Encuentros de dos vehículos en movimiento circular
Primero, vamos a plantear problemas de
encuentro entre dos vehículos en movimiento rectilíneo para que podamos
compararlos con los encuentros que tienen lugar cuando los vehículos se
mueven en una trayectoria circular.
Problema1
Un automóvil que está parado, arranca con una aceleración de 1.5 m/s2.
En ese mismo instante es adelantado por un camión que lleva una velocidad
constante de 15 m/s. Calcular la posición de encuentro de ambos vehículos
Solución
Escribimos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los vehículos
x
1
=15t
x
2
=
1
2
1.5
t
2
La posición de encuentro x1=x2 da lugar a la
ecuación de segundo grado
0.75t2-15t=0
cuyas soluciones son t=0, y t=20.
El instante de encuentro es te=20s, y la posición
de encuentro xe=300 m medida desde la salida.
Solución gráfica
- Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la línea recta de color azul.
- Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo (una parábola)
El punto de intersección señala el instante te de
encuentro y la posición xe de encuentro.
Problema 2
Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de
intervalo. El primero, con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con
una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular el instante y la altura a la que
se encuentran
Solución
Cuando el primer proyectil lleva un tiempo t>2 moviéndose, el
segundo proyectil lleva un tiempo t-2 en el aire. Las ecuaciones del
movimiento serán:
x
1
=50t−
1
2
9.8
t
2
x
2
=80(t−2)−
1
2
9.8
(
t−2
)
2
El instante y la altura de encuentro se pueden calcular resolviendo la
ecuación de te=3.62 s, xe=116.8 m
Solución gráfica
- Si trazamos x1en función del tiempo t, obtenemos la curva de color azul.
- Si trazamos x2 en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo
El punto de intersección señala el instante te de
encuentro y la posición xe de encuentro.
Problema 3
Dos vehículos describen la misma trayectoria circular. El primero, está animado de un
movimiento uniforme cuya velocidad angular es 60 r.p.m., el segundo está animado de un
movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale -π/6
rad/s2. Sabiendo que en el instante inicial el primer móvil pasa por A, y dos
segundos más tarde el segundo móvil pasa por B, llevando una velocidad angular de 120
r.p.m. Calcular:
- El instante en el que los móviles se encuentran por primera vez
Veamos el movimiento antes de plantear la solución del problema
Solución
Ecuaciones del movimiento de A: movimiento circular uniforme
El móvil sale del origen en el instante t=0.
α
A
=0
ω
A
=2π
θ
A
=2πt
Ecuaciones del movimiento de B: movimiento
uniformemente acelerado
El móvil sale de la posición π/2 en el instante t=2s.
α
B
=−
π
6
ω
B
=4π+(
−
π
6
)(
t−2
)
θ
B
=
π
2
+4π(
t−2
)+
1
2
(
−
π
6
)
(
t−2
)
2
Encuentros
Los encuentros no solamente se obtienen igualando las posiciones de ambos móviles θA=θ B,
sino también y por ser la trayectoria circular, aquellas cuya posición se diferencia en
una circunferencia completa.
θA+2kπ =θB con k=0, ± 1, ± 2, ± 3...
Examinemos en un cuadro la posición de los dos móviles en función del tiempo
| t |
θA |
θB |
|
| 2 |
4π (2 vueltas) |
π /2 |
Sale el móvil B |
| 2.5 |
5π (4π +π ) |
2.48π (2π +0.48π ) |
B detrás de A |
| 2.6 |
5.2π (4π +1.2π ) |
2.87π (2π +0.87π ) |
B detrás de A |
| 2.7 |
5.4π (4π +1.4π ) |
3.26π (2π +1.26π ) |
B detrás de A |
| 2.8 |
5.6π (4π +1.6π ) |
3.64π (2π +1.64π ) |
B delante de A |
Tal como apreciamos en la tabla de las posiciones de los móviles A y B en función del
tiempo, el móvil B pasa al móvil A entre los instantes 2.7 y 2.8. El momento
en el que se produce el primer
encuentro será un instante t a determinar en el intervalo de tiempo
comprendido entre 2.7 y 2.8 s.
La relación que existe entre las posiciones del móvil A y del móvil B, tal como
vemos en la tabla es
θ
A
−2π=
θ
B
2π t−2π=
π
2
+4π(
t−2
)+
1
2
(
−
π
6
)
(
t−2
)
2
Despejando el tiempo t en la ecuación de segundo grado,
obtenemos el instante del primer encuentro t=2.77 s.
Introduciendo t en la ecuación de la posición de A y de B obtenemos la
posición de los móviles en el instante del encuentro
θA=5.56π rad
θB=3.56π rad
Problema 4
Dos móviles describen una trayectoria circular en el mismo sentido. El primer móvil parte del origen, inicialmente en reposo, con aceleración angular constante de 2 rad/s2; el segundo móvil parte de la posición π/2 rad, y está animado de un movimiento uniforme con velocidad constante de 120 r.p.m. Determinar el instante y la posición de encuentro por primera vez de ambos móviles.
Antes de plantear el problema, introducir los datos en el applet al final de esta página
Solución
Ecuaciones del movimiento de A: movimiento circular uniforme
El móvil sale del origen en el instante t=0.
α
A
=2
ω
A
=2t
θ
A
=
1
2
2
t
2
Ecuaciones del movimiento de B: movimiento uniformemente acelerado
El móvil sale de la posición π/2 en el instante t=0 s.
α
B
=0
ω
B
=4π
θ
B
=
π
2
+4πt
Examinemos en un cuadro la posición de los dos móviles en función del tiempo
| t |
θA |
θB |
|
| 0 |
0 |
1.57 |
Partida |
| 0.1 |
0.01 |
2.83 |
B detrás de A |
| 0.2 |
0.04 |
4.08 |
B detrás de A |
| 0.3 |
0.09 |
5.34 |
B detrás de A |
| 0.4 |
0.16 |
6.60=2π+0.31 |
B delante de A |
Tal como apreciamos en la tabla de las posiciones de los móviles A y B en función del tiempo, el móvil B pasa al móvil A entre los instantes 0.3 y 0.4 s. El momento del primer encuentro será un instante de dicho intervalo que vamos a calcular.
La relación que existe entre las posiciones del móvil A y del móvil B, tal como vemos en la tabla es
θ
A
+2π=
θ
B
t
2
+2π=
π
2
+4πt
Las raíces de la ecuación de segundo grado son 0.387, 12.18. El instante del primer encuentro es t=0.387 s
Otros problemas
El applet que hemos presentado a principio de la página solamente sirve para describir
el enunciado del problema. Podemos usar el applet que viene a continuación para resolver
cualquier problema de encuentros en general.
Ecuaciones del movimiento del primer cuerpo
ω
1
=
ω
01
+
α
1
t
θ
1
=
θ
01
+
ω
01
t+
1
2
α
1
t
2
Ecuaciones del segundo cuerpo
ω
2
=
ω
02
+
α
2
(t−
t
0
)
θ
2
=
θ
02
+
ω
02
(t−
t
0
)+
1
2
α
1
(
t−
t
0
)
2
donde t0 es el tiempo que tarda el
segundo móvil en inicial el movimiento
La particularidad del applet es que en los controles de edición no solamente se pueden
introducir números, sino también fracciones del número π.
Por ejemplo si la velocidad de un móvil es:
- π/2, se introduce pi/2.
- 3π/2, introducimos 3*pi/2 o bien, 3pi/2.
- π, introducimos pi o PI.
El programa convierte el texto en un número decimal de doble precisión.
Se introduce
Para el primer móvil (color rojo)
- La posición angular inicial θ01 de partida en el
instante t=0, en el control de edición titulado posición
- La velocidad angular inicial ω01 en el instante t=0, en el control de edición titulado velocidad
- La aceleración angular α1, en el control de edición
titulado aceleración
Para el segundo móvil (color azul)
- La posición angular inicial θ02 de partida en el
instante t=t0, en el control de edición
titulado posición
- La velocidad angular inicial ω02 en el instante t=t0, en el control de
edición titulado velocidad
- La aceleración angular α2, en el control de
edición titulado aceleración
El tiempo t0, en el control de edición titulado tiempo de retraso
Finalmente, el intervalo de tiempo entre dos posiciones consecutivas de cada uno de los móviles en el área
de trabajo del applet.
Problema 5
Dos ruedas, en un cierto instante, giran a razón de
120 r.p.m. y 240 r.p.m., siendo sus radios de 20 cm y 40 cm respectivamente. A
cada una se le aplica un freno y se detiene la menor en 16 s y la mayor en 8 s,
ambas con movimiento uniformemente acelerado.
- ¿En qué instante tienen ambas ruedas la misma
velocidad angular?
- ¿En qué instante, un punto de la periferia, tiene la
misma velocidad lineal?. Calcula la aceleración tangencial y la aceleración
normal en dichos instantes.
- ¿Cuál es el ángulo girado por cada una de las ruedas?
Solución
Velocidades angulares iniciales
ω10=120 rpm=4π rad/s
ω20=240 rpm=8π rad/s
ω1= ω10+α1·t
0=4π+ α1·16, α1=- π/4 rad/s2
ω2= ω20+α2·t
0=8π+α2·8, α2=- π rad/s2
- Ecuaciones del movimiento
ω1=4π+(- π/4) t
ω2=8π+(- π) ·t
θ
1
=4πt+
1
2
(
−
π
4
)
t
2
θ
2
=8πt+
1
2
(−π)
t
2
- Para que tengan la misma velocidad angular
ω1= ω2
4π+(- π/4)·t=8π+(- π)·t, t=16/3
s
- Para que tengan la misma velocidad lineal
v1=v2
r1·ω1=r2· ω2
0.2·(4π+(- π/4)·t)=0.4 ·(8π+(- π)·t), t=48/7 s
En este instante
- aceleraciones tangenciales
at1= r1·α1=0.2·(- π/4)=-0.157 m/s2
at2= r2·α2=0.4·(- π)=-1.257
m/s2
an1= r1·(ω1)2=10.31m/s2
an2= r2·(ω2)2=5.15 m/s2
