La velocidad límite en la caída del imán

El campo magnético creado por el imán ejerce una fuerza sobre las corrientes inducidas en el tubo, de acuerdo con la tercera ley de Newton, las corrientes inducidas ejercen una fuerza igual y de sentido contrario en el imán. En este apartado, calculamos la fuerza que ejerce el campo magnético producido por el imán sobre las corrientes inducidas en la pared del tubo.

Consideremos un tubo metálico hecho de un material de conductividad σ, de radio interior c, de radio exterior b, de radio medio a=(b+c)2, y espesor δ=b-c.

El campo magnético producido por el imán tiene dos componentes, una componente radial By y la otra a lo largo del eje vertical, Bz. La fuerza sobre una porción dl de corriente inducida de intensidad I es

dF=I(ut×B)dl

La fuerza resultante sobre la espira es vertical, anulándose por simetría en la dirección radial.

dFz=IBydl=JBy·dV

donde J es la densidad de corriente y dV=y·dy·dz es el elemento de volumen, véase la figura más arriba.

E=-vk×(Byj+Bzk)=vByi

j es un vector unitario en la dirección radial e i es un vector unitario en la dirección tangencial (de la corriente)

d F z =(2πy)σv B y 2 dy·dz

Para calcular una integral doble, tenemos que conocer el valor de la componente radial By del campo magnético producido por el imán en la sección del tubo y a lo largo del tubo.

  1. La primera aproximación, el imán se comporta como un dipolo magnético, la fuerza de frenado se expresa

  2. d F z = 9 ( μ 0 μ) 2 σv 8π z 2 y 3 ( y 2 + z 2 ) 5 dy·dz

    Primero se integra la variable y, calculando la fuerza que ejerce un anillo de altura dz. La fuerza neta sobre el imán se calcula sumando las interacciones magnéticas de todas los anillos, integrando respecto de z. Cuando esta fuerza se iguala al peso, la aceleración será cero y el imán caerá con velocidad límite constante.

    F z = 9 ( μ 0 μ) 2 σv 8π z 1 z 2 c b z 2 y 3 ( y 2 + z 2 ) 5 dy·dz

    Donde c y b son los radios interior y exterior del tubo metálico, y z1 y z2 los límites de la región del tubo metálico donde se producen las corrientes inducidas.

  3. La segunda aproximación, el espesor δ=b-a del tubo metálico es pequeño, la componente radial del campo By no cambia sustancialmente en la sección del tubo metálico situada a una distancia z del imán, su valor constante se toma para el radio medio del tubo,  y=a=(b+c)/2. La sección del tubo es un anillo radio interior c y exterior b cuya área es πb2c2=2π
  4. d F z =(2πaδ)σv B y 2 dz=(2πaδ)σv ( 3 μ 0 μ 4π za ( a 2 + z 2 ) 5/2 ) 2 dz= 9 ( μ 0 μ) 2 σv 8π a 3 δ z 2 ( a 2 + z 2 ) 5 dz

  5. La tercera aproximación, la longitud del tubo es infinita z1=-∞ y z2=+∞

  6. F z = 9 ( μ 0 μ) 2 σv 8π a 3 δ z 2 ( a 2 + z 2 ) 5 dz

Queda por resolver la integral definida. Primero, integramos por partes

z 2 ( a 2 + z 2 ) 5 dz = z 8 ( a 2 + z 2 ) 5 + 1 8 dz ( a 2 + z 2 ) 4

Hacemos el cambio de variable

z=a·tanθ, dz=a·dθ/cos2θ

1 8 dz ( a 2 + z 2 ) 4 = 1 8 a 7 cos 6 ·dθ

Empleamos la relación trigonométrica

cos 2 θ= 1+cos2θ 2

La integral se convierte en

1 8 dz ( a 2 + z 2 ) 4 = 1 8 a 7 cos 6 ·dθ = 1 64 a 7 (1+ cos 3 2θ+3 cos 2 2θ+3cos2θ)dθ cos 2 2θ·dθ= 1+cos4θ 2 dθ= 1 2 θ+ 1 8 sin4θ cos 3 2θ·dθ= (1 sin 2 2θ)·dθ= 1 2 sin2θ 1 6 sin 3 2θ

El resultado final es

1 8 dz ( a 2 + z 2 ) 4 = 1 8 a 7 cos 6 ·dθ = 1 64 a 7 ( 5 2 θ+2sin2θ+ 3 8 sin4θ 1 6 sin 3 2θ )

Ahora calculamos la integral definida

z 2 ( a 2 + z 2 ) 5 dz = z 8 ( a 2 + z 2 ) 5 | + 1 64 a 7 ( 5 2 θ+2sin2θ+ 3 8 sin4θ 1 6 sin 3 2θ ) | π/2 π/2 = 1 64 a 7 5 2 ( π 2 π 2 )= 5π 128 a 7

Recuérdese que al hacer el cambio de variable z=a·tanθ,  los límites de integración cambian de z=-∞, z=+∞, a θ=-π/2, θ=+π/2.

La expresión final de la fuerza es

F z = 9 ( μ 0 μ) 2 σv 8π a 3 δ 5π 128 a 7 = 45 ( μ 0 μ) 2 σv 1024 a 4 δ

El imán parte del reposo, cae a través del tubo metálico y rápidamente alcanza la velocidad límite constante. En este régimen, el peso se iguala a la fuerza de rozamiento, la velocidad v límite constante vale entonces.

mg= 45 ( μ 0 μ) 2 σv 1024 a 4 δv= 1024(mg) a 4 45 ( μ 0 μ) 2 σδ

Ejemplo

Obtenemos v=19.13 cm/s, el valor medido es 12.7 cm/s

Balance energético

En el apartado anterior, hemos calculado la fuerza de frenado del imán Fz que es proporcional a la velocidad v del imán y la velocidad límite constante con la que cae cuando la fuerza de frenado se iguala al peso, Fz=mg.

Es conveniente imaginar que el tubo metálico de radio medio a y espesor δ está uniformemente subdividido en anillos paralelos de longitud l.

Cuando el imán empieza a moverse el flujo magnético que atraviesa cada anillo empieza a cambiar. De acuerdo a la ley de Faraday, se induce una corriente dentro del anillo. Como hemos visto en los apartados anteriores

La fuerza neta sobre el imán se calcula sumando las interacciones magnéticas producidas por todas las corrientes, que como hemos visto es de sentido contrario a la velocidad del imán y su módulo es una función de dicha velocidad por lo que lo frenará. Cuando esta fuerza se iguala al peso, la aceleración será cero y el imán caerá con velocidad límite constante.

Desde el punto de vista energético, cuando el imán se mueve con velocidad constante, su energía cinética no cambia, la disminución de la energía potencial gravitatoria se convierte en calor producido por las corrientes inducidas en la pared del tubo metálico. En el estado estacionario, la variación de energía potencial en la unidad de tiempo mgv se convierte en energía disipada por efecto Joule en la resistencia que opone el tubo a las corrientes inducidas.

mgv= z I 2 (z)R

donde v es la velocidad límite constante, I(z) es la corriente inducida en el anillo situado en la posición z a lo largo del tubo vertical, R es la resistencia del anillo.

El problema que hemos de resolver es el cálculo de I(z), la distribución de corrientes en cada anillo.

Para calcular la intensidad de las corrientes inducidas I(z) tenemos que elegir un modelo de imán. El modelo de dipolo magnético es correcto solamente para puntos muy distantes del imán, pero no lo es para un imán cuyo tamaño es comparable al radio del tubo.

El campo magnético B en las proximidades de un polo magnético tiene una expresión similar a la del campo eléctrico de una carga puntual.

B= μ 0 q 4π r 2 r ^

apunta radialmente hacia fuera o hacia la carga según sea q positiva o negativa

Si el tubo tiene un radio medio a y un espesor δ. El flujo del campo magnético producido por la carga magnética positiva través de una espira de radio a, para z+d>0, es

Φ= S B·dS = S B·dS ·cosθ

donde dS=2πy·dy es el área del anillo comprendido entre los radios y e y+dy.

Φ +q (z)= μ 0 q 4π 0 a 1 (z+d) 2 + y 2 (z+d) (z+d) 2 + y 2 2πy·dy = μ 0 q 2 (z+d) 0 a y·dy ( (z+d) 2 + y 2 ) 3/2 = μ 0 q 2 ( 1 z+d (z+d) 2 + a 2 )

El flujo del campo magnético producido por la carga magnética negativa través de la espira de radio a, para z>0, es

Φ q (z)= μ 0 q 4π 0 a 1 z 2 + y 2 z z 2 + y 2 2πy·dy = μ 0 q 2 z 0 a y·dy ( z 2 + y 2 ) 3/2 = μ 0 q 2 ( 1 z z 2 + a 2 )

El flujo total es

Φ(z)= Φ +q (z)+ Φ q (z)= μ 0 q 2 ( z+d (z+d) 2 + a 2 z z 2 + a 2 )

A medida que el imán cae, el flujo a través de la espira cambia, lo que produce una fem

V ε = dΦ dt = dz dt dΦ dz =v μ 0 q a 2 2 ( 1 ( z 2 + a 2 ) 3/2 1 ( (z+d) 2 + a 2 ) 3/2 )

La intensidad es

I(z)=Vε(z)/R

Donde R=ρ(2πa)/(δl), la longitud del anillo es 2πla sección δl y la resistividad ρ=1/σ donde σ es la conductividad del material

La energía por unidad de tiempo disipada se obtiene evaluando la suma. En el límite continuo

P= z I 2 (z)R = v 2 μ 0 2 q 2 a 4 4R ( 1 ( z 2 + a 2 ) 3/2 1 ( (z+d) 2 + a 2 ) 3/2 ) 2 dz l = v 2 μ 0 2 q 2 δσ 8π a 2 ( 1 ( x 2 +1 ) 3/2 1 ( (x+d/a) 2 +1 ) 3/2 ) 2 dx = v 2 μ 0 2 q 2 δσ 8π a 2 f( d a )

Igualando la disminución de energía potencial en la unidad de tiempo mgv con la energía por unidad de tiempo disipada por efecto Joule en las pared del tubo vertical

mgv= v 2 μ 0 2 q 2 δσ 8π a 2 f( d a )v= 8π a 2 (mg) μ 0 2 q 2 δσf(d/a)

Aproximación dipolar

Cuando las dimensiones del imán son mucho más pequeñas que el radio del tubo, d<<a, la integral se puede resolver

( 1 ( x 2 +1) 3/2 1 ( (x+d/a) 2 +1) 3/2 ) 2 = ( ( (x+d/a) 2 +1) 3/2 ( x 2 +1) 3/2 ( x 2 +1) 3/2 ( (x+d/a) 2 +1) 3/2 ) 2 ( ( x 2 +2xd/a+1) 3/2 ( x 2 +1) 3/2 ) 2 ( x 2 +1) 6 ( ( x 2 +1) 3/2 + 3 2 ( x 2 +1) 1/2 2xd a ( x 2 +1) 3/2 ) 2 ( x 2 +1) 6 = = 9 d 2 x 2 a 2 ( x 2 +1) 5

Donde hemos empleado en la segunda línea, la aproximación (a+b)n=an+nan-1·b+… cuando b<<a

f( d a ) 9 d 2 x 2 a 2 ( x 2 +1) 5 dx = 9 d 2 a 2 x 2 ( x 2 +1) 5 dx = 9 d 2 a 2 5π 128 = 45π d 2 128 a 2

En el apartado anterior, hemos obtenido el resultado de esta integral

 v= 8π a 2 (mg) μ 0 2 q 2 δσf(d/a) 1024 a 4 (mg) 45 μ 0 2 (qd) 2 δσ

Donde el producto q·d es el momento magnético μ del imán

Hemos obtenido la misma fórmula que en el apartado anterior, utilizando otro modelo y efectuando otras aproximaciones.

Cuando las dimensiones d del imán es comparable al radio a del tubo, es necesario calcular la función f(d/a) por integración numérica. Sustituimos los límites infinitos superior e inferior por -200 y +200

i=1;
d_a=0:0.04:6;
y=zeros(1,length(d_a));
for c=d_a;
    f=@(x) ((x.^2+1).^(-3/2)-((x+c).^2+1).^(-3/2)).^2;
    y(i)=integral(f,-200,200);
    i=i+1;
end
plot(d_a, y)
xlabel('d/a')
ylabel('f(d/a)')
title('Gráfica de la función')
grid on

Ejemplo:

Introducimos el valor del cociente d/a=0.809 y obtenemos f(d/a)=0.581, distinto del valor que se obtendría con la aproximación dipolar

f( d a ) 45π d 2 128 a 2 = 45π 0.809 2 128 =0.723

>> c=0.809;
>> f=@(x) ((x.^2+1).^(-3/2)-((x+c).^2+1).^(-3/2)).^2;
>> integral(f,-200,200)
ans =    0.5811

La velocidad límite constante del imán vale

v= 8π a 2 (mg) μ 0 2 q 2 δσf(d/a) v= 8π· 0.00785 2 ·0.006·9.8·1.75· 10 8 (4π· 10 7 ·112.05) 2 ·0.0019·0.581 =7.3m/s

Experimentalmente, el imán recorre una longitud de 1.7 m en 22.9 s, la velocidad límite constante es v=7.4 m/s

El tiempo que emplearía cayendo libremente desde la misma altura sería

1.7= 1 2 9.8 t 2 t=0.59s

Referencias

MacLatchy C. S., Backman P., Bogan L. A quantitative magnetic braking experiment. Am. J. Phys. 61 (12) December 1993, pp. 1096-1101

Levin Y, da Silveira F. L., Rizzato F. B., Electromagnetic braking: A simple quantitative model. Am. J. Phys. 74 (9) September 2006, pp. 815-817