El espejo parabólico (II)

Los rayos de luz paralelos inciden en la parábola inclinados un ángulo δ.

Continuamos ahora con el estudio del espejo parabólico de distancia focial f. Como hemos visto en la página anterior, la ecuación de la superficie del espejo es

y= x 2 4f

Supondremos ahora, que los rayos de luz paralelos inciden en la parábola inclinados un ángulo δ, respecto del eje Y tal como se muestra en la figura de la izquierda.

El rayo de color verde forma un ángulo δ con el eje Y, incide en el espejo parabólico en P, el ángulo de incidencia (el que forma el rayo incidente con la normal) es θ+δ, el ángulo que forma el rayo reflejado con la normal es θ+δ. Este rayo corta al eje Y en un punto marcado por un círculo verde. Como vemos en la figura de la derecha, la ordenada de ese punto vale

tanθ= dy dx = x 2f y f =y+ x tan(2θ+δ)

f=0.7; %posición del foco (cambiar)
a=1.0; %apertura es 2a (mantener fijo)
x=-a-.05:0.05:a+0.05;
y=x.^2/(4*f);
delta=3; %inclinación de los rayos paralelos en grados
hold on

%espejo parabólico
plot(x,y,'k')
xx=[x(1),x,x(end)];
yy=[-0.3,y,-0.3];
fill(xx,yy,'k')
axis equal
xlim([-a-0.1,a+0.1])

%rayos
xc=fix(x(1)*10)/10:0.1:-fix(x(1)*10)/10;
yc=xc.^2/(4*f);
angulo=atan(xc/(2*f)); %pendiente
 %intersección del rayo reflejado con el eje Y
yf=yc+xc./tan(2*angulo+delta*pi/180);
hl=line([0,0],[0,a+0.3]);
set(hl,'color','g')
for i=1:length(xc)
    line([xc(i),xc(i)+(a+0.3-yc(i))*tand(delta)],[yc(i),(a+0.3)]);
    hl=line([xc(i),0],[yc(i),yf(i)]);  %reflejados
    set(hl,'color','r')
end
%intersección con el eje Y
plot(0,yf,'ro','markersize',2,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
%foco de la parábola
plot(0,f,'ko','markersize',2,'markeredgecolor','k','markerfacecolor','k') 
hold off
title('Espejo parabólico')
xlabel('x')
ylabel('y')

Los rayos reflejados no se concentran en el foco (marcado por un punto de color negro). Con un punto de color rojo marcamos la intersección de los rayos reflejados con el eje Y (en color verde)

Tamaño finito del Sol

Debido al tamaño finito del Sol, los espejos parabólicos no pueden concentrar los rayos del Sol en el foco de la parábola. El tamaño angular medio del Sol es de 31' 59" ≈32'=32/60 de grado, algo menos de medio grado.

En esta ocasión, dibujaremos los rayos reflejados para cada uno de los puntos seleccionados del espejo parabólico, de tres rayos incidentes:

f=0.7; %posición del foco (cambiar)
a=1.0; %apertura es 2a (mantener fijo)
x=-a-.05:0.05:a+0.05;
y=x.^2/(4*f);
delta=3; %inclinación de los rayos paralelos en grados
hold on

%espejo parabólico
plot(x,y,'k')
xx=[x(1),x,x(end)];
yy=[-0.3,y,-0.3];
fill(xx,yy,'k')
axis equal
xlim([-a-0.1,a+0.1])

%rayos
xc=fix(x(1)*10)/10:0.1:-fix(x(1)*10)/10;
yc=xc.^2/(4*f);
angulo=atan(xc/(2*f)); %pendiente
hl=line([0,0],[0,a+0.3]);
set(hl,'color','g')
for delta=[-16/60,0,16/60]
%intersección del rayo reflejado con el eje Y
    yf=yc+xc./tan(2*angulo+delta*pi/180); 
    for i=1:length(xc)
        hl=line([xc(i),0],[yc(i),yf(i)]);  %reflejados
        set(hl,'color','r')
    end
    %intersección con el eje Y
    plot(0,yf,'ro','markersize',2,'markeredgecolor','r',
'markerfacecolor','r')
end
%foco de la parábola
plot(0,f,'ko','markersize',2,'markeredgecolor','k',
'markerfacecolor','k') 
hold off
title('Espejo parabólico')
xlabel('x')
ylabel('y')