Problemas de oscilaciones (M.A.S.)
Problema 1
Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que
su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión x=5 cos(2t+π
/6) . Donde x está en cm y t en s. En t=0 encuentre
- el desplazamiento,
- su velocidad,
- su aceleración.
- Determinar el periodo y la amplitud del movimiento.
Solución
x=5cos(
2t+
π
6
)
v=
dx
dt
=−10sin(
2t+
π
6
)
a=
dv
dt
=−20cos(
2t+
π
6
)
t=0{
x=5cos
π
6
=
5
3
2
cm
v=−10sin
π
6
=−5 cm/s
a=−20cos
π
6
=−10
3
cm/s
2
Frecuencia angular ω=2 rad/s, Periodo P=2π/ω=π
s
Amplitud, A= 5 cm.
Problema 2
Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de
constante k=43.2 N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm
de amplitud. Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm del
origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:
- Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función
del tiempo.
- Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y
en cualquier instante.
- Valores de t en los que la partícula pasa por el origen.
Solución
Frecuencia angular
ω=
k
m
=
43.2
0.3
=12 rad/s
Ecuación del M.A.S.
x=0.2sin(12t+ϕ)
v=
dx
dt
=2.4cos(12t+ϕ)
En el instante t=0, x=0.1 y v<0
t=0{
0.1=0.2sin(ϕ)
v=2.4cos(ϕ)
sinϕ=0.5{
ϕ=
π
6
cosϕ>0 v>0
ϕ=
5π
6
cosϕ<0 v<0
La segunda solución es la que pide el enunciado del problema
x=0.2sin(
12t+
5π
6
)
v=
dx
dt
=2.4cos(
12t+
5π
6
)
a=
dv
dt
=−28.8sin(
12t+
5π
6
)
Energías
E
k
=
1
2
m
v
2
=
1
2
0.3·
2.4
2
cos
2
(
12t+
5π
6
)=0.864·
cos
2
(
12t+
5π
6
)
E
p
=
1
2
k
x
2
=
1
2
43.2·
0.2
2
sin
2
(
12t+
5π
6
)=0.864·
sin
2
(
12t+
5π
6
)
E=
E
k
+
E
p
=0.864 J
Instantes en los que pasa por el origen
x=0.2sin(
12t+
5π
6
)=0
12t+
5π
6
=nπ t=
nπ−5π/6
12
n=1,2,3...
Problema 3
Un cuerpo está unido a un muelle horizontal de constante k=5 N/m.
El muelle se alarga 10 cm y se suelta en el instante inicial t=0.
Hallar:
- la frecuencia, el período y la amplitud del movimiento.
Escribir la ecuación del M.A.S.
- ¿En qué instante pasa el cuerpo por primera vez por la
posición de equilibrio?
Solución
ω=
k
m
=
5
2
=1.58 rad/s P=
2π
ω
=3.97 s
x=Asin(ωt+ϕ)
v=
dx
dt
=Aωcos(ωt+ϕ)
Condiciones iniciales: t=0, x=0.1, v=0
t=0{
0.1=Asinϕ
0=Aωcosϕ
ϕ=
π
2
A=0.1
x=0.1sin(
1.58t+
π
2
)
v=
dx
dt
=0.158cos(
1.58t+
π
2
)
Pasa por primera vez por el origen x=0, v<0
1.58t+
π
2
=π t=0.993 s
Problema 4
Un muelle elástico de constante k=0.4
N/m está unido a una masa de m=25 g. En el instante inicial su posición
es x = 5 cm y su velocidad
v=−20
3
cm/s
. Calcular
- El periodo de la oscilación.
- Las ecuaciones de la
posición, velocidad y aceleración de este MAS.
- El (los) instante (s) en el que el móvil pasa por el origen, x=0,
y su velocidad
Solución
ω=
k
m
=
0.4
0.025
=4 rad/s P=
2π
ω
=
π
2
s
x=Asin(4t+ϕ)
v=
dx
dt
=Aωcos(4t+ϕ)
Condiciones iniciales
t=0{
0.05=Asinϕ
−0.2
3
=4Acosϕ
ϕ=
5π
6
A=0.1
x=0.1sin(
4t+
5π
6
)
v=
dx
dt
=0.4cos(
4t+
5π
6
)
a=
dx
dt
=−1.6sin(
4t+
5π
6
)
Pasa por el origen x=0,
x=0{
sin(
4t+
5π
6
)=0
cos(
4t+
5π
6
)=±1
v=±0.4 m/s
(
4t+
5π
6
)=nπ n=1,2,3... t=0.13, 0.91, 1.70...
Problema 5
Una partícula de m=200
g de masa unida a un muelle horizontal, realiza un movimiento armónico simple
siendo la frecuencia angular ω=100 rad/s. Sabemos que en el
instante t=0, la posición inicial
−0.5
3
cm
y la velocidad inicial de la
partícula es 50 cm/s.
- Escribir
la ecuación del MAS
- Calcular
la constante elástica del muelle y la energía total de movimiento.
Solución
x=Asin(100t+ϕ)
v=
dx
dt
=100Acos(100t+ϕ)
Condiciones iniciales:
t=0{
−0.005
3
=Asinϕ
0.5=100Acosϕ
ϕ=−
π
3
=
5π
3
A=0.01
x=0.01sin(
100t+
5π
3
)
v=
dx
dt
=cos(
100t+
5π
3
)
a=
dx
dt
=−100sin(
100t+
5π
3
)
Constante del muelle
ω=
k
m
100=
k
0.2
k=2000 N/m
Energía del movimiento
E=
1
2
k
A
2
=
1
2
2000·
0.01
2
=0.1 J
Problema 6
Una partícula de masa de m=500 g está unida a un
muelle de constante k=200 N/m. Se desplaza la masa 2 cm de la posición
de equilibrio, y se le proporciona en el instante inicial t=0, una
velocidad de 100 cm/s hacia la izquierda tal como se muestra en la figura.
- Calcula el periodo de las oscilaciones
- La ecuación del MAS
- Calcula la velocidad, energía cinética, potencial y el (los) instante(s)
en el que la partícula pasa por la posición x=-3 cm dirigiéndose hacia
la derecha.
Solución
ω=
k
m
=
200
0.5
=20 rad/s P=
2π
ω
=
π
10
s
x=Asin(20t+ϕ)
v=
dx
dt
=20Acos(20t+ϕ)
Condiciones iniciales
t=0{
0.02=Asinϕ
−1=20Acosϕ
ϕ=2.76 rad A=5.38 cm
x=5.38sin(
20t+2.76
) cm
v=
dx
dt
=107.7cos(
20t+2.76
) cm/s
Pasa por x=-3 cm, con v>0
x=−3{
sin(
20t+2.76
)=−0.557
cos(
20t+2.76
)=+0.830
20t+2.76=5.69+2nπ n=0,1,2,3... t=0.14,0.46,.... s
Energías
v=20·0.0538·cos5.69=0.894 m/s
E
k
=
1
2
m
v
2
=0.2 J
E
p
=
1
2
k
x
2
=
1
2
200·
0.03
2
=0.09 J
E=
1
2
k
A
2
=
E
k
+
E
p
=0.29 J
Problema 7
Un muelle horizontal tiene una constante recuperadora de k=48
N/m. En el extremo del muelle se coloca una masa de m=0.75 kg y se
estira el muelle 0.2 m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a
continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar:
- El periodo de la oscilación.
- La ecuación del M.A.S.
- El (los) instante(s) en el(los) que el móvil pasa por la
posición x=-0.1 m, después de haber pasado por el origen.
- Los valores de la velocidad, aceleración, energía
cinética, potencial y total del móvil en dicho(s) instante(s).
Solución
ω=
k
m
=
48
0.75
=8 rad/s P=
2π
ω
=
π
4
s
x=Asin(8t+ϕ)
v=
dx
dt
=8Acos(8t+ϕ)
Condiciones iniciales
t=0{
0.2=Asinϕ
0=8Acosϕ
ϕ=
π
2
rad A=0.2 m
x=0.2sin(
8t+
π
2
) m
v=
dx
dt
=1.6cos(
8t+
π
2
) m/s
Pasa por x=-0.1 m, con v<0
sin(
8t+
π
2
)=−0.5{
8t+
π
2
=
7π
6
+2nπ v<0
8t+
π
2
=
11π
6
+2nπ v>0
Energías
v=1.6cos(
7π
6
+2nπ
)=−0.8
3
m/s
E
k
=
1
2
m
v
2
=0.72 J
E
p
=
1
2
k
x
2
=
1
2
48·
0.1
2
=0.24 J
E=
1
2
k
A
2
=
E
k
+
E
p
=0.96 J
Problema 8
Un péndulo de torsión consiste en una
varilla de masa 100 g y 30 cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos
esferas iguales de 150 g y 5 cm de radio, situadas simétricamente de modo que
el centro de las esferas dista 10 cm del eje de giro.
- Sabiendo que el periodo de la oscilación vale 2.4 s, calcular la
constante K de torsión del muelle.
- Si en el instante inicial t=0 el
péndulo se desplaza θπ/6 de la posición de equilibrio y se suelta (velocidad inicial
nula).
- Escribir la ecuación del M.A.S.
- Calcular la velocidad angular de rotación cuando pasa por la
posición de equilibrio.
Solución
Momento de inercia respecto del eje
I=
1
12
0.1·
0.3
2
+2(
2
5
0.15·
0.05
2
+0.15·
0.1
2
)=4.05·
10
−3
kg·m
2
P=2π
I
K
K=
4
π
2
I
P
2
=0.0278 N·m
Ecuación del MAS
ω=
2π
P
=2.62 rad/s
θ=
θ
0
sin(ωt+ϕ)
dθ
dt
=
θ
0
ωcos(ωt+ϕ)
Condiciones iniciales, t=0, θ=π/6, dθ/dt=0
t=0{
π
6
=
θ
0
sinϕ
0=ω
θ
0
cosϕ
ϕ=
π
2
rad
θ
0
=
π
6
rad
θ=
π
6
sin(
2.62t+
π
2
) rad
dθ
dt
=2.62
π
6
cos(
2.62t+
π
2
) rad/s
Cuando pasa por θ=0,
θ=0{
sin(
2.62t+
π
2
)=0
cos(
2.62t+
π
2
)=±1
dθ
dt
=±1.37 rad/s
Problema 9
 |
Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa
y 40 cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5cm de radio
y la inferior de 400 g y 4 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de
la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la
varilla que pasa por el centro de la esfera superior.
- Hállese el periodo.
- Si ahora se separa el péndulo 10º de la posición de
equilibrio y se suelta, empezándose en ese momento a contar el tiempo.
Escríbase la ecuación del M.A.S.
|
Solución
Momento de inercia respecto del eje que pasa por el punto de suspensión
I=(
1
12
0.2·
0.4
2
+0.2·
0.12
2
)+
2
5
0.5·
0.05
2
+(
2
5
0.4·
0.04
2
+0.4·
0.24
2
)=0.0293
kg·m
2
Posición del centro de masas y periodo
b=
0.2·0.12+0.4·0.24
0.2+0.5+0.4
=0.11 m
P=2π
I
mgb
=0.992 s
Ecuación del MAS
ω=
2π
P
=6.33 rad/s
θ=
θ
0
sin(ωt+ϕ)
dθ
dt
=
θ
0
ωcos(ωt+ϕ)
Condiciones iniciales, t=0, θ=10º=π/18, dθ/dt=0
t=0{
π
18
=
θ
0
sinϕ
0=ω
θ
0
cosϕ
ϕ=
π
2
rad
θ
0
=
π
18
rad
θ=
π
18
sin(
6.33t+
π
2
) rad
Problema 10
Hallar el periodo de la oscilación de un bloque de masa m=250
g unido a los dos muelles elásticos de la figura. Se supone que no hay
rozamiento
Solución
ma=-k1x-k2x
0.25a=-30x-20x
a=-200x
x=Asin(
ωt+ϕ
)
v=
dx
dt
=Aωcos(
ωt+ϕ
)
a=
dv
dt
=−A
ω
2
sin(
ωt+ϕ
)=−
ω
2
x
ω2=200,
P=
2π
ω
=
2π
200
=
π
5
2
s
Problema 11
Hallar el MAS resultante de la composición de de los dos
MAS de la misma dirección y frecuencia
x1=2sin(ωt+5π/4)
x2=5sin(ωt+5π/3)
Solución
 |
A
1
=
−
2
sin
45
i
^
−
2
cos
45
j
^
A
2
=
5
sin
30
i
^
−
5
cos
30
j
^
}
A
=
(
5
2
−
2
)
i
^
−
(
2
+
5
2
3
)
j
^
A
=
5.85
ϕ
=
280.7
º
=
4.9
rad
El MAS resultante es
x=5.85sin(ωt+4.9) |
Problema 12
Hallar el MAS resultante de la composición de de los dos
MAS de la misma dirección y frecuencia
x1=2sin(ωt-π/6)
x2=4sin(ωt+π/4)
Solución
 |
A
1
=4cos45
i
^
+4sin45
j
^
A
2
=2cos30
i
^
−2sin30
j
^
}A=(
2
2
+
3
)
i
^
−(
2
2
−1
)
j
^
A=4.91 ϕ=0.38 rad
El MAS resultante es
x=4.91sin(ωt+0.38) |
