dirección normal, y teniendo en cuenta que la trayectoria tiene curvatura negativa

Del mismo modo

dy=ds·senθ=ρdθ·senθ

Tiempo de vuelo

ds=v·dt
ρdθ= v·dt

El programa interactivo calcula el ángulo θ final que forma la dirección de la velocidad cuando y=0 (véase la figura más arriba).

Conocido el ángulo final θ_f se calcula el alcance x y el tiempo de vuelo t, resolviendo numéricamente las integrales

Actividades

Se introduce

• El valor del parámetro b

• La velocidad inicial de disparo v₀

• El ángulo de tiro θ

Se pulsa el botón titulado Calcular

El programa interactivo, calcula

• el alcance .

• el tiempo de vuelo

• la altura máxima

Entre paréntesis se muestran los resultados para el caso del tiro parabólico ideal (sin rozamiento)

public class PuntoMedio {
	final double CERO=1e-10;
	final double ERROR=0.001;
	final int MAXITER=200;
	double v0x;
	double v0y;
	double b;
PuntoMedio(double b, double v0, double angulo){
	this.b=b;
	v0x=v0*Math.cos(angulo);
	v0y=v0*Math.sin(angulo);
}

public double raiz(double a, double b) {
	double m, ym;
	int iter=0;
	do{
		m=(a+b)/2;
		ym=f(m);
		if(Math.abs(ym)<CERO) break;
		if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;
		if((f(a)*ym)<0) b=m;
		else a=m;
		iter++;
	}while(iter<MAXITER);
	return m;
}
double f(double x){
	double y=(9.8/b+v0y)*x/v0x+9.8*Math.log(1.0-x*b/v0x)/(b*b);
	return y;
}

}

//calcula el alcance
	double R0=v0*v0*Math.sin(2*angulo)/9.8;
	PuntoMedio p=new PuntoMedio(b, v0, angulo);
	x=p.raiz(0.0, R0);

public class PuntoMedio {
	final double CERO=1e-10;
	final double ERROR=0.001;
	final int MAXITER=200;
	Simpson obj;
PuntoMedio(Simpson obj){
	this.obj=obj;
}

public double raiz(double a, double b) {
	double m, ym;
	int iter=0;
	do{
		m=(a+b)/2;
		ym=f(m);
		if(Math.abs(ym)<CERO) break;
		if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;
		if((f(a)*ym)<0) b=m;
		else a=m;
		iter++;
	}while(iter<MAXITER);
	return m;
}
double f(double x){
	double y=obj.integral(obj.angIni, x, 100);
	return y;
}

}

public abstract class Simpson {
	double v0;
	double angIni;
	double b;
Simpson(double b, double v0, double angulo){
	this.b=b;
	this.v0=v0;
	this.angIni=angulo;
}
public double integral(double a, double b, int n){
	if(n%2==1) n++;
	double h=(b-a)/n;
	double suma=g(a)+g(b);
	for(int i=1; i<n; i+=2){
		suma+=4*g(a+i*h);
	}
	for(int i=2; i<n; i+=2){
		suma+=2*g(a+i*h);
	}
	return (suma*h/3);
}
abstract public double g(double x);

double v2(double x){
	double z=Math.cos(x)*Math.cos(x)*(1.0/(v0*Math.cos(angIni)*v0*Math.cos(angIni))
	-b*(h(x)-h(angIni))/9.8);
	return (1.0/z);
}
double h(double x){
	double z=Math.tan(x)/Math.cos(x)+Math.log(Math.abs(Math.tan(x)+1.0/Math.cos(x)));
	return z;
}
}

public class Pos_Y extends Simpson {

public Pos_Y(double b, double v0, double angulo) {
	super(b, v0, angulo);
}
public double g(double x){
	double z=-v2(x)*Math.tan(x)/9.8;
	return z;
}
}

public class Pos_X extends Simpson {

public Pos_X(double b, double v0, double angulo) {
	super(b, v0, angulo);
}
public double g(double x){
	double z=-v2(x)/9.8;
	return z;
}
}

public class Tiempo extends Simpson {

public Tiempo(double b, double v0, double angulo) {
	super(b, v0, angulo);
}
public double g(double x){
	double z=-Math.sqrt(v2(x))/(Math.cos(x)*9.8);
	return z;
}
}

//calcula el ángulo final, la altura máxima, el alcance y el tiempo de vuelo 
	Simpson pos_Y=new Pos_Y(b, v0, angIni);
	PuntoMedio p=new PuntoMedio(pos_Y);
	double angFinal=p.raiz((-88*Math.PI/180), angIni); //con -90º hay desbordamiento
	hMax=pos_Y.integral(angIni, 0.0, 100);
	x=new Pos_X(b, v0, angIni).integral(angIni, angFinal, 100);
	t=new Tiempo(b, v0, angIni).integral(angIni, angFinal, 100);