Movimiento Armónico Simple

El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el hombre.

Definición

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

x=A·sin(ωt+φ)

donde

A es la amplitud.

ω la frecuencia angular.

ω t+φ la fase.

φ la fase inicial.

Las características de un M.A.S. son:

Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.

La función seno es periódica y se repite cada 2π, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2π, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que ω(t+P)+φ=ω t+φ+2π .

$P = \frac{2 π}{ω}$

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación

x=A·sin(ωt+φ)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

$v = \frac{d x}{d t} = A ω \cdot \cos (ω t + ϕ)$

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

$a = \frac{d v}{d t} = - A ω^{2} \cdot \sin (ω t + ϕ) = - ω^{2} x$

Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + ω^{2} x = 0$

Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.

Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es

x=A sin(ω t+φ )

Condiciones iniciales

Conociendo la posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ en el instante t=0.

x₀=A·sinφ
v₀=Aω·cosφ

se determinan la amplitud A y la fase inicial φ

$A = \sqrt{x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{ω^{2}}} \tan ϕ = \frac{x_{0} ω}{v_{0}}$

Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

$F = m a = - m ω^{2} x$

Como la fuerza F es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial E_p.

$\begin{array}{l} \int_{x_{1}}^{x_{2}} F \cdot d x = E_{p 1} - E_{p 2} \\ \int_{x_{1}}^{x_{2}} F \cdot d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} - m ω^{2} x \cdot d x = - {\frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} |}_{x_{1}}^{x_{2}} = \frac{1}{2} m ω^{2} x_{1}^{2} - \frac{1}{2} m ω^{2} x_{2}^{2} \end{array}$

La expresión de la energía potencial es

$E_{p} (x) = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} + c$

Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial E_p=0 cuando el móvil está en el origen, x=0, por lo que c=0

La energía total E, es la suma de la energía cinética E_k y de la energía potencial E_p que es constante.

$\begin{array}{l} E = E_{k} + E_{p} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} = \\ \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} \cos^{2} (ω t + ϕ) + \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} \sin^{2} (ω t + ϕ) = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} \end{array}$

Curva de energía potencial

La función $E_{p} = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$ representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es E_p=0.

Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero E_k>=0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=E_p. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

$F = - \frac{d E_{p}}{d x} = - m ω^{2} x$

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

Actividades

Se introduce

El valor de mω², actuando en la barra de desplazamiento titulada Constante
La energía total de la partícula E, actuando en la barra de desplazamiento titulada Energía.

Se pulsa en el botón titulado Empieza

Observar los valores de la energía cinética, potencial y la fuerza sobre la partícula, en particular, cuando la partícula pasa por el origen y por las posiciones de máximo desplazamiento.