Modos normales de un cable en movimiento de rotación, suspendido verticalmente.

Supongamos un cable de masa M y longitud L suspendido verticalmente. El extremo superior está unido a un eje vertical que gira con velocidad angular ω. El cable está sujeto en el extremo inferior aunque puede girar sin rozamiento alrededor del mismo eje, además, de este extremo pende una carga que hace que el cable esté tenso.

Descripción

La ecuación diferencial que describe el movimiento de rotación del cable es

$\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial z} (T (z) \frac{\partial R (z, t)}{\partial z}) = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} (\frac{M}{L} R (z, t)) \\ T (z) = T_{0} + \frac{M}{L} g z \end{array}$

T(z) es la tensión vertical del cable, incluyendo su propio peso

T₀ es la tensión adicional que se aplica en el extremo inferior del cable, por ejemplo, colgando una pesa, tal como se muestra en la figura.

En el estado estacionario, buscamos una solución de la forma

$\begin{array}{l} R (z, t) = r (z) \cdot \sin (ω t) \\ \frac{d}{d z} (T (z) \frac{d r (z)}{d z}) + ω^{2} \frac{M}{L} r (z) = 0 \end{array}$

La solución de esta ecuación diferencial es

$r (z) = C_{1} J_{0} (\frac{2 ω}{g} \sqrt{\frac{L}{M} (\frac{M}{L} g z + T_{0})}) + C_{2} Y_{0} (\frac{2 ω}{g} \sqrt{\frac{L}{M} (\frac{M}{L} g z + T_{0})})$

J₀ e Y₀ son las funciones de Bessel de orden cero de primera y segunda clase.

Las condiciones de contorno r(0)=r(L)=0, el cable sujeto por ambos extremos, proporcionan dos ecuaciones.

$\begin{array}{l} C_{1} J_{0} (\frac{2 ω}{g} \sqrt{\frac{L}{M} T_{0}}) + C_{2} Y_{0} (\frac{2 ω}{g} \sqrt{\frac{L}{M} T_{0}}) = 0 \\ C_{1} J_{0} (\frac{2 ω}{g} \sqrt{\frac{L}{M} (M g + T_{0})}) + C_{2} Y_{0} (\frac{2 ω}{g} \sqrt{\frac{L}{M} (M g + T_{0})}) = 0 \end{array}$

Despejando C₁ en la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda obtenemos la ecuación trascendente en ω que resolvemos por el procedimiento numérico del punto medio.

$\begin{array}{l} J_{0} (\frac{2 ω}{g} \sqrt{\frac{L}{M} T_{0}}) Y_{0} (\frac{2 ω}{g} \sqrt{\frac{L}{M} (M g + T_{0})}) - Y_{0} (\frac{2 ω}{g} \sqrt{\frac{L}{M} T_{0}}) J_{0} (\frac{2 ω}{g} \sqrt{\frac{L}{M} (M g + T_{0})}) = 0 \\ J_{0} (γ ω) Y_{0} (γ ω \sqrt{\frac{M g}{T_{0}} + 1}) - Y_{0} (γ ω) J_{0} (γ ω \sqrt{\frac{M g}{T_{0}} + 1}) = 0 γ = 2 \sqrt{\frac{L}{g} \cdot \frac{T_{0}}{M g}} \end{array}$

Cuyas raíces ω₀, ω₁, ω₂,… ω_n, nos dan las velocidades angulares de rotación que corresponden a los modos normales.

Las distintas configuraciones r_n(z) se obtienen expresando C₂ en términos de C₁, en la primera ecuación del sistema.

$r_{n} (z) = C_{n} {J_{0} (γ ω_{n} \sqrt{\frac{M g}{T_{0}} \frac{z}{L} + 1}) - \frac{J_{0} (γ ω_{n})}{Y_{0} (γ ω_{n})} Y_{0} (γ ω_{n} \sqrt{\frac{M g}{T_{0}} \frac{z}{L} + 1})}$

La constante C_n se determina haciendo que

$\int_{0}^{L} r^{2} (z) \cdot d z = 1$

Actividades

Se introduce

El valor del parámetro Mg/T₀ actuando en la barra de desplazamiento titulada Parámetro
La longitud del cable se ha fijado en L=1 m

Se pulsa el botón titulado Inicio

Aparece el primer modo normal de velocidad angular ω₀.

Pulsamos el botón titulado Siguiente>> y vamos observando los sucesivos modos hasta el quinto.

Pulsamos el botón titulado Anterior<< y observamos los distintos modos de forma inversa.

La escala horizontal se ha exagerado para apreciar mejor la forma de los distintos modos.

En la parte superior derecha del applet, se proporcionan los valores de las frecuencias ω_n de los distintos modos normales.

Cuando la tensión del cable T₀ es mucho mayor que el peso Mg, las funciones r_n(z) son casi simétricas respecto del plano z=L/2.
Cuando la tensión del cable T₀ es comparable al peso Mg, las funciones r_n(z) son asimétricas.

Referencias

Noël J-M., Niquette C., Lockridge S., Gauthier N., Natural configurations and normal frequencies of a vertically suspended, spinning, loaded cable with both extremities pinned. Eur. J. Phys. 29 (2008), pp. N47-N5