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Fuerzas no conservativas

Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla con la fuerza conservativa peso.

El peso es una fuerza conservativa.

Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A.

bucle4.gif (1490 bytes)

WAB=mg x

WBA=-mg x

El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A, WABA es cero.

 

 

 

 

 

 

 

La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa

Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es de signo contrario al desplazamiento.

bucle5.gif (1110 bytes)WAB=-Fr x

WBA=-Fr x

El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, WABA es distinto de cero

WABA=-2Fr x

 

 

Balance de energía

En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.

A B ( F c + F nc )dr = E kB E kA    

El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y la final

A B F c ·dr = E pA E pB    

Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que

A B F nc ·dr = ( E k + E p ) B ( E k + E p ) A = E B E A

El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética más potencial) de la partícula.

Ejemplo 1:

Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:

 

Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado

W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J

De la ecuación del balance energético W=EB-EA, despejamos x=11.5 m, h=x·sin30º=5.75 m

Cuando el cuerpo desciende

W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J

De la ecuación del balance energético W=EA-EB, despejamos v=9.03 m/s.

Ejemplo 2:

Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de cuarto de circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y normal, escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la dirección tangencial

mat=mg·cosθ-Fr

Donde at=dv/dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento

m dv dt =mg·cosθ F r

Calculamos el trabajo Wr realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento

W r = 0 θ F r dlcos180º = 0 θ mg·cosθ·dl·cos0º + 0 θ m dv dt dl

Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeño arco de circunferencia dl=R·dθ y que

dv dt dl= dl dt dv=v·dv

El trabajo realizado por la fuerza no conservativa Fr vale

W r =mgR 0 θ cosθ·dθ +m 0 v vdv W r =mgR·sinθ+ 1 2 m v 2

Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la posición θ

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía cinética más la variación de energía potencial.

El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe el cuarto de círculo es

W r =mgR+ 1 2 m v 2

Para un cálculo explícito del trabajo de la fuerza de rozamiento véase "Movimiento sobre un cúpula semiesférica con rozamiento"

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