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Mecanismo de la difusión

Habremos observado que al dejar caer una gota de tinta en un recipiente de agua, la tinta se va difundiendo en el agua hasta que esta adquiere un color aproximadamente uniforme. Sin embargo, el proceso inverso no es observable. Cuando es filmado y mostrado marcha atrás choca con el sentido común.

Simplifiquemos el fenómeno descrito y supongamos un recipiente cerrado dividido en dos partes iguales. Inicialmente, situamos un conjunto de N moléculas de un gas en el recipiente A de la izquierda, tal como se ve en la figura. Al abrir la compuerta que comunica ambas mitades, observaremos que las moléculas van pasando desde la izquierda hacia la derecha hasta que se establece el equilibrio, en el que habrá aproximadamente N/2 moléculas en cada mitad. Este equilibrio es dinámico, ya que continúan pasando moléculas desde el primer al segundo recipiente y viceversa, pero en promedio el flujo neto es cero. A estas oscilaciones en el número de moléculas en torno al equilibrio les denominamos fluctuaciones. Podremos comprobar que el proceso inverso, en el que partiendo con la mitad de las moléculas en cada parte, es muy difícil, aunque no imposible, que todas las moléculas se agrupen en una de las dos mitades, sobre todo si el número total de moléculas en muy grande.

FIG18_01.gif (2362 bytes)

Supongamos que la probabilidad de que una molécula pase de la mitad A a la mitad B es proporcional al número N1 de moléculas en A, y por la misma razón, la probabilidad de que una molécula pase de la mitad B a la mitad A sea proporcional al número N2 moléculas en B, tal como se resume en la tabla.

Suceso Probabilidad P. acumulada
B incrementa 1 molécula N 1 N 1 + N 2 N 1 N 1 + N 2
A incrementa 1 molécula N 2 N 1 + N 2 1

Apliquemos el procedimiento explicado  en el apartado variable aleatoria discreta. Sea γ es un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1), si se cumple las condiciones de la primera columna de la tabla que viene a continuación, se obtiene el correspondiente resultado de la segunda columna de dicha tabla.

Condición Resultado
0≤γ< N 1 N 1 + N 2 B aumenta en 1, A disminuye en 1
N 1 N 1 + N 2 ≤γ<1 B disminuye en 1, A aumenta en 1

La clase que describe el sistema físico

Definiremos una clase que denominaremos Difusion, con dos miembros dato, el número N1 de moléculas en el recipiente A, y el número N2 de moléculas en el recipiente B, y el tiempo t. Una función miembro denominada evolucion calcula el número de partículas en cada recipiente en función del tiempo, de acuerdo con el resultado del sorteo de una variable aleatoria γ uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1).

En el constructor se establece el estado inicial del sistema: N1 de moléculas en el recipiente A, y N2 de moléculas en el recipiente B. Se pone el contador de tiempo t a cero.

public class Difusion {
    private int N1;
    private int N2;
    private int t;
//números aleatorios
    private Random rnd=new Random();

    public Difusion(int N1, int N2) {
        this.N1=N1;
        this.N2=N2;
        t=0;
    }
//funciones miembro
}

La función miembro evolucion calcula el estado del sistema cada cierto intervalo de tiempo dt, considerando una unidad de tiempo la realización de un sorteo. Una vez que se realizan los dt sorteos la función devuelve el número de partículas del recipiente A. Calculamos la probabilidad p de que una partícula pase del recipiente A al B, esta probabilidad es proporcional al número N1 de partículas del recipiente A.

            p=(double)N1/(N1+N2);

Observar que N1 y N2 son números enteros y el resultado de la división es un número real p, por lo que se ha de efectuar la promoción de int a double. El código de la función evolucion será el siguiente.

    public int evolucion(int dt){
        double p;
        for(int i=0; i<dt; i++){
            p=(double)N1/(N1+N2);
            if(rnd.nextDouble()<p){
                N1--;   N2++;
            }else{
                N1++;   N2--;
            }
        }
        t+=dt;
        return N1;
    }

Para usar la clase Difusion se crea un objeto dif, pasándole el número inicial de partículas en cada recipiente. Se fija el intervalo de tiempo dt, y se muestra el estado del sistema en el instante i*dt, es decir, el número de partículas del recipiente A, y el número N-N1 de partículas en el recipiente B.

        int dt=10;       //observar cada 10 unidades de tiempo
        int N=500;
        Difusion dif=new Difusion(N, 0);
        System.out.println("tiempo \t izquierda \t derecha");
        int n1=N;
        int i=0;
        System.out.println(" "+i*dt+ " \t "+n1+" \t \t"+(N-n1));
        for(i=1; i<20; i++){
            n1=dif.evolucion(dt);
            System.out.println(" "+i*dt+ " \t "+n1+" \t \t"+(N-n1));
        }

Ejercicio

Introducir en el recipiente A 500 partículas, y observar el sistema cada 10 unidades de tiempo. Cuando el número de partículas en el recipiente A es grande se alcanza una situación próxima al equilibrio, después de un cierto tiempo. Posteriormente, el número de partículas en cada recipiente fluctúa en torno al valor de equilibrio.

Si el número de partículas en el recipiente A es inicialmente pequeña, por ejemplo 5, es posible obtener el estado en el que todas las partículas vuelvan a estar en un sólo recipiente A o B. La probabilidad de este suceso disminuye rápidamente cuando se incrementa el número de partículas. Como en un fenómeno macroscópico están involucradas muchísimas partículas, el hecho de que el sistema vuelva al estado inicial al cabo de un cierto tiempo es enormemente improbable. A esta improbabilidad la denominamos irreversibilidad.

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