Escalera apoyada en dos paredes perpendiculares.

Estática

Supongamos una escalera homogénea de masa m y longitud L apoyada en dos paredes perpendiculares. Las fuerzas sobre la escalera son las que se ha dibujado en la figura.

{ F x = F r N=mg F x L·cosθ F y L·sinθ+mgdsinθ=0

La situación de equilibrio solamente nos proporciona tres ecuaciones (dos para las fuerzas y una para los momentos), sin embargo, tenemos cuatro incógnitas, el problema es indeterminado.

Para que la escalera pernanezca en equilibrio se tiene que cumplir que las fuerzas de rozamiento Fr y Fy sean menores que sus valores máximos. Si μv y μh son los coeficientes estáticos en las paredes vertical y horizontal, respectivamente

{ F y μ v F x F r μ h N

Estas dos desigualdades conducen a una relación entre ambos coeficientes de rozamiento. De la tercera ecuación de equilibrio, la de los momentos, despejamos Fy

F y =mg d L F x tanθ

A partir de ambas desigualdades obtenemos

F y =mg d L F x tanθ F y μ v F x F x mgd/L μ v +1/tanθ F r μ h N F x μ h ( mg F y ) F x μ h ( mgmg d L + F x tanθ ) μ h mg(1d/L) 1 μ h /tanθ F x μ h mg(1d/L) 1 μ h /tanθ mgd/L μ v +1/tanθ μ h d/L (1d/L) μ v +1/tanθ

Cuando en centro de masas está en la mitad de la escalera, d=L/2

μ h 1 μ v +2/tanθ

Cuando no hay rozamiento en la pared vertical μv=0

μ h tanθ 2

Para resolver el problema supondremos que Fy=0, en la pared vertical no hay rozamiento.

Cuando la escalera forma un ángulo θ con la vertical las ecuaciones de equilibrio son:

  1. La resultante de la fuerzas debe ser cero.

  2. F x = F r N=mg

  3. El momento de las fuerzas respecto de cualquier punto (por ejemplo el extremo inferior de la escalera) es cero.

F x Lcosθ+mg L 2 sinθ=0

Conocido el ángulo θ, despejamos la fuerza de rozamiento Fr que impide que el extremo inferior deslice a lo largo de la pared horizontal

F r = mg 2 tanθ

A medida que se incrementa el ángulo θ, se inclina cada vez más la escalera, la fuerza de rozamiento aumenta. Alcanza su valor máximo cuando

FrsN= μsmg

Donde μs es el coeficiente estático

El ángulo límite θl a partir del cual la escalera empieza a deslizar es

tanθl=2μs

Dinámica

Si el ángulo que forma la escalera es mayor que el límite, θ0l la escalera empieza a deslizar. La fuerza de rozamiento Fr=μN en el extremo inferior de la escalera disminuye ligeramente, ya que el coeficiente cinético μ suele ser menor que el estático μs

El movimiento de la escalera consta de dos etapas:

1.- El extremo superior de la escalera permanece en contacto con la pared vertical

La posición del centro de masas es (x, y). Mientras el extremo superior de la escalera está apoyado en la pared vertical Fx>0, hay una relación entre x, y y el ángulo θ.

x= L 2 sinθy= L 2 cosθ

Derivamos dos veces respecto del tiempo

dx dt = L 2 cosθ dθ dt d 2 x d t 2 = L 2 { sinθ ( dθ dt ) 2 +cosθ d 2 θ d t 2 } dy dt = L 2 sinθ dθ dt d 2 y d t 2 = L 2 { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 }

Despejamos Fx y N en las ecuaciones del movimiento del c.m.

N=mgm L 2 { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 } F x =μmg+m L 2 { d 2 θ d t 2 ( cosθμsinθ ) ( dθ dt ) 2 ( sinθ+μcosθ ) }

Introducimos N, Fx y Fr=μN en la ecuación de la dinámica de rotación.

( I c +m L 2 4 m L 2 2 μsinθcosθ ) d 2 θ d t 2 = ( m L 2 2 μcosθcosθ ) ( dθ dt ) 2 +mg L 2 sinθmg L 2 μcosθ

Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: En el instante t=0, dθ/dt=0, θ=θ0.

Observamos que la fuerza horizontal que ejerce la pared vertical Fx va disminuyendo hasta que se hace cero en el instante t1. El ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1  y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1. La velocidad horizontal del centro de masas es

( dx dt ) 1 = L 2 cos θ 1 ( dθ dt ) 1

2.- El extremo superior de la escalera deja de estar en contacto con la pared vertical

Las ecuaciones del movimiento son

La ordenada y del centro de masas es

y= L 2 cosθ

Derivamos dos veces respecto del tiempo

dy dt = L 2 sinθ dθ dt d 2 y d t 2 = L 2 { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 }

Despejamos la reacción N

N=mgm L 2 { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 }

Introducimos la expresión de N en la ecuación de la dinámica de rotación y en la de traslación del c.m. Obtenemos el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

d 2 x d t 2 =g L 2 { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 } ( I c +m L 2 4 sinθ(sinθμcosθ) ) d 2 θ d t 2 = ( m L 2 4 cosθ(sinθμcosθ) ) ( dθ dt ) 2 +mg L 2 (sinθμcosθ)

Se resuelve este sistema de dos ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t1, el ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1, la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1 y la velocidad horizontal del centro de masas es

( dx dt ) 1 = L 2 cos θ 1 ( dθ dt ) 1

Se detiene el movimiento cuando la escalera forma un ángulo θ=π/2 con la dirección vertical, cuando la escalera está tumbada en el suelo.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Si el ángulo θ0 es menor que el ángulo límite tanθl=2μs



Referencias

Mendelson K. S. Statics of a ladder leaning against a rough wall. Am. J. Phys. 63 (2) February 1995. pp. 148-150.

Yehuda Salu. Revisiting the Ladder on the Wall Problem. The Physics Teacher, Vol 49, May 2011, pp. 289-290