Campo magnético producido en un punto fuera del eje de la corriente circular

Vamos a calcular el campo magnético producido por una espira circular en un punto fuera del eje de la espira. La ley de Biot afirma que el campo B producido por una corriente i se obtiene

B= μ 0 i 4π ∮ u t × u r r 2 dl

Donde dl es un elemento de corriente, u_t es un vector unitario que señala la dirección y sentido de la corriente, y u_r es un vector unitario que señala el punto P donde se calcula el campo magnético.

anillo_5.gif (3969 bytes)

El campo producido por una espira de radio a tiene simetría axial, bastará calcular las componentes B_y y B_z del campo magnético en un punto P (0, y, z) del plano YZ.

Como vemos en la figura la distancia r entre el elemento de corriente dl=a·dø que está situado en el punto (a·cosø , a·senø , 0) y el punto P (0, y, z) considerado es

r= a 2 + y 2 + z 2 −2aysin⁡φ u r = −a·cos⁡φ·i+(y−a·sin⁡φ)·j+z·k r u t =−sin⁡φ·i+cos⁡φ·j

Efectuando el producto vectorial u_t × u_r, nos queda las componentes del campo

B x = μ 0 4π i·a·z ∫ 0 2π cos⁡φ r 3 dφ B y = μ 0 4π i·a·z ∫ 0 2π sin⁡φ r 3 dφ B z = μ 0 4π i·a ∫ 0 2π a−y·sin⁡φ r 3 dφ

La primera integral es inmediata y vale cero B_x=0, ya que para cada elemento de corriente dl existe otro simétrico al plano OYZ cuyo efecto es el de anular la componente X del campo magnético

Las componentes del campo B son

B y = μ 0 2π i·a·z ∫ −π/2 π/2 sin⁡φ ( a 2 + z 2 + y 2 −2aysin⁡φ ) 3/2 dφ B z = μ 0 2π i·a ∫ −π/2 π/2 a−y·sin⁡φ ( a 2 + z 2 + y 2 −2aysin⁡φ ) 3/2 dφ

Debido a la simetría cilíndrica del problema, solamente tenemos dos componentes del campo una a lo largo del eje de simetría Z, B_z y la otra en la dirección radial B_y.

Cuando y=0, un punto del eje de la espira, podemos comprobar fácilmente que B_y=0, y que

B z = μ 0 i 2 a 2 ( z 2 + a 2 ) 3/2

Para expresar estas integrales en términos de las integrales elípticas completas de primera y segunda especie hacemos el cambio de variable

θ=π/2-ø

B y = μ 0 2π i·a·z ∫ π 0 cos⁡θ ( a 2 + z 2 + y 2 −2aycos⁡θ ) 3/2 (−dθ)=− μ 0 i 2π a (2ay) 3/2 z ∫ 0 π −cos⁡θ·dθ (b−cos⁡θ) 3/2 B z = μ 0 2π i·a ∫ π 0 a−y·cos⁡θ ( a 2 + z 2 + y 2 −2aycos⁡θ ) 3 (−dθ)= μ 0 i 2π a (2ay) 3/2 ( a ∫ 0 π dθ (b−cos⁡θ) 3/2 +y ∫ 0 π −cos⁡θ·dθ (b−cos⁡θ) 3/2 ) b= a 2 + z 2 + y 2 2ay

Las tablas de integrales elípticas (Good) nos dan las siguientes equivalencias

∫ 0 π dθ (b−cos⁡θ) 3/2 = m 2−2m 2m E(m) E(m)= ∫ 0 π/2 1−m sin⁡ 2 φ dφ m= 2 1+b ∫ 0 π −cos⁡θ·dθ (b−cos⁡θ) 3/2 = 2m K(m)− 2−m 2−2m 2m E(m) K(m)= ∫ 0 π/2 dφ 1−m sin⁡ 2 φ

Las componentes del campo magnético se expresan en términos de las integrales elípticas completas de primera K(m) y segunda especie E(m) de la siguiente forma.

B y = μ 0 i 2π a (2ay) 3/2 z( − 2m K(m)+ 2−m 2−2m 2m E(m) ) B z = μ 0 i 2π a (2ay) 3/2 ( a m 2−2m 2m E(m)+y 2m K(m)−y 2−m 2−2m 2m E(m) ) m= 2 1+b = 4ay a 2 + z 2 + y 2 +2ay

En la figura, se muestra la dirección del campo magnético mediante flechas, en el plano YZ, con y>0 y z>0. El módulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un punto cercano al anillo a otro algo más alejado. El radio de la espira es a=1.0

Caso particular

Estudiamos el campo a lo largo del eje del anillo, y →0,

m→ 4ay z 2 + a 2

las integrales elípticas tienden ambas a K(0)=E(0)=π/2

Como podemos comprobar fácilmente B_y→0, fijarse que los dos términos entre paréntesis se cancelan. En cuanto a la componente Z. Los dos últimos términos ente paréntesis proporcionales a y se cancelan

B z → μ 0 i 2π a (2ay) 3/2 ( a 4ay z 2 + a 2 2 2 4ay z 2 + a 2 π 2 )= μ 0 i 2 a 2 ( z 2 + a 2 ) 3/2

Resultado que hemos obtenido previamente.

Actividades

Se introduce

La abscisa (y/a) del punto P, actuando en la barra de desplazamiento titulada Abscisa
La ordenada (z/a) del punto P, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ordenada

Se pulsa en el botón titulado Calcular

El programa interactivo calcula las componentes B_y y B_z del campo, su módulo y el ángulo que forma con el eje Y.

Las componentes del campo B_y y B_z se expresan en términos de (y/a) y (z/a)

B y = μ 0 i 2 a 1 π (2(y/a)) 3/2 ( z a )( − 2m K(m)+ 2−m 2−2m 2m E(m) ) B z = μ 0 i 2a 1 π (2(y/a)) 3/2 ( m 2−2m 2m E(m)+( y a ) 2m K(m)−( y a ) 2−m 2−2m 2m E(m) ) m= 2 1+b = 4(y/a) 1+ (z/a) 2 + (y/a) 2 +2(y/a)

El campo en el centro de la espira, z=0, es

B z = μ 0 i 2a

El programa interactivo calcula el valor de B_y y de B_z en unidades del campo en el centro de la espira

ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Aproximación: Puntos alejados de la espira. Dipolo magnético

Partimos de nuevo de las ecuaciones

B y = μ 0 2π i·a·z ∫ −π/2 π/2 sin⁡φ ( a 2 + z 2 + y 2 −2aysenφ ) 3/2 dφ B z = μ 0 2π i·a ∫ −π/2 π/2 a−y·sin⁡φ ( a 2 + z 2 + y 2 −2aysin⁡φ ) 3/2 dφ

Si el punto P está lejos de la espira, es decir, si se cumple que

z 2 + y 2 >>a

Podemos aproximar el denominador de las dos integrales que nos calculan el campo B_y y B_z.

( r 2 + a 2 −2aysin⁡φ ) −3/2 ≈ r −3 ( 1− 2ay·sin⁡φ r 2 ) −3/2 ≈ r −3 ( 1+ 3ay·sin⁡φ r 2 )

Donde hemos llamado ahora r a

r= x 2 + y 2 B y ≈ μ 0 2π i·a·z ∫ −π/2 π/2 1 r 3 ( 1+ 3ay·sin⁡φ r 2 ) sin⁡φ·dφ= μ 0 iaz 2π r 3 ∫ −π/2 π/2 ( sin⁡φ+ 3ay· sin⁡ 2 φ r 2 ) ·dφ= = μ 0 iaz 2π r 3 ( −cos⁡φ+ 3ay 2 r 2 ( φ− 1 2 sin⁡(2φ) ) ) −π/2 π/2 = μ 0 i a 2 4 r 3 ( 3yz r 2 ) B z ≈ μ 0 2π i·a ∫ −π/2 π/2 (a−y·sin⁡φ) 1 r 3 ( 1+ 3ay·sin⁡φ r 2 ) dφ = μ 0 ia 2π r 3 ∫ −π/2 π/2 ( a−y·sin⁡φ− 3a y 2 · sin⁡ 2 φ r 2 + 3 a 2 y·sin⁡φ r 2 ) dφ= μ 0 ia 2π r 3 ( aφ− 3 a 2 y·cosφ r 2 +y·cosφ− 3a y 2 2 r 2 ( φ− 1 2 sin⁡(2φ) ) ) −π/2 π/2 = μ 0 i a 2 2 r 3 ( 1− 3 y 2 2 r 2 )= μ 0 i a 2 4 r 3 ( 3 z 2 r 2 −1 )

Las componentes del campo para r>>a, son aproximadamente

r= x 2 + y 2 >>a B y = μ 0 i a 2 4 r 3 ( 3yz r 2 ) B z = μ 0 i a 2 4 r 3 ( 3 z 2 r 2 −1 )

El campo creado por una bobina de N espiras apretadas es N veces el campo producido por una de las espiras.

Las dos componentes del campo, B_y y B_z en el punto P (y, z) las podemos expresar en una única fórmula.

B= μ 0 4π 3(m·r)r− r 2 m r 5

Donde m=i·πa² k es el momento dipolar magnético, señalado mediante una flecha de color rojo.

En el applet se representa las líneas del campo magnético producido por una bobina de pequeño radio a cuyo momento dipolar magnético m se señala mediante una flecha de color rojo.

Líneas de campo magnético

Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es

dz dy = B z B y

tal como se muestra en la figura.

La ecuación diferencial de las líneas de fuerza para el dipolo magnético es

dz dy = 3 z 2 − r 2 3yz = 2 z 2 − y 2 3yz

Haciendo el cambio de variable

Z=z², Y=lny

dZ dY = 4 3 Z− 2 3 exp⁡(2Y)

Para integrar esta ecuación diferencial de primer orden escribimos Z=u·v

du dY v+ dv dY u= 4 3 uv− 2 3 exp⁡(2Y) v( du dY − 4 3 u )+ dv dY u=− 2 3 exp⁡(2Y)

Igualamos a cero el paréntesis

du dY = 4 3 u ln⁡u= 4 3 Y u=exp⁡( 4 3 Y )

La ecuación queda

dv dY exp⁡( 4 3 Y )=− 2 3 exp⁡(2Y) dv dY =− 2 3 exp⁡( 2 3 Y ) v=−exp⁡( 2 3 Y )+C

La solución de la ecuación diferencial es,

Z=exp⁡( 4 3 Y )( −exp⁡( 2 3 Y )+C )=Cexp⁡( 4 3 Y )−exp⁡( 2Y )

donde C es una constante de integración

Deshaciendo el cambio de variable

z 2 + y 2 =C y 4/3

Escribiendo la constante C=D^2/3, D tiene dimensiones de longitud

( z D ) 2 + ( y D ) 2 = ( y D ) 4/3

En la figura, se muestra las líneas del campo magnético para D=0.25, 0.5, 0.75 y 1.0

Referencias

Good R. H. Elliptic integrals, the forgotten functions.Eur. J. Phys. 22 (2001) pp. 119-126.

Mc Tavish J. P., Field pattern of a magnetic dipole. Am. J. Phys. 68 (6) June 2000, pp. 577-57

Fotografía tomada en la VIII Edición del Concurso Ciencia en Acción Zaragoza (2007): Albert Agraz Sánchez, Santiago Clúa. Detector de movimiento por inducción magnética. Universitat de Lleida.