Oscilaciones
Las oscilaciones pueden encuadrarse dentro de la dinámica de una partícula, pero hay muchos más sistemas oscilantes que una masa unida a un muelle elástico o un péndulo simple. El Movimiento Armónico Simple es importante, ya que el teorema de Fourier establece que cualquier clase de movimiento periódico puede considerarse como la superposición de movimientos armónicos simples.
Las oscilaciones tienen, por tanto, entidad propia como unidad aparte. La dificultad matemática del capítulo, se compensa con prácticas y programas de ordenador para que el estudiante obtenga un conocimiento intuitivo, capte la esencia física del sistema.
Un sistema oscilará alrededor de la posición de equilibrio si a un desplazamiento x, desde el equilibrio tiene como respuesta una fuerza que tiende a restaurar el sistema hacia la posición x=0. El tipo más simple ocurre cuando la fuerza restauradora está linealmente relacionada con el desplazamiento x. De este modo comenzamos el estudio de las oscilaciones.
El Oscilador Armónico Simple no es, en general, un sistema aislado. Sin embargo, las fuerzas ejercidas en el soporte son fuerzas que no realizan trabajo (si se desprecia las fuerzas de rozamiento), la energía del oscilador libre debe conservarse. El hecho de que la velocidad sea cero en el desplazamiento máximo y máxima en el desplazamiento cero, ilustra el intercambio entre la energía potencial y cinética, permaneciendo constante la energía total.
Se estudiarán varios osciladores mecánicos: masa unida a un muelle elástico, péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo de torsión, corcho que flota en la superficie del agua, etc. Se establecerán analogías entre los distintos sistemas oscilantes cuyo comportamiento viene descrito por la misma ecuación diferencial.
Se señalará la importancia de las oscilaciones de un péndulo como instrumento de medida del tiempo, al ser el periodo independiente de la amplitud de la oscilación y que este hecho fue conocido por Galileo. Se reconocerá mediante ejemplos, que la medida de los tiempos por dicho instrumento está afectada por los cambios de temperatura (dilatación de la cuerda) y por la variación con la latitud de la intensidad de la gravedad.
Es interesante poner ejercicios de péndulos compuestos ya que combinan el cálculo momentos de inercia y la aplicación del teorema de Steiner, con la determinación de la posición del centro de masas respecto del centro de oscilación.
Al escribir la ecuación de las pequeñas oscilaciones de un péndulo compuesto, los estudiantes suelen confundir la frecuencia angular con la velocidad angular de tiene el sólido rígido cuando pasa por la posición de equilibrio estable. Se ha de hacerles ver que se trata de dos magnitudes identificadas por el mismo símbolo pero cuyo significado es completamente distinto.
La composición de oscilaciones puede hacerse de forma algebraica o mediante la relación existente entre un Movimiento Armónico Simple y un movimiento circular uniforme. Consideramos que la segunda alternativa es didácticamente más ventajosa que la primera.
Dado un M. A. S. se deberá representar correctamente el vector rotatorio cuya proyección sobre el eje X representa dicho M. A. S.
Se compondrán dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia, en especial los casos de dos M. A. S. en fase y en oposición de fase. Del mismo modo, se pedirá componer dos M. A. S. de direcciones perpendiculares de la misma y de distinta frecuencia, representando la trayectoria del móvil en el plano XY.
El estudio de las oscilaciones forzadas es matemáticamente complejo, pero se deberá presentar un conjunto de ejemplos, en los que el alumno distinga, el oscilador (su frecuencia natural de oscilación), la fuerza oscilante (su frecuencia de oscilación) y la situación de resonancia cuando se igualan ambas frecuencias, y las consecuencias espectaculares que esto provoca.
Los estudiantes de primer curso no conocen que es una ecuación diferencial y cómo obtener la solución de una ecuación diferencial lineal, por lo que el tratamiento de las oscilaciones amortiguadas y forzadas debe limitarse a presentar los resultados, esto no implica falta de rigor. Así, se estudia la oscilación de un sistema formado por una masa unida a un muelle elástico cuando está en un medio viscoso, se plantea la ecuación del movimiento y se escribe en forma de ecuación diferencial, se da la solución de dicha ecuación que el estudiante puede comprobar por simple sustitución.
La característica esencial que define la oscilación amortiguada será el comportamiento de la amplitud con el tiempo.
Del mismo modo, se plantea cuando dicho oscilador está bajo la influencia de una fuerza oscilante. Se proporciona la solución correspondiente al estado estacionario, que comprobará por simple sustitución en la ecuación diferencial que describe la oscilación forzada.
La característica esencial será el comportamiento de la amplitud de la oscilación y la diferencia de fase entre la fuerza oscilante y el oscilador.
Se introducirá el concepto matemático de valor medio de una función periódica, justificándose cualitativamente por qué en los sistemas oscilantes, es una medida mejor que el valor en un instante.
Al efectuar el balance energético, se comprobará que en el estado estacionario, el valor medio de la energía aportada al oscilador en la unidad de tiempo es igual al valor medio de la energía disipada en la unidad de tiempo.
Por último, se representa en el eje vertical el valor medio de la energía aportada al oscilador por unidad de tiempo, y en el eje horizontal la frecuencia de la fuerza oscilante, definiéndose la situación de resonancia y de agudeza de la curva de la resonancia.
En este capítulo se dan varias situaciones en los que los estudiantes deben de interpretar gráficas:
- La posición, velocidad y aceleración de un M. A. S. en función del tiempo.
- La descripción del movimiento de una partícula en términos de la curva de su energía potencial.
- La composición de dos M.A.S. de direcciones perpendiculares (puntos tangentes a la trayectoria).
- La amplitud de una oscilación amortiguada en función del tiempo.
- La amplitud de una oscilación forzada en función de la frecuencia de la fuerza oscilante.
- La energía media aportada al oscilador forzado en función de la frecuencia de la fuerza oscilante.
Objetivos
- Conocer las características del Movimiento Armónico Simple.
- Estudiar varios osciladores mecánicos, deduciendo la fórmula del periodo de sus oscilaciones libres.
- Relacionar el movimiento circular uniforme y el Movimiento Armónico Simple, y conocer el procedimiento de composición de dos M.A.S de la misma dirección y de direcciones perpendiculares.
- Conocer las características esenciales de uno de los fenómenos más sorprendentes de la Naturaleza, el fenómeno de la resonancia en una oscilación forzada.
Contenidos.
- Movimiento armónico simple (M.A.S.).
- Cinemática del M.A.S.
- Dinámica del M.A.S. Consideraciones energéticas.
- Ejemplos de osciladores.
- M. A. S. y movimiento circular uniforme.
- Composición de dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia.
- Composición de dos M.A.S. de direcciones perpendiculares.
- Oscilaciones amortiguadas.
- Oscilaciones forzadas, resonancia.
Documentación
M.A.S y movimiento circular uniforme
Composición de dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia
Composición de dos M.A.S. de direcciones perpendiculares.
Oscilaciones forzadas. El estado estacionario
Actividades
Medida de la frecuencia y del desfase de dos señales
Una partícula que cae sobre un muelle elástico
Se coloca un bloque sobre un muelle vertical sin deformar.
Dinámica de una partícula unida a una goma elástica
Oscilador amortiguado por una fuerza de módulo constante (I)
Demostración de aula
Una cuerda se dispone horizontalmente sujeta por dos extremos, y se cuelgan de ella dos péndulos iguales, separados una cierta distancia, véase la Figura1. Se procede del siguiente modo:
- Se hace oscilar uno de los péndulos, y se observa como evoluciona en el tiempo las oscilaciones de los dos péndulos.
- Se mide con un cronómetro el periodo de la oscilación de un péndulo, y el tiempo de una pulsación, es decir, desde que se para uno de los dos péndulos hasta que vuelve a pararse de nuevo.
- Se cuenta aproximadamente el número de oscilaciones que caben en una pulsación, y se representa un esquema de las oscilaciones de ambos péndulos y de sus envolventes.
- Se estudia el sistema desde el punto de vista energético, observando como se transfiere la energía de un péndulo a otro a través del acoplamiento.
- Se tensa la cuerda horizontal y se vuelve a realizar la experiencia, comprobando el efecto de cambio en el acoplamiento.
- Por último, se pide representar la función Asin(3t)+Asin(5t), o similar.
Figura 1. Péndulos acoplados
Práctica de laboratorio
Masa unida a un muelle elástico
Oscilaciones libres y amortiguadas del péndulo de Pohl
Oscilaciones forzadas del péndulo de Pohl
Lecturas adicionales
Crutchfield J. P., Doyne Farmer J. Caos. Investigación y Ciencia, nº 125, Febrero 1987, pp. 16-29.
Dubois M., Atten P., Bergé P. El orden caótico. Mundo Científico, V-7, nº 68, Abril 1987.
Fuertes. El modesto péndulo. Revista Española de Física, V-4, nº 3, 1990, pp. 82-86.
Gonzalo P. La ley de Hooke, masa y periodo de un resorte. Revista Española de Física, V-5, nº 1, 1991, pp. 36.
Haken H., Wunderlin A. El caos determinista. Mundo Científico, V-10, nº 108, Diciembre 1990.
Sanmartín Losada, J. R. La Física del botafumeiro. Investigación y Ciencia, nº 161, Febrero 1990.
Solaz J. J. Una práctica con el péndulo transformada en
investigación. Revista Española de Física, V-4, nº 3, 1990, pp. 87-94.
Varios autores. La Ciencia del caos. Número especial de la revista Mundo Científico, nº 115, Julio-Agosto de 1991.