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Raíces de una ecuación

Procedimiento del punto medio

Obtener el valor de las raíces de la ecuación

x3-7x2+14x-6=0 en los siguientes intervalos: [0, 1], [1, 3.2], [3.2, 4]

Solución

Comprobar que las raíces obtenidas coinciden con las calculadas a partir de las fórmulas  de las raíces de una ecuación cúbica.

Solución

Representar gráficamente la función

y= x3-7x2+14x-6

en el intervalo [-1, 5] señalando las abscisas x que hacen y=0

Solución

Obtener las tres raíces reales de la ecuación mediante el procedimiento del punto medio para raíces míltiples

Solución

Método de aproximaciones sucesivas

La ecuación x3+4x2-10=0 tiene una raíz única en el intervalo [1, 2]. Hay muchas formas de convertirla en la forma x=f(x) mediante un simple manejo algebraico para aplicar el método de aproximaciones sucesivas.

Dependiendo de la forma de la función f(x) elegida el procedimiento converge o diverge. Descartando las segundas, unas expresiones convergen más rápidamente que otras hacia la raíz buscada.

Ejemplo.

x=x x 3 +4 x 2 10 3 x 2 +8x

tómese x0=1.5 como abscisa de partida

Encontrar otras expresiones de la función f(x) que converjan hacia la raíz buscada.

Solución

Sistema de ecuaciones

Calcular las raíces del sistema

f1(x,y)=2x2-xy-5x-1=0

f2(x,y)=x+3log10x-y2=0

Trácese los gráficos de f1(x,y)=0 y f2(x,y)=0, en los intervalos x[0, 4], y[0, 2.5] para obtener los valores aproximados del punto (x, y) de intersección.

Solución

Aplicar el procedimiento de las aproximaciones sucesivas

xn+1=g1(xn, yn)

yn+1=g2(xn, yn)

Para obtener las raíces (x, y) buscadas

Comprobar si resulta más conveniente utilizar el procedimiento modificado de Seidel

xn+1=g1(xn, yn)

yn+1=g2(xn+1, yn)

Solución

Procedimiento gráfico

Representar la función y=tan(x) en el intervalo [0, 5π/2]

Representar la recta y=x

Determinar los puntos de intersección, es decir, las raíces de la ecuación x=tan(x)

Véase la página Difracción producida por una rendija

Solución

Obtener las raíces aplicando el procedimiento numérico del punto medio para raíces múltiples en el intervalo (-0.5, 8). Si calculamos las raíces de la ecuación y=x-tan(x) obtenemos seis raíces, de las cuales 3 no son correctas y corresponden a la intersección de la recta y=x con las asíntotas verticales de tan(x) en π/2, 3π/2 y 5π/2.En cambio, si calculamos las raíces de la ecuación y=x·cos(x)-sin(x) obtenemos las tres raíces buscadas en dicho intervalo.

Solución

Procedimiento de Newton-Raphson

Programar el procedimiento de Newton-Raphson

x n = x n1 f( x n1 ) f'( x n1 ) n1

El procedimiento fracasará si no se encuentra la raíz buscada después de N iteracciones

Aplicar este procedimiento para calcular las raíces de la ecuación

x3-2x2-5=0 en el intervalo [1, 4]. Calcular las raíces reales de esta ecuación cúbica con el programa anterior para verificar que el procedimiento está bien programado.

Solución

Procedimiento de Newton-Raphson mejorado

Aplicar el procedimiento de Newton-Raphson mejorado, combinación con el método del punto medio.para calcular las raíces de las ecuaciones

Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes in C, Second edition. Root Finding and Nonlinear Sets of Equations. Sección 9.4. Newton-Raphson Method Using Derivative. Cambridge University Press. Código en C adaptado por el autor al lenguaje Java

Solución

Procedimiento de Van Wijngaarden–Dekker–Brent

Aplicar este procedimiento para calcular las raíces de las ecuaciones

Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes in C, Second edition. Root Finding and Nonlinear Sets of Equations. Sección 9.3. Van Wijngaarden–Dekker–Brent Method. Cambridge University Press. Código en C adaptado por el autor al lenguaje Java

Solución

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