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El giróscopo

El giróscopo es una rueda giratoria cuyo eje puede cambiar de dirección, tal como se muestra en la figura.

Cuando un sólido en rotación está girando alrededor de un eje principal de inercia L=Iω.

En ausencia de momento de fuerzas sobre el sólido, M, el cuerpo seguirá rotando con respecto a dicho eje con velocidad angular constante.

Si el momento aplicado sobre el sólido en rotación no es nulo, el momento angular experimenta un cambio en su dirección tal como se muestra en la figura.

${\displaystyle \frac{dL}{dt}=M}$

Las fuerzas aplicadas sobre el sólido en rotación son:

• El peso mg que actúa sobre el centro de masas, situado a una distancia b del punto de apoyo O.
• La reacción N en el punto de apoyo O

El momento M de las fuerzas respecto del punto fijo O es

mgb·sinφ

El cambio de momento angular dL tiene la dirección del momento M de las fuerzas aplicadas respecto del punto de apoyo O, ya que el momento M es perpendicular al momento angular L, el cambio de momento angular dL es también perpendicular a L, y el momento angular L cambia de dirección pero no de módulo.

El extremo del vector momento angular L describe una circunferencia de radio Lsinφ, y en un intervalo de tiempo dt se desplaza un ángulo dø;. El cambio de momento angular es dL=Lsinφ·dø, de modo que,

${\displaystyle I\omega ·\sin \phi \frac{d\varphi }{dt}=mgb\sin \phi }$

Se denomina velocidad angular de precesión Ω a

${\displaystyle \Omega =\frac{d\varphi }{dt}=\frac{mgb}{I\omega }}$

Cuando el punto de apoyo O coincide con el centro de masas b=0, el momento M de las fuerzas es cero y la velocidad angular de precesión Ω es nula. El eje del giróscopo se mantiene fijo en el espacio.

Esta descripción es aproximada, siempre que la velocidad angular ω, sea grande en comparación con la velocidad angular de precesión Ω.

Un análisis más detallado del problema indica que el sólido tiene tres movimientos:

• De rotación alrededor de su eje principal de inercia con velocidad angular ω
• De precesión alrededor del eje vertical Z, con velocidad angular Ω
• De nutación o de oscilación del eje vertical entre dos círculos.

No solamente el movimiento de rotación contribuye al momento angular L, como hemos supuesto, sino también y en menor medida, los movimientos de precesión y de nutación, esto es lo que hace difícil el análisis detallado de este sistema mecánico.

Los fenómenos giroscópicos tiene muchas aplicaciones: la tendencia de un giróscopo a mantener el eje de rotación fijo en el espacio en ausencia de momento es utilizado en la estabilización de los barcos y en los pilotos automáticos de los aviones.

Otro ejemplo interesante es la precesión de los equinoccios. El plano del ecuador hace un ángulo de 23º 37’ con el plano de la órbita terrestre o eclíptica. La intersección d elos dos planos es la línea de los equinoccios. La Tierra es un giróscopo gigante cuyo eje de rotación precesa alrededor del eje perpendicular al plano de la eclíptica con un periodo de 27725 años. La precesión de los equinoccios se debe al momento de las fuerzas ejercido por el Sol y la Luna sobre la Tierra.

Comparación entre el movimiento circular uniforme y el movimiento de precesión

Un cuerpo de masa m experimenta un cambio en su velocidad de v1 a v2 durante un intervalo de tiempo Δt. La velocidad cambia de dirección pero no de módulo |v1|=|v2|=v El vector cambio de velocidad es Δv=v2-v1 Su módulo Δv≈v·Δθ Dividiendo por Δt. ${\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}\approx v\frac{\Delta \theta }{\Delta t}}$ La aceleración centrípeta vale ${\displaystyle a=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta t}=v\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \theta }{\Delta t}=v\omega }$ Donde ω es la velocidad angular de rotación La fuerza que hace que la partícula describa un movimiento circular uniforme ${\displaystyle F=maF=mv\omega }$

Una rueda de momento de inercia I experimenta un cambio en su velocidad angular de rotación ω1 a ω2 durante un intervalo de tiempo Δt. La velocidad angular cambia de dirección pero no de módulo |ω1|=|ω2|=ω El vector cambio de velocidad angular es Δω=ω2-ω1 Su módulo Δω≈ω·Δø Dividiendo por Δt. ${\displaystyle \frac{\Delta \omega }{\Delta t}\approx \omega \frac{\Delta \varphi }{\Delta t}}$ La aceleración angular vale ${\displaystyle \alpha =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\omega \underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}=\omega \Omega }$ Donde Ω es la velocidad angular de precesión El momento de las fuerzas sobre el sólido ${\displaystyle M=I\alpha M=I\omega \Omega }$

Referencias

Alonso M., Finn E. J. Física. Mecánica (1970). Págs. 314-319.

Benfield A. E., Note on precession. Am. J. Phys. 26, 6, September 1958, pp. 396-397

Fundamentos Físicos © Ángel Franco García