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Movimiento curvilíneo

Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY. Situamos un origen y unos ejes y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector posición.

Cine_10.gif (2821 bytes)Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.

Diremos que el móvil se ha desplazado Δr=r’-r en el intervalo de tiempo Δt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

 

 

 

 

Vector velocidad

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Δr y el tiempo que ha empleado en desplazarse Δt.

< v > = r ' r t ' t = Δ r Δ t

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media <v1> entre los instantes t y t1.

 

 

 

 

Cine_12.gif (2647 bytes)El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

v = lim Δ t 0 Δ r Δ t = d r d t

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

 

Vector aceleración

Cine_13.gif (3324 bytes)En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia Δv=v’-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Δv y el intervalo de tiempo Δt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

<a>= v'v t't = Δv Δt

Y la aceleración a en un instante

a= lim Δt0 Δv Δt = dv dt

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

x=x(t) v x = dx dt a x = d v x dt y=y(t) v y = dy dt a y = d v y dt

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Ejemplo 1:

Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. Calcular:

vx=dx/dt=6t2-6t  m/s
vy=dy/dt=2t-2 m/s

ax=dvx/dt=12t-6 m/s2
ay
=dvy/dt=2 m/s2

Ejemplo 2:

Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en función del tiempo vienen dadas por las expresiones: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Si en el instante inicial t0=0 s, el móvil se encontraba en la posición x0=1, y0=2 m. Calcular:

a x = d v x dt =12 t 2 +4 m/s 2 a y = d v y dt =4 m/s 2

Dada la velocidad vx=4t3+4t del móvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral

x1= 0 t (4 t 3 +4t)dt x= t 4 +2 t 2 +1m

Dada la velocidad vy=4t del móvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral

y-2= 0 t (4t)dt y=2 t 2 +2m

Ejemplo 3:

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2Calcular:

  1. La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto
  2. La altura máxima
  3. Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

 

  1. Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X

ax=2   
vx=
2t
x=
2t2/2

 

  1. Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de los cuerpos)
    ay=-10
    vy=
    20+(-10)t
    y=
    20t+(-10)t2/2
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