Dinámica de la partícula
Problema 1
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Dos pesas de
3 y 2 kg están unidas por una cuerda que pasa a través de una polea (ambas de
masa despreciable). Tómese g=10 m/s2. Calcular
- La aceleración de los pesos
- La tensión de la cuerda.
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Solución
Solución
|
Si T es la tensión de la cuerda. Las ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos
son:
30-T=3a
T-20=2a
a=2
m/s2, T=24 N |
Problema 2
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Hallar, en el
problema de la figura:
- La aceleración del sistema
- La tensión de la cuerda.
Tómese g=10 m/s2.
Suponer que los cuerpos deslizan sin fricción. La polea tiene masa despreciable |
Solución
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Se descompone la fuerza peso, en la dirección de los planos
y perpendicularmente a los mismos.
Si T es la tensión de la cuerda. Las ecuaciones del movimiento de cada uno de los
cuerpos son:
50·sin30-T=5a
T-30·sin45=3a
a=0.47 m/s2, T=22.6 N |
Problema 3
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Un bloque de 750 kg es empujado
hacia arriba por una pista inclinada 15º respecto de la horizontal. Los
coeficientes de rozamiento estático y dinámico son 0.4 y 0.3 respectivamente.
Determinar la fuerza necesaria,
- para iniciar la subida del bloque por la pista.
- para mantener el bloque en movimiento con velocidad constante,
una vez que este se ha iniciado.
(Tómese g=9.8 m/s2) |
Solución
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Se descompone la fuerza peso, en la dirección del plano y
perpendicularmente al mismo.
Situación de equilibrio, o se mueve con velocidad constante a=0.
F-Fr-750·9.8·sin15=0
N=750·9.8·cos15
Fr=μN
- Cuando va a iniciar el movimiento, μ=0.4, F=4742
N
- Cuando se mueve con velocidad constante, μ=0.3, F=4032
N
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Problema 4
Una camioneta
transporta un cajón de 20 kg. El cajón no está sujeto a la plataforma de carga,
pero el coeficiente de rozamiento estático entre el cajón y la plataforma es de
0.7, y el coeficiente dinámico 0.65.
Estudiar la dinámica del cajón sobre la plataforma,
determinando la fuerza de rozamiento entre el cajón y la plataforma y la
aceleración del cajón, cuando la aceleración del camión tiene los siguientes
valores. (Tomar g=10 m/s2)
- Está
parado
- Lleva
una aceleración de 3 m/s2.
- Lleva
una aceleración de 7 m/s2.
- Lleva
una aceleración de 8 m/s2.
- ¿Cuál
es la máxima aceleración con que puede arrancar la camioneta en un semáforo
sobre una calle horizontal, de forma que el cajón no deslice hacia atrás en la
plataforma?
- Indíquese
en los distintos casos la aceleración del cajón respecto del conductor del
camión.
Solución
La fuerza de rozamiento es una cuerda invisible que ata el
cajón a la plataforma del camión. Si no hubiese rozamiento el cajón no podría
desplazarse junto con la plataforma.
- Si está parado, las fuerzas sobre el cajón son:
- El peso
20·10 N
- La reacción de la plataforma, o fuerza que ejerce la
plataforma sobre el cajón, N=200 N
- Si se mueve con una aceleración de 3 m/s2.
La fuerza de rozamiento (tensión de la cuerda invisible) que
tira del cajón vale
Fr=20·3=60 N
- Si se mueve con una aceleración de 7 m/s2.
La fuerza de rozamiento (tensión de la cuerda invisible) que
tira del cajón vale
Fr=20·7=140 N
Este es el valor máximo de la fuerza de rozamiento, Frmax=μs·N=0.7·200=140
N, (esta es la máxima tensión que soporta la cuerda invisible). El cajón va a
empezar a deslizar sobre la plataforma
- Si se mueve con una aceleración de 8 m/s2.
El cajón desliza sobre la plataforma. La fuerza de
rozamiento vale
Fr=μk·N=0.65·200=130
N
La aceleración del cajón vale
Fr=20·a, a=6.5 m/s2
La aceleración del cajón es más pequeña que la aceleración
de la plataforma. El cajón desliza sobre la plataforma con una aceleración
relativa de 6.5-8=-1.5 m/s2.
Problema 5
La fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque vale μkmg en una de las siguientes situaciones (μk es el coeficiente dinámico de rozamiento).
Razónese
la respuesta
- Cuando se ejerce una fuerza F, y el bloque se desplaza con velocidad constante
- Cuando se ejerce una fuerza F, y el bloque está a punto de empezar a
moverse
- Cuando se ejerce una fuerza F, y el bloque está en reposo
- Cuando se ejerce una fuerza F, y el bloque se mueve con aceleración
- Cuando no actúa la fuerza F, y el bloque está en movimiento
- Cuando no actúa la fuerza F, y el bloque está en reposo
Solución
- N=mg-F·sin30
Cuando el bloque se desplaza con velocidad constante, Fr=μkN, por tanto, no es Fr=μkmg
- Cuando actúa la fuerza F y el bloque está a punto de moverse
Fr=μsN, con N=mg-F·sin30, no es la respuesta correcta
- Cuando el bloque está en reposo,
Fr=Fcos30, por tanto, no es Fr=μkmg
- Cuando el bloque se mueve con aceleración
Fcos30- Fr=ma
Fr=μkN por tanto, no es Fr=μkmg
- Cuando no actúa la fuerza F y el bloque está en movimiento
N=mg
Fr=μkN= Fr=μkmg, esta es la respuesta correcta
- Cuando no actúa la fuerza F y el bloque está en reposo
Fr=0, no es la respuesta correcta
Problema 6
Sobre un tablero
inclinado un ángulo de 30º se colocan dos cuerpos A y B, de masa 4 y 3 kg,
respectivamente. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano
inclinado es 0.1, y entre el bloque B y dicho plano 0.2.
- ¿Cómo deslizarán los cuerpos, juntos o separados?.
- Hállese la aceleración de cada cuerpo y la reacción en la
superficie de contacto entre ambos (si la hubiere).
Tómese g=10 m/s2
Solución
Supongamos que los bloques van
separados.
Se descompone la fuerza peso, en la dirección del plano y
perpendicularmente al mismo.
{
3·10·sin30−
F
r
=3a
N=3·10·cos30
F
r
=0.2·N
}a=3.27
m/s
2
{
4·10·sin30−
F
r
'
=3a
N'=4·10·cos30
F
r
'
=0.1·N'
}a'=4.13
m/s
2
Como a’>a van juntos
En la figura de la izquierda, T es la fuerza que
ejerce el bloque segundo sobre el primero. En la figura de la derecha, T es la fuerza que ejerce el bloque primero sobre el segundo. Ambas fuerzas son
iguales y de sentido contrario (tercera ley de Newton)
{
3·10·sin30+T−
F
r
=3a
4·10·sin30−T−
F
r
'
=4a
F
r
=0.2·N
F
r
'
=0.1·N'
a=3.76
m/s
2
T=1.48 N
Problema 7
Determinar la aceleración de los
bloques. El coeficiente de rozamiento entre las superficies en contacto es μ=0.2.
La polea tiene masa despreciable.
Tómese g=9.8 m/s2
Solución
Las fuerzas sobre cada uno de los bloques se dibujan en las
figuras. Hay dos fuerzas que un bloque ejerce sobre el otro: La reacción N1 y la fuerza de rozamiento en la superficie de contacto Fr1.
{
T−
F
r1
=2a
N
1
=2·9.8
F
r1
=0.2
N
1
{
30−T−
F
r1
−
F
r2
=5a
N
2
=
N
1
+5·9.8
F
r2
=0.2·
N
2
a=1.20
m/s
2
Problema 8
Un bloque de 4 kg asciende a lo largo de un plano inclinado
30º, al serle aplicada una fuerza F horizontal, tal como se indica en la
figura. Sabiendo que el bloque, parte del reposo, en la base del plano
inclinado, y alcanza una velocidad de 6 m/s después de recorrer 10 m a lo largo
del plano.
- Determinar el valor de la fuerza F.
- En dicha posición x=10 m se deja de aplicar la
fuerza F, determinar el desplazamiento total del móvil a lo largo
del plano hasta que se para.
El coeficiente de rozamiento
entre el cuerpo y el plano inclinado es 0.2, tómese g=9.8 m/s2
Solución
- Se aplica la fuerza F
La aceleración del cuerpo es
{
6=a·t
10=
1
2
a
t
2
}a=1.8
m/s
2
Se descompone la fuerza peso y la fuerza F en la
dirección del plano y perpendicularmente al mismo.
{
F·cos30−4·9.8·sin30−
F
r
=4·1.8
N=F·sin30+4·9.8·cos30
F
r
=0.2·N
}F=43.85 N
- Se deja de aplicar la fuerza F
Se descompone la fuerza peso en la dirección del plano y
perpendicularmente al mismo.
{
−4·9.8·sin30−
F
r
'
=4·a'
N'=4·9.8·cos30
F
r
'
=0.2·N
}a'=−6.60
m/s
2
La velocidad del bloque en la posición x=10 m es v0=6
m/s. Se detiene en la posición
v=6+a't
x=10+6·t+
1
2
a'
t
2
v=0 →x=12.73 m
Problema 9
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Calcular la aceleración de los cuerpos m1, m2 y m3 de la figura.
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Solución
Ecuaciones del movimiento
{
T=
m
1
a
m
2
g−
T
2
=
m
2
(a−a')
m
3
g−
T
2
=
m
3
(a+a')
a=
4
m
2
m
3
4
m
2
m
3
+
m
1
m
3
+
m
2
m
1
g a'=
(
m
1
m
3
−
m
2
m
1
)
4
m
2
m
3
+
m
1
m
3
+
m
2
m
1
g
La aceleración de cada uno de los cuerpos es
a
1
=a=
4
m
2
m
3
4
m
2
m
3
+
m
1
m
3
+
m
2
m
1
g
a
2
=a−a'=
4
m
2
m
3
−
m
1
m
3
+
m
2
m
1
4
m
2
m
3
+
m
1
m
3
+
m
2
m
1
g
a
3
=a+a'=
4
m
2
m
3
+
m
1
m
3
−
m
2
m
1
4
m
2
m
3
+
m
1
m
3
+
m
2
m
1
g
Problema 10
Dos cuerpos A y B de masas 20 y 5 kg respectivamente, que están unidos mediante una cuerda de 1 m de longitud, deslizan a lo largo de un plano inclinado 30º respecto de la horizontal. Ambos cuerpos parten inicialmente del reposo, encontrándose el cuerpo B 5 m por encima de la horizontal. Sabiendo que los coeficientes de rozamiento dinámico entre los cuerpos A y B y el plano son 0.2 y 0.4 respectivamente, calcular:
- La aceleración de ambos cuerpos.
- La tensión de la cuerda.
- La velocidad con que cada cuerpo llega a la base del plano inclinado.
Tómese g=9.8 m/s2
Solución
Se descompone la fuerza peso en la dirección del plano y perpendicularmente al mismo.
{
20·9.8·sin30−T−
F
r
=20a
N=20·9.8·cos30
F
r
=0.2·N
{
5·9.8·sin30+T−
F
r
'
=5a
N'=5·9.8·cos30
F
r
'
=0.4·N
a=2.86
m/s
2
T=6.79 N
{
9=
1
2
a
t
2
v
A
=a·t
{
10=
1
2
a
t
2
v
B
=a·t
v
A
=7.18 m/s
v
A
=7.57 m/s