Dinámica del movimiento circular uniforme
Problema 1
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Un pequeño bloque de 1 kg de
masa está atado a una cuerda de 0.6 m, y gira a 60 r.p.m. describiendo una
circunferencia vertical. Calcular la tensión de la cuerda cuando el bloque se
encuentra:
- En el punto más alto de su trayectoria.
- En el más bajo de su trayectoria.
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Solución
ω=60 rpm=60·2π/60=2π rad/s
- En el punto más alto de su trayectoria.
T+mg=man
T =mω2R-mg
- En el más bajo de su trayectoria.
T’-mg= man
T’ = mω2R+mg
Con los
datos del problema
T=13.9
N, T’=33.5 N
Problema 2
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Dos bloques de masas m1=2 kg y m2=3
kg unidos por una cuerda inextensible giran con la misma velocidad angular ω,
describiendo dos trayectorias circulares situadas en el plano horizontal de
radios r1=30 cm y r2=50 cm,
respectivamente. Sabiendo que la tensión de la cuerda que une el centro de las
trayectorias con el bloque de masa m1 es de 40 N. Calcular:
- La tensión de la cuerda que une ambas masas.
- La velocidad angular de giro ω.
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Solución
40-T=m1·a1
40-T=2·ω2·0.3
T=m2·a2
T=3· ω2·0.5
Despejamos la tensión T de la cuerda y la velocidad angular ω
T=28.6
N, ω=4.36 rad/s
Problema 3
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Un bloque de 8 kg está sujeto a
una barra vertical mediante dos cuerdas. Cuando el sistema gira alrededor del
eje de la barra las cuerdas están tensadas, según se muestra en la figura.
- ¿Cuántas revoluciones por minuto ha de dar el sistema para que la
tensión de la cuerda superior sea de 250 N?
- ¿Cuál es entonces la tensión de la cuerda inferior?
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Solución
Se sustituye
las tensiones de las cuerdas T1 y T2 por
sus componentes rectangulares
- Equilibrio
en la dirección vertical
T1·sinθ=8·9.8+T2·sinθ
- Aplicamos
la segunda ley de Newton en la dirección horizontal
T1·cosθ+T2·cosθ=8·an
T1·cosθ+T2·cosθ=8·ω2·2.6·cosθ
T1 +T2 =20.8·ω2
Datos del
problema:
T1=250 N, sinθ=1.2/2.6
Se despeja, ω=3.98 rad/s=38 rpm, T2=80.1 N
Problema 4
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Una
partícula atada a una cuerda de 50 cm de longitud gira como un péndulo cónico,
como muestra la figura. Calcular
- La velocidad angular de rotación de la masa puntual para que el
ángulo que forma la cuerda con la vertical sea de 60º
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Solución
Sustituimos la tensión T de la cuerda por sus componentes rectangulares
- Equilibrio
en la dirección vertical
T·cosθ=mg
- Aplicamos
la segunda ley de Newton en la dirección horizontal
T·sinθ=man
T·sinθ=mω2l·sinθ
T=mω2l
Despejamos
la velocidad angular de rotación ω
ω=
g
l·cosθ
ω=
9.8
0.5·cos60
=6.26 rad/s
Problema 5
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Un juego de un parque de atracciones consta de una
plataforma circular de 8 m de diámetro que gira. De la plataforma cuelgan
“sillas voladoras” suspendidas de unas cadenas de 2.5 m de longitud. Cuando la
plataforma gira las cadenas que sostienen los asientos forman un ángulo de 28º
con la vertical.
- ¿Cuál es la velocidad angular de rotación?
- Si la masa
del asiento y del niño es de 50 kg. ¿Cuál es la tensión de la cadena?.
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Solución
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Sustituimos la tensión T de la cuerda por sus componentes rectangulares
- Equilibrio
en la dirección vertical
T·cos28=50·9.8
- Aplicamos
la segunda ley de Newton en la dirección horizontal
T·sin28=50·an
T·sin28=50·ω2(4+2.5·sin28)
Despejamos T=555
N, y ω=1.0 rad/s |
Problema 6
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Enganchamos una partícula de 1 kg a un resorte de masa
despreciable cuya longitud natural es de 48 cm y la constante recuperadora 10
N/cm. Lo hacemos girar como un péndulo cónico con una velocidad angular
constante de 60 r.p.m. Calcular:
- El alargamiento del resorte.
- El ángulo
que forma la altura del cono con la generatriz.
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Solución
Constante
del muelle, k=10 N/cm=1000 N/m
Velocidad
angular, ω=60 rpm=2π rad/s
La fuerza
que ejerce el muelle es T=kx, donde x es el alargamiento del
muelle (no su longitud l0+x), donde l0 es
la longitud del muelle sin deformar.
Sustituimos la fuerza T por sus componentes rectangulares
- Equilibrio
en la dirección vertical
T·cosθ=mg
kx·cosθ=mg
- Aplicamos
la segunda ley de Newton en la dirección horizontal
T·sinθ=man
kx·sinθ=mω2(l0+x)·sinθ
kx =mω2(l0+x)
Con los
datos del problema
1000·x·cosθ=1·9.8
1000·x =1·(2π)2(0.48+x)
Despejamos el
alargamiento x=0.02 m, y el ángulo θ=60.2º
Problema 7
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Un cuerpo de
5 kg de masa se encuentra sobre una superficie cónica lisa ABC, y está girando
alrededor del eje EE' con una velocidad angular de 10 r.p.m. Calcular:
- La reacción de la superficie cónica.
- La tensión de la cuerda.
- La velocidad angular a la que ha de girar el cuerpo para anular
la reacción de la superficie cónica.
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Solución
- ω=10 rpm=π/3 rad/s
Sustituimos la tensión T
de la cuerda y la reacción N de la superficie cónica por sus componentes
rectangulares
- Equilibrio
en la dirección vertical
T·cos30+N·sin30=5·9.8
- Aplicamos
la segunda ley de Newton en la dirección horizontal
T·sin30-Ncos30=5·an
T·sin30-Ncos30=5(π/3)2·4.5·sin30
Despejamos T=48.60
N, y N=13.82 N
- Con N=0
y la velocidad angular de rotación ω como incógnita, las ecuaciones
se escriben
T·cos30
=5·9.8
T·sin30 =5ω2·4.5·sin30
Despejamos ω=1.58 rad/s