Modos normales de un cable en movimiento de rotación, suspendido verticalmente.
Supongamos un cable de masa M y longitud L suspendido verticalmente. El extremo superior está unido a un eje vertical que gira con velocidad angular ω. El cable está sujeto en el extremo inferior aunque puede girar sin rozamiento alrededor del mismo eje, además, de este extremo pende una carga que hace que el cable esté tenso.
Descripción
La ecuación diferencial que describe el movimiento de rotación del cable es
T(z) es la tensión vertical del cable, incluyendo su propio peso
T0 es la tensión adicional que se aplica en el extremo inferior del cable, por ejemplo, colgando una pesa, tal como se muestra en la figura.
En el estado estacionario, buscamos una solución de la forma
La solución de esta ecuación diferencial es
J0 e Y0 son las funciones de Bessel de orden cero de primera y segunda clase.
Las condiciones de contorno r(0)=r(L)=0, el cable sujeto por ambos extremos, proporcionan dos ecuaciones.
Despejando C1 en la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda obtenemos la ecuación trascendente en ω que resolvemos por el procedimiento numérico del punto medio.
Cuyas raíces ω0, ω1, ω2,… ωn, nos dan las velocidades angulares de rotación que corresponden a los modos normales.
Las distintas configuraciones rn(z) se obtienen expresando C2 en términos de C1, en la primera ecuación del sistema.
La constante Cn se determina haciendo que
Actividades
Se introduce
- El valor del parámetro Mg/T0 actuando en la barra de desplazamiento titulada Parámetro
- La longitud del cable se ha fijado en L=1 m
Se pulsa el botón titulado Inicio
Aparece el primer modo normal de velocidad angular ω0.
Pulsamos el botón titulado Siguiente>> y vamos observando los sucesivos modos hasta el quinto.
Pulsamos el botón titulado Anterior<< y observamos los distintos modos de forma inversa.
La escala horizontal se ha exagerado para apreciar mejor la forma de los distintos modos.
En la parte superior derecha del applet, se proporcionan los valores de las frecuencias ωn de los distintos modos normales.
- Cuando la tensión del cable T0 es mucho mayor que el peso Mg, las funciones rn(z) son casi simétricas respecto del plano z=L/2.
- Cuando la tensión del cable T0 es comparable al peso Mg, las funciones rn(z) son asimétricas.
Referencias
Noël J-M., Niquette C., Lockridge S., Gauthier N., Natural configurations and normal frequencies of a vertically suspended, spinning, loaded cable with both extremities pinned. Eur. J. Phys. 29 (2008), pp. N47-N5