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Distribución de las velocidades de las moléculas

Para un gas ideal monoatómico la energía de las moléculas es solamente cinética E=mv2/2.

En la fórmula (1) efectuamos el cambio de variable E por v.

E= 1 2 m v 2 dn dv =mv dn dE

Resultando la expresión

dn dv =4πN ( m 2πkT ) 3/2 v 2 exp( m v 2 2kT ) (2)

que es la fórmula de Maxwell para la distribución de velocidades de las moléculas de un gas ideal. Nos proporciona el número dn de moléculas que se mueven con una velocidad comprendida entre v y v+dv independientemente de la dirección del movimiento.

Deducción alternativa

Existe otra manera de deducir la distribución de velocidades de Maxwell

El número de moléculas cuya velocidad está comprendida entre v y v+dv, es decir entre vx y vx+dvx, vy y vy+dvy, vz y vz+dvz, de acuerdo a la ley de Boltzmann es

dn=c·exp( m v 2 2kT )d v x ·d v y ·d v z             (3)

donde c es una constante a determinar sabiendo que el número total de moléculas es N. Se efectúa una integral triple entre los límites -∞ y +∞,

dn=c·exp( m v 2 2kT )d v x ·d v y ·d v z N= c·exp( m v 2 2kT )d v x ·d v y ·d v z =c 2πkT m 2πkT m 2πkT m =c ( 2πkT m ) 3/2

Teniendo en cuenta el resultado de la integral

exp(α x 2 )dx = π α

se obtiene

dn=N ( m 2πkT ) 3/2 ·exp( m v 2 2kT )d v x ·d v y ·d v z

Aplicaciones

maxwell_1.gif (2581 bytes)Calculamos el número de moléculas cuya componente X de la velocidad está comprendida entre vx y vx+dvx independientemente de los valores de las otras dos componentes, integrando respecto de vy y vz entre los límites -∞ y +∞ .

d n x =N ( m 2πkT ) 1/2 ·exp( m v x 2 2kT )d v x

La sublimación de un sólido se explica de la siguiente forma: a una temperatura T saldrán de la superficie del cristal aquellos átomos cuya componente X de la velocidad sea positiva y mayor que un valor mínimo vmin, tal que

1 2 m v min 2 =φ

donde ø es la energía de evaporación de las moléculas en la superficie del cristal

n x =N ( m 2πkT ) 1/2 · v min exp( m v x 2 2kT )d v x

En general, el número de moléculas que tienen una componente X de su velocidad mayor que un valor mínimo se obtiene

n x = 1 2 N( 1erf(x) )x= m 2kT v x erf(x)= 2 π 0 x exp( z 2 )dz

erf(x) se denomina función error y viene tabulada en los libros de Matemáticas. Sus valores más notables son:

erf(0)=0, y erf(∞)=1.

El efecto termoiónico es un fenómeno análogo a la sublimación de las moléculas en un sólido, aunque los electrones obedecen a la estadística cuántica de Fermi-Dirac.

El programa interactivo que viene a continuación, calcula 1-erf(x), la complementaria del de la función error cuando se introduce el valor de x en el intervalo [0, ∞).

Programa para calcular  1.0-erf(x)

ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Velocidad media y velocidad cuadrática media

gas_5.gif (1637 bytes) En el espacio de velocidades, un elemento de volumen, es el comprendido entre dos esferas de radios v y v+dv, es decir,  dv=4π v2dv, tal como se ve en la figura.

dn=c·exp( m v 2 2kT )d v x ·d v y ·d v z =c·exp( m v 2 2kT )4π v 2 dv

El valor de esta integral, nos permite calcular la constante de proporcionalidad c

0 x 2 exp(α x 2 )dx = 1 4 π α 3

 La expresión para el número de partículas cuyo módulo de la velocidad esta comprendida entre v y v+dv es

dn=4πN ( m 2πkT ) 3/2 v 2 exp( m v 2 2kT )dv        (2)

Que es la misma expresión (2) que hemos obtenido al comienzo de esta sección 

Teniendo en cuenta los valores de las integrales

0 x 3 exp(α x 2 )dx = 1 2 α 2 0 x 4 exp(α x 2 )dx = 3 8 π α 5

Podemos hallar la velocidad media y de la velocidad cuadrática media.

  1. La velocidad media

<v>= 1 N 0 vdn = 8kT πm

  1. La velocidad cuadrática media

< v 2 >= 1 N 0 v 2 dn = 2 m <E>= 3kT m 1 2 m< v 2 >= 3 2 kT

es la energía media de las moléculas.

La raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de las velocidades se denomina vrms

v rms = < v 2 > = 3kT m

  1. A partir de la expresión (2) podemos hallar la velocidad para la cual la función de distribución presenta un máximo.

d dv ( dn dv )=0 v máx = 2kT m

Los datos necesarios para hallar estos valores son los siguientes

Constante de Boltzmann k=1.3805·10-23 J/K

Número de Avogadro NA=6.0225·1023 /mol

Gas Peso molecular (M) en g.
Hidrógeno (H2) 2
Oxígeno (O2) 32
Nitrógeno (N2) 28
Helio (He) 4
Neón (Ne) 10
Argón (Ar) 18

Ejemplo:

Calcular la vrms del oxígeno a 500 ºK

v rms = 3·1.3805· 10 23 ·500 0.032/6.0225· 10 23 =624.3m/s

Actividades

Se pulsa en el botón titulado Gráfica.

El programa calcula la velocidad vp a la cual la función de distribución presenta un máximo, la velocidad cuadrática media vrms y la velocidad media <v> Representa mediante una línea vertical a trazos la velocidad cuadrática media.

Se pulsa en el botón titulado Borrar para limpiar el área de trabajo del applet.

Ejercicios:

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