El método de las imágenes

El método de las imágenes implica la conversión de un campo eléctrico en otro equivalente más fácil de calcular. En ciertos casos es posible sustituir un conductor por una o más cargas puntuales, de modo que las superficies conductoras se sustituyen por superficies equipotenciales a los mismos potenciales.

El caso más sencillo es el de una carga q situada a una distancia d de una placa conductora conectada a Tierra. La placa puede reemplazarse por una carga imagen -q, tal como se muestra en la figura.

El plano que corta perpendicularmente a la línea que une las dos cargas y que está a la misma distancia de ambas, está a un potencial cero. La parte derecha de la figura, se ha obtenido con el applet de la página titulada "El campo eléctrico de un sistema de dos cargas"

Se ha empleado el método de las imágenes para determinar el campo y el potencial de un sistema formado por una carga puntual Q próxima a una esfera conductora a potencial cero. En esta página, se van a describir sistemas algo más complejos.

Esfera cargada próxima a un plano conductor a potencial cero

Vamos a obtener el campo eléctrico de una esfera cargada próxima a un plano conductor a potencial cero por el método de las imágenes mediante aproximaciones sucesivas.

Sustituiremos la esfera y el plano por una sucesión de cargas puntuales de signos contrarios que converge a cero rápidamente, y que hacen que las dos superficies (esfera y plano) sean equipotenciales.

Supongamos que la esfera de radio r, está a un potencial V, y su centro dista d>r del plano a potencial cero.

Los pasos para aplicar el método de las imágenes son los siguientes:

Colocamos una carga q₀ en el centro de la esfera. Esto hace que la superficie esférica de radio r esté a un potencial V.

V= 1 4π ε 0 q 0 r

Colocamos una carga –q₀ a una distancia 2d del centro de la esfera. Esto hace que el plano sea una superficie equipotencial, pero ya no lo es la esfera.

Colocamos una carga q₁ en el interior de la esfera. Calculamos el valor de q₁ y su posición x₁ para que la esfera sea una superficie equipotencial, aunque deje de serlo el plano

El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas –q₀ y q₁ lo hacemos cero

− q 0 2d+r + q 1 r+ x 1 =0

El potencial en B (r, 0) debido a las cargas –q₀ y q₁ lo hacemos cero

− q 0 2d−r + q 1 r− x 1 =0

Despejamos q₁ y x₁ de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

x 1 = r 2 2d q 1 = q 0 r 2d

Colocamos una carga –q₁ simétrica a q₁ para el plano sea equipotencial, pero deja de serlo la superficie esférica

Colocamos una carga q₂ en el interior de la esfera, para que esta sea equipotencial, aunque el plano deje de serlo

El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas –q₁ y q₂ lo hacemos cero

− q 1 2d+r− x 1 + q 2 r+ x 2 =0

El potencial en B (r, 0) debido a las cargas –q₁ y q₂ lo hacemos cero

− q 1 2d−r− x 1 + q 2 r− x 2 =0

Despejamos q₂ y x₂ en este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

x 2 = r 2 2d− x 1 q 2 = q 1 r 2d− x 1 = q 0 r 2 4 d 2 − r 2

Continuamos el proceso que converge rápidamente hasta que tenemos la precisión deseada

Relaciones recursivas

Podemos calcular la sucesión de cargas q_i y sus posiciones x_i mediante las relaciones recursivas

x i+1 = r 2 2d− x i q i+1 = q i r 2d− x i i=0, 1, 2, 3... x 0 =0 q 0 =q

Ejemplo:

Tomamos d=3r, q₀=1, y r=1

Paso	Posición x_i	Carga q_i
0	0	1
1	0.166667	0.16667
2	0.171429	0.02857
3	0.171569	0.00490
4	0.171573	0.00084
5	0.171573	0.00014

Podemos sustituir la distribución de carga formada por una esfera de radio r y un plano a potencial cero situado a una distancia d>r del centro de la esfera, por una sucesión de cargas puntuales positivas situadas en la esfera y sus correspondientes cargas negativas situadas simétricamente respecto del plano. Esta sucesión tiende a cero rápidamente.

Así la carga q_i está en la posición x_i y su simétrica –q_i está en la posición 2d-x_i

La carga total de la esfera es

Q= ∑ 0 ∞ q i

Solamente q₁ contribuye al potencial de la esfera, las cargas -q₁, q₂ anulan el potencial de la esfera, y lo mismo ocurre con todos los restantes pares de cargas. El potencial de la esfera es, por tanto, V=q₁/(4πє₀)

Campo y potencial producido por el conjunto de cargas puntuales

Calculamos el campo y el potencial producido en el punto P (x, y) por el par de cargas q_i situada en el punto x_i y su simétrica –q_i en la posición 2d-x_i

El módulo del campo E₁ producido por la carga q_i es

E 1 = 1 4π ε 0 q i ( x− x i ) 2 + y 2

El módulo del campo E₂ producido por la carga simétrica -q_i es

E 2 = 1 4π ε 0 q i ( 2d−x− x i ) 2 + y 2

Las componentes del campo total E_i son

E_ix=E₁·cosθ₁+E₂·cosθ₂
E_iy=E₁·sinθ₁-E₂·sinθ₂

E ix = q i 4π ε 0 x− x i ( ( x− x i ) 2 + y 2 ) 3/2 + q i 4π ε 0 2d−x− x i ( ( 2d−x− x i ) 2 + y 2 ) 3/2 E iy = q i 4π ε 0 y ( ( x− x i ) 2 + y 2 ) 3/2 − q i 4π ε 0 y ( ( 2d−x− x i ) 2 + y 2 ) 3/2

El potencial V_i en el punto P debido a las dos cargas es

V i = 1 4π ε 0 q i ( x− x i ) 2 + y 2 + 1 4π ε 0 − q i ( 2d−x− x i ) 2 + y 2

El campo y el potencial total es la suma de todos los campos y potenciales producidos por los pares de cargas dispuestas simétricamente al plano

E= ∑ 0 ∞ E i V= ∑ 0 ∞ V i

Actividades

Se introduce

La distancia d entre el centro de la esfera cargada y el plano a potencial cero en unidades del radio r de la esfera, actuando en la barra de desplazamiento titulada Distancia

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se trazan las líneas de fuerza (en color blanco) y las superficies equipotenciales (en color azul claro).

Las superficies equipotenciales se han trazado, en intervalos de 0.05 unidades arbitrarias, tomando el potencial de la esfera como la unidad.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Referencias

Lorrain P. Corson D. Campos y ondas electromagnéticas. Selecciones Científicas (1972), págs. 159-16