Dibujamos las fuerzas que actúan sobre la partícula, cuando se ha desplazado un ángulo θ.

• El peso mg
• La reacción N de la cúpula
• La fuerza de rozamiento F_r=μN

La partícula describe un movimiento circular con aceleración tangencial a_t y aceleración normal a_n. Estas aceleraciones se determinan aplicando la segunda ley de Newton

• Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

mg·sinθ-F_r=ma_t

• Ecuación del movimiento en la dirección normal

mg·cosθ-N=ma_n

Combinando estas dos ecuaciones obtenemos la ecuación diferencial del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_t=R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}{a}_n=\frac{v^2}{R}=R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\hfill \\ \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{g}{R}\sin \theta -\frac{\mu }{R}\left(gcos\theta -R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)\hfill \end{array}}$

que se resuelve por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=v₀/R. Donde v₀ es la velocidad inicial. En un apartado más abajo, resolveremos utilizando MATLAB la ecuación del movimiento. En la simulación se utiliza el procedimiento de Runge-Kutta

La partícula se detiene o deja de estar contacto con la cúpula

Las aceleraciones tangencial y normal se expresan en función de la velocidad v del siguiente modo

${\displaystyle a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{d\theta }\frac{d\theta }{dt}=\frac{dv}{d\theta }\frac{v}{R}=\frac{1}{2R}\frac{d{v}^2}{d\theta }{a}_n=\frac{v^2}{R}}$

Despejando la reacción N en la segunda ecuación del movimiento y sustituyéndola en la primera, obtenemos la ecuación diferencial de primer orden

${\displaystyle \frac{1}{2R}\frac{d{v}^2}{d\theta }=g(\sin \theta -\mu \cos \theta )+\mu \frac{v^2}{R}}$

Llamando $x=\frac{v^2}{Rg}$ nos queda la ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }-2\mu x=2(\sin \theta -\mu \cos \theta )}$

La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos:

La solución particular x₁=Asinθ+Bcosθ

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A y B

${\displaystyle A=\frac{-6\mu }{4{\mu }^2+1}B=\frac{4{\mu }^2-2}{4{\mu }^2+1}}$

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }-2\mu x=0\frac{dx}{x}=2\mu ·d\theta {\displaystyle \int \frac{dx}{x}={\displaystyle \int 2\mu ·d\theta }}}$

Integrando ambos miembros obtenemos lnx=2μθ+cte, o bien,  x₂=C·exp(2μθ)

La solución completa es x=x₁+x₂

${\displaystyle x=C\exp (2\mu \theta )+\frac{-6\mu ·\sin \theta +(4{\mu }^2-2)\cos \theta }{4{\mu }^2+1}}$

La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=0, v=v₀

Finalmente, la ecuación que nos proporciona la velocidad v en función del ángulo θ, es

${\displaystyle \frac{v^2}{Rg}=\frac{v_0^2}{Rg}\exp (2\mu \theta )+\frac{(4{\mu }^2-2)\left(\cos \theta -\exp (2\mu \theta )\right)-6\mu ·\sin \theta }{4{\mu }^2+1}}$

• Si no hay rozamiento, μ=0

${\displaystyle v^2=v_0^2+2Rg(1-\cos \theta )}$

La misma expresión se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía.

La partícula, deja de tener contacto con la cúpula para el ángulo θ_s tal que N=0.

Obtenemos este ángulo en la ecuación del movimiento en la dirección radial

${\displaystyle mg\cos \theta -N=m\frac{v^2}{R}\cos {\theta }_s=\frac{2}{3}+\frac{v_0^2}{3Rg}}$

Una vez alcanzada la posición θ_s, la partícula describe un movimiento parabólico tal como ha sido descrito en el apartado anterior.

• Si hay rozamiento μ≠0, pueden ocurrir dos casos:

• Que la partícula deje de estar en contacto con la cúpula, es decir, la reacción N se haga cero, con v>0
• Que la partícula se detenga v=0, con N>0

Sea una cúpula semiesférica de radio R=1, la velocidad inicial en la posición θ=0, es v₀=2 m/s, el coeficiente de rozamiento es μ=0.4. Representamos v²/(Rg) y la reacción N/mg en función del ángulo θ

R=1; %radio
mu=0.4; %coeficiente de rozamiento
v0=2; %velocidad inicial para theta=0,

v2=@(x) v0^2*exp(2*mu*x*pi/180)/(R*9.8)+((4*mu^2-2)*
(cos(x*pi/180)-exp(2*mu*x*pi/180))-6*mu*sin(x*pi/180))/(4*mu^2+1);
N=@(x) cos(x*pi/180)-v2(x);

subplot(2,1,1)
fplot(v2,[0,pi/2]*180/pi)
grid on
ylim([0,1.5])
xlabel('\theta')
ylabel('v^2/Rg')
title('Velocidad')

subplot(2,1,2)
fplot(N,[0,pi/2]*180/pi)
grid on
ylim([-1,1])
xlabel('\theta')
ylabel('N/mg')
title('Normal')



La partícula no se detiene. Para el ángulo cercano a 45° la reacción N se hace cero. Calculamos este ángulo con la función fzero de MATLAB

>> fzero(N,[0,pi/2]*180/pi)
ans =   45.2367

Cambiamos el coeficiente de rozamiento μ=1



Observamos que la reacción del plano N no se hace nula, sin embargo, la velocidad se hace nula para un ángulo próximo a 20° que calculamos con la función fzero de MATLAB

>> fzero(v2,[0,pi/2]*180/pi)
ans =   19.1566

Velocidad inicial crítica y ángulo crítico

Fijamos el coeficiente de rozamiento, por ejemplo, μ=1, y vamos cambiando la velocidad inicial v₀ con el que lanzamos la partícula en la posición θ=0.

En la figura, se representa (en color rojo) la velocidad de la partícula v en función del ángulo θ, para varias velocidad iniciales v₀=2.2, 2.21, 2.22… 2.29 m/s. En color azul, se representa la velocidad de la partícula v en función del ángulo θ para la velocidad inicial v₀=2.2522046 m/s. Se ha fijado el radio de la cúpula R=1.0 m y el coeficiente de rozamiento, μ=1.

• La partícula se detiene para un ángulo θ_s
• La partícula disminuye su velocidad y luego, la incrementa.

Existe una velocidad inicial crítica v_0,c para el cual la velocidad v de la partícula presenta un mínimo v=0 en el ángulo θ_c denominado ángulo crítico (véase la curva de color azul).

${\displaystyle v^2({\theta }_c)=0{\left(\frac{d{v}^2}{d\theta }\right)}_{{\theta }_c}=0}$

Tenemos un sistema de dos ecuaciones, haciendo operaciones y simplificando llegamos a la siguiente relación

tanθ_c=μ

Empleando las relaciones trigonométricas

${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}\sin \theta =\frac{\tan \theta }{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}}$

calculamos la velocidad inicial crítica v_0,c en θ=0 para la cual la partícula se detiene en θ_c.

${\displaystyle \frac{v_{\mathrm{0,}c}^2}{Rg}=\frac{2}{1+4{\mu }^2}\left(2{\mu }^2-1+\sqrt{{\mu }^2+1}\exp (-2\mu \arctan \mu )\right)}$

Ejemplo

Para μ=1, y R=1

• v_0,c =2.2522046 m/s
• El ángulo crítico es 45º

En la figura se representa v_0,c en función del coeficiente de rozamiento μ

Como apreciamos en la gráfica, $\underset{\mu \to \infty }{\lim }\frac{v_{\mathrm{0,}c}}{\sqrt{Rg}}=1.0$

La curva de color rojo divide el plano (μ, v₀) en dos regiones. Fijado el valor de μ

• Para velocidades iniciales v₀>v_0,c la partícula no se detiene, deja la cúpula
• Para velocidades iniciales v₀<v_0,c la partícula se detiene.

Utilizando MATLAB

Integramos la ecuación diferencial de primer orden utilizando dsolve. En este caso la variable x=v²/(Rg), y el ángulo θ se representa por la letra t.

Obtenemos las expresión de x para el caso en el que el coeficiente μ=1 de la fuerza de rozamiento

Representamos en la misma ventana gráfica x en función del ángulo t, en radianes, para varios valores de la velocidad inicial v₀ o de la condición inicial x₀

Calculamos mediante solve el valor de la velocidad inicial crítica para el ángulo θ_c tal que tanθ_c=μ

syms mu x0 t;
x=dsolve('Dx-2*mu*x=2*(sin(t)-mu*cos(t))','x(0)=x0');
x=subs(x,mu,1)
xf=[2.20 2.22 2.24 2.26 2.28 2.30].^2/9.8;
hold on
for i=1:length(xf)
    xx=subs(x,x0,xf(i));
    ezplot(xx,[0,50*pi/180]);
   
end
xlabel('\theta(radianes)')
ylabel('v^2/(Rg)')
title('Movimiento en un cúpula')
grid on
hold off
%calcula la velocidad inicial crítica para el ángulo t tal que tan(t)=mu
vc=sqrt(9.8*solve(subs(x,t,atan(1)),x0));
double(vc)

ans =2.2522

Balance energético

• La energía cinética  E_k=mv₀²/2

• La energía potencial E_p=mgR

Cuando la partícula se encuentra en la posición angular θ.

• La energía cinética E_k=mv²/2
• La energía potencial E_p=mgRcosθ

La fuerza de rozamiento F_r=μN, tiene la misma dirección (tangencial) que el desplazamiento, el arco R·dθ, pero de sentido contrario. El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es.

${\displaystyle W_{nc}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\mu N·Rd\theta }=-\mu m{\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\left(gR\cos \theta -v^2\right)d\theta }}$

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento W_nc<0 también se puede calcular hallando la diferencia entre la energía final menos la energía inicial.

${\displaystyle W_{nc}=\left(\frac{1}{2}m{v}^2+mgR\cos \theta \right)-\left(\frac{1}{2}m{v}_0^2+mgR\right)}$

Resulta

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{v^2}{Rg}-\frac{v_0^2}{Rg}=2(1-\cos \theta )-2\mu {\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\left(\cos \theta -\frac{v^2}{Rg}\right)}d\theta \\ x-x_0=2(1-\cos \theta )-2\mu {\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\left(\cos \theta -x\right)d\theta }\end{array}}$

derivando con respecto a θ

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dx}{d\theta }=2\sin \theta -2\mu (\cos \theta -x)\\ \frac{dx}{d\theta }-2\mu x=2(\sin \theta -\mu \cos \theta )\end{array}}$

La misma ecuación diferencial que obtuvimos por dinámica

Solución numérica de la ecuación del movimiento

Primero, calculamos el ángulo límite para el cual la partícula se detiene v=0, o bien, la reacción de la cúpula N=0. Después, resolvemos la ecuación diferencial del movimiento que se ha deducido al principio de esta página.

function cupula_6   
    R=1; %radio
    mu=0.4; %coeficiente de rozamiento
    v0=2; %velocidad incial
    Vc=sqrt(R*9.8*2*(2*mu^2-1+sqrt(mu^2+1)*exp(-2*mu*atan(mu)))/(1+4*mu^2));
    
    v2=@(x) v0^2*exp(2*mu*x)/(R*9.8)+((4*mu^2-2)*(cos(x)-exp(2*mu*x))-
6*mu*sin(x))/(4*mu^2+1);
    N=@(x) cos(x)-v2(x);
    if v0<Vc
        aLimite=fzero(v2,[0,pi/2]);
        opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula_1(t,x));
    else
        aLimite=fzero(N,[0,pi/2]);
        opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula(t,x));
    end
    
    x0=[0, v0];
    f=@(t,x) [x(2);9.8*sin(x(1))/R-mu*(9.8*cos(x(1))-R*x(2)^2)/R]; 
    tspan=[0,10]; 
    [t,x]=ode45(f,tspan,x0,opts);
    
    plot(t,x(:,1)*180/pi)
    grid on
    xlabel('t')
    ylabel('\theta')
    title('Cúpula semiesférica con rozamiento')
    
    function [value,isterminal,direction]=stop_cupula(~,x)
        value=aLimite-x(1); 
        isterminal=1;
        direction=0; 
    end
    function [value,isterminal,direction]=stop_cupula_1(~,x)
        value=x(2); 
        isterminal=1;
        direction=0; 
    end
end

Hemos definido dos funciones para que el proceso de integración se detenga cuando N sea cero o cuando la velocidad dθ/dt sea cero.

Cuando μ=0.4 y v₀=2. La partícula deja de tener contacto con la cúpula, N=0 cuando θ=45.2°

Cambiamos el coeficiente de rozamiento μ=1, la partícula se detiene dθ/dt=0, para θ=19.2°.

Ejemplo 

• Rozamiento nulo, μ=0

Si la velocidad inicial es v₀=1.5.

La partícula deja de tener contacto con la cúpula semiesférica en la posición θ_c=42º

• Rozamiento no nulo

Sea μ=0.3 y v₀=1.8

La partícula deja de tener contacto con la cúpula para θ_c=46º, con v=2.61 y N≈0

La tarea del lector será la de investigar para qué valores de la velocidad inicial v₀ y del coeficiente de rozamiento μ, hacen que θ_c sea tan próximo a 90º como sea posible. Compruébese el siguiente ejemplo: μ=1.0 y v₀=2.257

Actividades

Se introduce

• El coeficiente de rozamiento μ, en el control de edición titulado Rozamiento

• La velocidad inicial v₀ en la posición inicial θ=0, en el control de edición titulado V. inicial.

• La masa de la partícula se ha fijado en m=1 kg

• El radio de la cúpula se ha fijado en R=1 m.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento de la partícula deslizando sobre la cúpula. Sobre la partícula se dibujan las fuerzas: peso mg, reacción N, y fuerza de rozamiento F_r.

En la parte superior derecha, se proporcionan los datos de

• el tiempo t en segundos
• la posición angular θ en grados
• la velocidad v de la partícula en m/s.

Cuando la reacción N se hace cero, se muestran los datos de la a velocidad v en la posición θ_c en la que la partícula deja de tener contacto con la cúpula semiesférica.

El círculo situado en la parte superior izquierda representa la energía total de la partícula, la porción de color rojo representa la energía cinética, y la porción azul, la energía potencial. Observamos que la energía potencial se va transformando en energía cinética, pero la suma de los valores de ambas clases de energía no se mantiene constante a lo largo de la trayectoria de la partícula si hay rozamiento. El trabajo de la fuerza de rozamiento viene indicado por la porción negra del círculo de mayor radio.

Mediante una línea roja a trazos se señala el ángulo límite, para el cual la reacción N=0 o la partícula se detiene, su velocidad v=0

Referencias

Mungan C. Sliding on the surface of a rough sphere. The Physics Teacher, Vol 41, September 2003, pp. 326-328

Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/Publications/Publications.php#fndtn-panel120162017

de Lange O. L. Pierrus J., Prior T., Mele E. J. Comment on “A block slipping on a sphere with friction: Exact and perturbative solutions”, by Tom Prior and E. J. Mele [Am. J. Phys. 75 (5) 423-426 (2007)] Am. J. Phys. 76 (1) January 2008.