Problemas de conservación del momento lineal
Problema 1
Desde el extremo de
una plataforma móvil de 80 kg, inicialmente en reposo, un niño de 40 kg corre
hacia el otro extremo a una velocidad constante de 1 m/s (respecto de la plataforma). Determinar la
velocidad de la plataforma y el sentido de su movimiento. ¿Qué principio físico
aplicas?
Solución
Solución
Sistema aislado
F
ext
=0
F
ext
=
dP
dt
P=cte
Principio de
conservación del momento lineal. El momento lineal inicial es cero, (el niño
está en reposo sobre la plataforma).
El niño
empieza a correr con velocidad de 1 m/s respecto a la plataforma, es decir, con
velocidad (1+v) respecto de Tierra, siendo v la velocidad de la
plataforma.
0=40(1+v)+80·v
v=-1/3 m/s
El niño se mueve hacia la derecha y la plataforma se mueve hacia la izquierda
Problema 2
Un niño de 40 kg está en el extremo de una plataforma de 80 kg y 2 m de
longitud. El niño se desplaza hasta el extremo opuesto de la plataforma. Supondremos
que no hay rozamiento entre la plataforma y el suelo.
- ¿Cuánto se desplaza el centro de masas del
sistema formado por la plataforma y el niño?. Razónese la respuesta.
- ¿Cuánto se desplaza el niño respecto del suelo?
¿Cuánto se desplaza la plataforma respecto del suelo?
Solución
Sistema aislado
F
ext
=0
F
ext
=m
d
v
cm
dt
v
cm
=cte
Si el c.m.
está en reposo continua en reposo
Posición del
c.m. respecto del extremo izquierdo d ela plataforma
x
cm
=
40·0+80·1
40+80
=
2
3
m
Como vemos
en la figura, el niño se mueve 4/3 m y la plataforma 2/3 m
Problema 3
Una partícula de 5 kg de
masa, moviéndose a 2 m/s, choca contra otra partícula de 8 kg de masa
inicialmente en reposo. Si el choque es frontal y elástico, hallar la velocidad
de cada partícula después del choque.
Solución
Choque elástico. Conservación del momento lineal. En un
choque elástico no hay pérdida de energía cinética
{
5·2=5·
v
1
+8
v
2
1
2
5·
2
2
=
1
2
5
v
1
2
+
1
2
8
v
2
2
}{
v
1
=−
6
13
m/s
v
2
=
20
13
m/s
Problema 4
Un núcleo U en reposo se divide en dos fragmentos con masas de 140 y 90 u.m.a.. La Q de la reacción es de 190 MeV. (un mega M es 106 veces).
Datos: 1 u.m.a. = 1.66 10-27 kg, 1eV = 1.6 10-19 J.
- Hallar las velocidades de cada uno de los dos fragmentos.
Solución
1.-Conservación del momento lineal
0=
m
1
v
1
+
m
2
v
2
Los fragmentos m1 y m2 salen en la misma dirección pero en sentido contrario. La relación entre los módulos de las velocidades es
m1v1=m2v2
2.-Balance energético de la colisión
La energía “potencial” nuclear se convierte en energía cinética de los fragmentos
Q=
1
2
m
1
v
1
2
+
1
2
m
2
v
2
2
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas v1 y v2
v
2
=
Q
m
2
(
m
2
m
1
+1
)
v
1
=
m
2
m
1
v
2
v2= 7 154 447 m/s, v1=11 129 140 m/s
Problema 5
Un cuerpo de 5 kg de masa se mueve sobre una mesa lisa con velocidad de 10 m/s y choca contra otro cuerpo de 10 kg de masa, que se desplaza en dirección perpendicular al anterior con velocidad de 5 m/s. Ambos bloques después del choque quedan unidos y se desplazan juntos. Calcular:
- La velocidad de ambos después del choque.
- La dirección de su velocidad.
- La pérdida de energía cinética en el choque
Solución
Conservación del momento lineal
5·(10i) +10·(5j)=15·v
v=
10
3
(i+j) v=
10
3
2
m/s θ=45º
Balance energético de la colisión
1
2
5·
10
2
+
1
2
10·
5
2
+Q=
1
2
15
(
10
3
2
)
2
Q=−
625
3
J
Problema 6
Una partícula de masa 0.2 kg moviéndose a 0.4 m/s choca contra
otra partícula de masa 0.3 kg que está en reposo. Después del choque la primera
partícula se mueve a 0.2 m/s en una dirección que hace un ángulo de 40º con la
dirección original.
- Hallar la velocidad de la segunda partícula.
- La Q del proceso.
Solución
Solución
Se aplica el principio de conservación del momento lineal
| Masa (kg) |
V. antes del choque |
V. después del choque |
| 0.2 |
0.4 i |
0.2·cos40 i+0.2·sin40 j |
| 0.3 |
0 |
v |
0.2(0.4 i)=0.2(0.2·cos40 i+0.2·sin40 j)+0.3·v
v=0.164 i-0.086 j m/s
Módulo: v=0.186 m/s, ángulo θ=-27.5º
Balance energético
Q=
1
2
0.3
v
2
+
1
2
0.2·
0.2
2
−
1
2
0.2·
0.4
2
=−6.84·
10
−4
J
Problema 7
Una partícula de masa 4 kg y velocidad 2 m/s choca contra otra de 3 kg
que está en reposo. La primera se desvía –45º respecto de la dirección inicial
y la segunda 30º.
- Calcular las velocidades de ambas partículas después del
choque.
- ¿Es elástico?
Solución
Se aplica el principio de conservación del momento lineal
| Masa (kg) |
V. antes del choque |
V. después del choque |
| 4 |
2 i |
v1·cos45 i-v1·sin45 j |
| 3 |
0 |
v2·cos30 i+v2·sin30 j |
4·2i=4(v1·cos45 i-v1·sin45 j)+3(v2·cos30 i+v2·sin30 j)
Tenemos el sistema de ecuaciones
8= 4v1·cos45+3v2·cos30
0=-4v1·sin45+3 v2·sin30
La solución del sistema es: v1=1.04 m/s, v2=1.95
m/s
Balance energético
1
2
4·
2
2
+Q=
1
2
4
v
1
2
+
1
2
3
v
2
2
Q=−0.14 J
Problema 8
Tres partículas A, B y C de masas mA = mB = m y mC = 2m, respectivamente se están moviendo
con velocidades cuyo sentido se indica en la figura y de valor vA = vB = v y vC = 2v.
Se
dirigen hacia el origen del sistema de coordenadas al que llegan en el mismo
instante. Al colisionar A y B quedan adheridas y salen en la dirección indicada
con velocidad v/2.
Determinar:
- La velocidad y dirección sale la partícula C.
- ¿Es un choque elástico?. Razona la respuesta
Solución
Conservación del momento lineal
| Masa (kg) |
V. antes del choque |
V. después del choque |
| m |
-v i |
-(v/2)·sin60 i-(v/2)·cos60 j |
| m |
v i |
-(v/2)·sin60 i-(v/2)·cos60 j |
| 2m |
-2v j |
vc |
m(-v i)+m(v i)+(2m)(-2v) j=(2m)( -(v/2)·sin60 i-(v/2)·cos60 j)+(2m) vc
v
C
=v
sin60i+(−4+cos60)j
2
=v
3
4
i−v
7
4
j {
v
c
=
13
2
v m/s
θ=−76.1º
Balance energético
1
2
m
v
2
+
1
2
m
v
2
+
1
2
(2m)
(2v)
2
+Q=
1
2
m
(
v
2
)
2
+
1
2
m
(
v
2
)
2
+
1
2
(2m)
v
C
2
Q=−
3
2
m
v
2
Problema 9
Las
esferas de la figura tienen masas mA = 20 g, mB = 30 g y mC = 50 g. Se mueven hacia el origen sobre una mesa sin fricción con velocidades vA = 1.5 m/s y vB = 0.5 m/s. Las tres esferas llegan al origen
simultáneamente.
- ¿Cuánto
tiene que valer vC (módulo y dirección) para que las masas
queden en el origen, sin moverse, después del choque?
¿Se ha perdido energía cinética en el choque? Si es así, cuánta
Solución
Conservación del momento lineal
| Masa (kg) |
V. antes del choque |
V. después del choque |
| 0.02 |
-1.5 i |
0 |
| 0.03 |
-0.5cos60 i-0.5sin60 j |
0 |
| 0.05 |
vc |
0 |
0.02(-1.5 i)+0.03 (-0.5cos60 i-0.5sin60 j)+0.05vc =0
v
C
=0.75i+0.15
3
j{
v
c
=0.79 m/s
θ=19.1º
Balance energético de la colision
1
2
0.02·
1.5
2
+
1
2
0.03·
0.5
2
+
1
2
0.03·
v
c
2
+Q=0 Q=−0042 J
Problema 10
Una partícula de 5 kg de masa moviéndose a 2 m/s choca contra otra
partícula de 8 kg de masa inicialmente en reposo.Si la primera partícula se
desvió 50º de la dirección original del movimiento. Hallar la velocidad de cada
partícula después del choque. Se supone que el choque es elástico
Solución
Se aplica el principio de conservación del momento lineal
| Masa (kg) |
V. antes del choque |
V. después del choque |
| 5 |
2 i |
v1·cos50 i+v1·sin50 j |
| 8 |
0 |
v2 |
5(2 i)=5(v1·cos50 i+v1·sin50 j)+8·v2
Si el choque es elástico, Q=0, la energía cinética
inicial es igual a la final
1
2
5·
2
2
=
1
2
5·
v
1
2
+
1
2
8·
v
2
2
Despejamos el vector v2 en la primera
ecuación, hallamos su módulo v2 y lo introducimos en la
segunda.
v
2
=
(10−5
v
1
cos50)i−(5·
v
1
sin50)j
8
v
2
2
=
(10−5
v
1
cos50)
2
−
(5·
v
1
sin50)
2
64
20=5
v
1
2
+
100+25
v
1
2
−100
v
1
cos50
8
65
v
1
2
−100cos50·
v
1
−60=0{
v
1
=1.575 m/s{
v
2
=0.974 m/s
θ=−50.7º
v
1
=−0.586 m/s{
v
2
=1.512 m/s
θ=10.7º
