El oscilador armónico cuántico

El estudio del oscilador armónico es un capítulo fundamental de la Mecánica Clásica, es también un sistema físico de especial importancia en el estudio de las vibraciones de las moléculas y también tiene interés desde el punto de vista matemático.

Descripción

La ecuación de Schrödinger unidimensional e independiente del tiempo es

$\frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} Ψ}{d x^{2}} + E_{p} (x) Ψ = E Ψ$

La energía potencial de un oscilador armónico es E_p=kx²/2, donde k es la constante elástica y m la masa de la partícula.

Tomando una escala de energías y distancias de la forma

$x = \sqrt{(\frac{ℏ}{m ω})} ξ E = ℏ ω ε ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$

La ecuación de Schrödinger se transforma en otra más simple

$\frac{1}{2} (- \frac{d^{2}}{d ξ^{2}} + ξ^{2}) Ψ (ξ) = ε Ψ (ξ)$

Los niveles de energía vienen dados por

$ε_{n} = n + \frac{1}{2}$

Los niveles de energía E de un oscilador armónico serán, por tanto

$E = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) n = 0,1,2,3$

Y las funciones de onda

$Ψ_{n} (ξ) = \frac{H_{n} (ξ)}{\sqrt{2^{n} \sqrt{π} n!}} \exp (- \frac{ξ^{2}}{2})$

Siendo H(ξ) los polinomios de Hermite.

Actividades

Se introduce

la constante k, en el control de edición situado a la izquierda titulado Constante elástica
la masa m de la partícula, en el control de edición situado a la derecha titulado Masa de la partícula. Se debe tener en cuenta, que para cada valor de la constante elástica el intervalo de valores de la masa de la partícula se modifica.

Se pulsa el botón titulado Gráfica, para obtener la representación gráfica de la función potencial y de los primeros niveles de energía y funciones de onda asociada.

Observar la distribución de los niveles de energía para:

Un valor de la constante elástica k, y varios valores de la masa m de la partícula (en el intervalo especificado)
Varios valores de la constante elástica k, manteniendo constante la masa m de la partícula.