Un dispositivo mecánico simple

En la página anterior, se ha descrito el péndulo cónico, que se caracteriza por una velocidad angular critica ω_c a partir de la cual el péndulo se desvía un cierto ángulo de de su posición vertical. Por debajo de esta velocidad angular crítica, el péndulo permanece en la posición vertical θ =0.

Un dispositivo similar es un aro de radio R que puede girar alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω. Un punto material de masa m se mueve a lo largo de la circunferencia sin rozamiento.

Ambos sistemas, se pueden describir por una energía potencial efectiva debida al peso de la partícula y a la fuerza centrífuga.

El sistema que vamos a estudiar ahora no hay fuerzas de inercia ya que consiste en una partícula de masa m que se mueve a lo largo de una circunferencia de radio R sin rozamiento. La partícula está unida al extremo de un muelle de constante k tal como se muestra en la figura

La energía potencial

La energía potencial de la partícula se compone de dos términos:

La energía potencial gravitatoria, mg(R-R·cosθ)
La energía potencial elástica, debida a la deformación del muelle

La longitud l del muelle deformado es

l= (R·sin⁡θ) 2 +( R 2 +Rcos⁡θ ) 2 = R 2 5+4cos⁡θ

Como la longitud del muelle sin deformar es R/2, la energía potencial debida a ambas fuerzas conservativas es

E p (θ)=mgR(1−cos⁡θ)+ 1 8 k R 2 ( 5+4cos⁡θ −1 ) 2

Posiciones de equilibrio

La fuerza tangencial que actúa sobre la partícula es

F(θ)=− ∂ E p ∂(Rθ) =( −mg+ 1 2 kR( 1− 1 5+4cos⁡θ ) )sin⁡θ

Las posiciones de equilibrio se obtienen cuando F(θ)=0

θ=0, θ=π y el ángulo θ₀ raíz de la ecuación trascendente

1 5+4cos⁡θ =1− 2mg kR

Estabilidad

Calculamos la derivada segunda de la energía potencial

∂ 2 E p ∂ (Rθ) 2 =( mg R − 1 2 k( 1− 1 5+4cos⁡θ ) )cosθ− k sin⁡ 2 θ (5+4cos⁡θ) 3/2

Para θ=0

∂ 2 E p ∂ (Rθ) 2 = mg R − 1 3 k

La derivada segunda es positiva (equilibrio estable) si k< 3mg R

Para θ=π

∂ 2 E p ∂ (Rθ) 2 =− mg R

La derivada segunda es negativa, por lo que la posición de equilibrio es inestable

Para θ= θ₀

∂ 2 E p ∂ (Rθ) 2 =k ( 1− 2mg kR ) 3 sin⁡ 2 θ

Esta derivada es positiva si k> 2mg R

Ahora bien, examinemos la ecuación que nos da la raíz θ₀.

1 5+4cos⁡θ =1− 2mg kR

El valor mínimo del miembro izquierdo es 1/3, y el valor máximo es 1.
El valor mínimo del miembro derecho se obtiene para k=3mg/R. y el valor máximo para k→∞.

Así pues, cuando la constante k del muelle elástico es inferior al valor critico k_c=3mg/R la posición de equilibrio estable es θ=0, y cuando k>k_c, la posición de equilibrio estable es θ₀, raíz de la ecuación trascendente.

Actividades

En el programa interactivo se han fijado los valores de:

La masa de la partícula m=0.1 kg
El radio de la circunferencia R=0.5 m
La aceleración de la gravedad g=10 m/s²

Con estos datos, el valor critico de la constante elástica es k_c=3mg/R=6 N/m

Se introduce

La constante k del muelle elástico, actuando en la barra de desplazamiento titulada Constante.

Se pulsa el botón titulado Calcular.

Si k<6 la posición de equilibrio es θ=0
Si k>6, el programa interactivo calcula el ángulo de equilibrio θ₀

Se muestra a la derecha del applet, la representación gráfica de la energía potencial E_p(θ). Observar los máximos y los mínimos.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Drugowich J. R., Hipólito O. Spontaneous symmetry breaking in a simple mechanical model. Am. J. Phys. 53 (7) July 1985, pp. 690-693