Movimiento de un vehículo propulsado por los proyectiles disparados

Conservación del momento lineal

La masa del vehículo vacío es M. Cuando hay n proyectiles sobre el vehículo su masa es M+n·m y su velocidad es vn. Se dispara un proyectil y la masa del vehículo disminuye a M+(n-1)m y su velocidad se incrementa a vn-1.

Aplicando el principio de conservación del momento lineal al sistema aislado formado por el vehículo y los proyectiles, relacionamos vn-1 y vn

El proyectil es disparado con velocidad -u respecto del vehículo o bien, con velocidad -u+vn respecto a Tierra

p i = p f v n1 = v n + mu ( M+(n1)m ) = v n + u a+n a= M m 1

El trabajo de las fuerzas internas se invierte en cambiar la energía cinética del sistema formado por el vehículo y el proyectil disparado.

Δ E k = 1 2 ( M+(n1)m ) v n1 2 + 1 2 m ( u+ v n ) 2 1 2 ( M+nm ) v n 2 = 1 2 m u 2 + 1 2 m u 2 ( 1 a+n )

Disparos consecutivos

La velocidad inicial vN=0, cuando todos los proyectiles están sobre el vehículo.

Se dispara el primer proyectil

La velocidad del proyectil  es

u

La velocidad del vehículo es

v N1 =0+ u a+N

El trabajo de las fuerzas internas es

Δ E 1 = 1 2 m u 2 + 1 2 m u 2 1 a+N

Se dispara el segundo proyectil

La velocidad del proyectil  es

u+ v N1 =u+ u a+N

La velocidad del vehículo es

v N2 = v N1 + u a+N1 = u a+N1 + u a+N = i=N1 N u a+i

El trabajo de las fuerzas internas es

Δ E 2 = 1 2 m u 2 + 1 2 m u 2 ( 1 a+N1 )

Se dispara el tercer proyectil

La velocidad del proyectil es

u+ v N2 =u+ u a+N1 + u a+N

La velocidad del vehículo es

v N3 = v N2 + u a+N2 = u a+N2 + u a+N1 + u a+N = i=N2 N u a+i

El trabajo de las fuerzas internas es

Δ E 3 = 1 2 m u 2 + 1 2 m u 2 ( 1 a+N2 )

Se dispara el último proyectil

La velocidad del proyectil es

u+ v NN+1 =u+ i=2 N u a+i

La velocidad final del vehículo es

v NN = v f = i=1 N u a+i

El trabajo de las fuerzas internas es

Δ E N = 1 2 m u 2 + 1 2 m u 2 ( 1 a+1 )

Trabajo de las fuerzas internas

La energía cinética final del sistema formado por el vehículo de masa M y los N proyectiles disparados es

E kf = 1 2 M v NN 2 + 1 2 m{ u 2 + ( u+ v N1 ) 2 + ( u+ v N2 ) 2 +...+ ( u+ v NN+1 ) 2 }

Esta es la suma de los trabajos realizados por las fuerzas internas en cada disparo

E kf =Δ E 1 +Δ E 2 +...Δ E n =N 1 2 m u 2 + 1 2 m u 2 i=1 N 1 a+i

Ejemplo 1:

El vehículo de masa M+N·m=24 kg parte del reposo

Después del disparo Velocidad del proyectil Velocidad del vehículo (masa) Trabajo de las fuerzas internas
-10 0.4348 (23) 52.17
-9.5652 0.8893 (22) 52.27
-9.1107 1.3655 (21) 52.38
-8.6345 1.8655 (20) 52.5
Total 209.32

El trabajo de las fuerzas internas es igual a la diferencia entre la energía cinética después del disparo del proyectil y del vehículo y la energía cinética del vehículo antes del disparo. Por ejemplo, en el segundo disparo

Δ E 2 = 1 2 1· 9.5652 2 + 1 2 22· 0.8893 2 1 2 23· 0.4348 2 =52.27

Energía cinética final del sistema es la suma de la energía cinética de los cuatro proyectiles y la energía cinética final del vehículo

1 2 1( 10 2 + 9.5652 2 + 9.1107 2 + 8.6345 2 )+ 1 2 20· 1.8655 2 =209.32J

El trabajo de las fuerzas internas es

4· 1 2 1· 10 2 + 1 2 1· 10 2 ( 1 19+1 + 1 19+2 + 1 19+3 + 1 19+4 )=209.33J

Ejemplo 2:

Velocidad final del vehículo

v f = i=1 N u a+i a= M m 1= 50 0.7 1 v f =10( 1 a+1 + 1 a+2 +....+ 1 a+16 )=2.0341

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Los proyectiles se disparan consecutivamente separados un segundo

Se observa el movimiento del vehículo

En la parte superior, se representa la velocidad del vehículo en función del número de disparo.

Cuando se han terminado de disparar todos los proyectiles el vehículo se mueve con velocidad constante.


Referencias

Brun J. L. Motion of a trolley powered by ejecting balls. Eur. J. Phys. 27 (2006) pp. 1357-1362