Conservación del momento lineal
Problema 1
Una partícula de masa 0.2 kg moviéndose a 0.4 m/s choca contra
otra partícula de masa 0.3 kg que está en reposo. Después del choque la primera
partícula se mueve a 0.2 m/s en una dirección que hace un ángulo de 40º con la
dirección original.
- Hallar la velocidad de la segunda partícula.
- La Q del proceso.
Solución
Solución
Se aplica el principio de conservación del momento lineal
Masa (kg) |
V. antes del choque |
V. después del choque |
0.2 |
0.4 i |
0.2·cos40 i+0.2·sin40 j |
0.3 |
0 |
v |
0.2(0.4 i)=0.2(0.2·cos40 i+0.2·sin40 j)+0.3·v
v=0.164 i-0.086 j m/s
Módulo: v=0.186 m/s, ángulo θ=-27.5º
Balance energético
Q=
1
2
0.3
v
2
+
1
2
0.2·
0.2
2
−
1
2
0.2·
0.4
2
=−6.84·
10
−4
J
Problema 2
Desde el extremo de
una plataforma móvil de 80 kg, inicialmente en reposo, un niño de 40 kg corre
hacia el otro extremo a una velocidad constante de 1 m/s (respecto de la plataforma). Determinar la
velocidad de la plataforma y el sentido de su movimiento. ¿Qué principio físico
aplicas?
Solución
Solución
Sistema aislado
F
ext
=0
F
ext
=
dP
dt
P=cte
Principio de
conservación del momento lineal. El momento lineal inicial es cero, (el niño
está en reposo sobre la plataforma).
El niño
empieza a correr con velocidad de 1 m/s respecto a la plataforma, es decir, con
velocidad (1+v) respecto de Tierra, siendo v la velocidad de la
plataforma.
0=40(1+v)+80·v
v=-1/3 m/s
El niño se mueve hacia la derecha y la plataforma se mueve hacia la izquierda
Problema 3
Una partícula de 5 kg de masa moviéndose a 2 m/s choca contra otra
partícula de 8 kg de masa inicialmente en reposo.Si la primera partícula se
desvió 50º de la dirección original del movimiento. Hallar la velocidad de cada
partícula después del choque. Se supone que el choque es elástico
Solución
Se aplica el principio de conservación del momento lineal
Masa (kg) |
V. antes del choque |
V. después del choque |
5 |
2 i |
v1·cos50 i+v1·sin50 j |
8 |
0 |
v2 |
5(2 i)=5(v1·cos50 i+v1·sin50 j)+8·v2
Si el choque es elástico, Q=0, la energía cinética
inicial es igual a la final
1
2
5·
2
2
=
1
2
5·
v
1
2
+
1
2
8·
v
2
2
Despejamos el vector v2 en la primera
ecuación, hallamos su módulo v2 y lo introducimos en la
segunda.
v
2
=
(10−5
v
1
cos50)i−(5·
v
1
sin50)j
8
v
2
2
=
(10−5
v
1
cos50)
2
−
(5·
v
1
sin50)
2
64
20=5
v
1
2
+
100+25
v
1
2
−100
v
1
cos50
8
65
v
1
2
−100cos50·
v
1
−60=0{
v
1
=1.575 m/s{
v
2
=0.974 m/s
θ=−50.7º
v
1
=−0.586 m/s{
v
2
=1.512 m/s
θ=10.7º
Problema 4
Un niño de 40 kg está en el extremo de una plataforma de 80 kg y 2 m de
longitud. El niño se desplaza hasta el extremo opuesto de la plataforma. Supondremos
que no hay rozamiento entre la plataforma y el suelo.
- ¿Cuánto se desplaza el centro de masas del
sistema formado por la plataforma y el niño?. Razónese la respuesta.
- ¿Cuánto se desplaza el niño respecto del suelo?
¿Cuánto se desplaza la plataforma respecto del suelo?
Solución
Sistema aislado
F
ext
=0
F
ext
=m
d
v
cm
dt
v
cm
=cte
Si el c.m.
está en reposo continua en reposo
Posición del
c.m. respecto del extremo izquierdo d ela plataforma
x
cm
=
40·0+80·1
40+80
=
2
3
m
Como vemos
en la figura, el niño se mueve 4/3 m y la plataforma 2/3 m
Problema 5
Una bala de masa 0.3 kg y velocidad desconocida choca
contra un saco de 4 kg suspendido de una cuerda de 0.5 m de larga y en reposo.
Después del choque el saco se eleva hasta que la cuerda hace un ángulo de 30º
con la vertical, mientras tanto la bala describe una parábola, estando el punto
de impacto a 20 m de distancia horizontal y 1.5 m por debajo. Calcular:
- La velocidad del saco y la de la bala inmediatamente
después del choque
- La velocidad de la bala antes del choque y la energía
perdida en el mismo
- La tensión de la cuerda cuando esta hace 10º con la
vertical
Solución
Después del choque la bala se mueve con velocidad v1
La bala después del choque describe una parábola
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=
v
1
v
y
=−9.8·t
{
x=
v
1
t
y=1.5+
1
2
(−9.8)
t
2
Cuando llega al suelo y=0, x=20,
Calculamos v1=36.14 m/s
El saco después del choque describe un arco de
circunferencia
Principio de conservación de la energía
1
2
4
v
2
2
=4·9.8·(0.5−0.5cos30)
v
2
=1.15 m/s
Tensión de la cuerda cuando θ=10º
- Fuerzas sobre la partícula
- Peso, 4·9.8
Tensión de la cuerda, T
T−4·9.8·cos10=4
v
2
0.5
La velocidad v se calcula aplicando el principio de
conservación d ela energía
1
2
4
v
1
2
=4·9.8(0.5−0.5cos10)+
1
2
4
v
2
v=1.08 m/s
La tensión de la cuerda vale
T=47.92 N
Choque entre la bala y el saco. Conservación del momento lineal
0.3·v=0.3·v1+4·v2
v=51.43 m/s
Balance energético
1
2
0.3
v
2
+Q=
1
2
4
v
1
2
+
1
2
0.3
v
2
2
Q=−198.06 J
Problema 6
Una bala de 50 g de masa se empotra en un bloque de
madera de 1.2 kg de masa que está suspendido de una cuerda de 2 m de larga. Se
observa que el centro de masa del bloque y la bala se eleva 40 cm. Encontrar el
módulo de la velocidad de la bala.
Solución
Conservación del momento lineal (o conservación del momento
angular)
0.05·v0=(1.2+0.05)v
Después del choque el conjunto bloque-bala se eleva 40 cm,
aplicamos el principio de conservación de la energía.
1
2
1.25·
v
2
=1.25·9.8·0.4 v=2.8 m/s
v0=70 m/s
Problema 7
Una bala de 200 g choca con un bloque de 1.5 kg que
cuelga de una cuerda, sin peso de 0.5 m de longitud, empotrándose en el bloque.
A este dispositivo se le denomina péndulo balístico.
- Responder a las siguientes cuestiones:¿Cuál debe ser la
velocidad de la bala para que el péndulo se desvíe 30º?
- Determinar la tensión de la cuerda en el punto más alto de
la trayectoria circular, cuando la velocidad de la bala es de 45 m/s.
- ¿Describirá el bloque un movimiento circular cuando la
velocidad de la bala es de 40 m/s?. Razónese la respuesta. En caso
negativo, determinar su desplazamiento angular.
Solución
Conservación del momento lineal (o conservación del momento angular)
0.2·v0=(1.5+0.2)v
Después del choque el conjunto bloque-bala se eleva 40 cm,
aplicamos el principio de conservación de la energía.
1
2
1.7·
v
2
=1.25·9.8·(0.5−0.5·cos30) v=1.15 m/s
v0=9.74 m/s
Choque. Conservación del momento lineal
0.2·45=1.7·v,
v=5.29 m/s
Después del choque, el conjunto bloque-bala asciende 1 m,
principio de conservación de la energía
1
2
1.7
v
2
=1.7·9.8·1+
1
2
1.7
v
1
2
v
1
=2.90 m/s
Dinámica del movimiento circular uniforme
T+1.7·9.8=1.7
v
1
2
0.5
T=11.99 N
Choque. Conservación del momento lineal
0.2·40=1.7·v,
v=4.70 m/s
Después del choque, el conjunto bloque-bala asciende 1 m,
principio de conservación de la energía
1
2
1.7
v
2
=1.7·9.8·1+
1
2
1.7
v
1
2
v
1
=1.60 m/s
Dinámica del movimiento circular uniforme
T+1.7·9.8=1.7
v
1
2
0.5
T=−8.0 N
No describe una trayectoria circular.
El ángulo máximo de desviación θ se obtiene
cuando T=0. Aplicamos el principio de conservación de la energía para
obtener la velocidad v2 en esta posposición
1.7·9.8cos(180−θ)=1.7
v
2
2
0.5
1
2
1.7
v
2
=1.7·9.8·(0.5−0.5·cosθ)+
1
2
1.7
v
2
2
Desplazamiento angular del conjunto bloque-bala θ=147.1º
Problema 8
El péndulo simple de la figura consta de una masa
puntual m1=20 kg, atada a una cuerda sin masa de longitud 1.5
m. Se deja caer desde la posición A. Al llegar al punto más bajo de su
trayectoria, punto B, se produce un choque perfectamente elástico con otra masa m2=25 kg, que se encuentra en reposo en esa posición sobre
una superficie horizontal sin rozamiento. Como consecuencia del choque, la masa m1 rebota hasta alcanzar la posición C a altura h del
suelo. Determinar
- La velocidad de m1 al llegar a la
posición B antes del choque y la tensión de la cuerda en ese instante.
- Las velocidades de m1 y m2 después del choque.
- La altura h al que asciende la masa m1 después del choque
Solución
Principio de conservación de la energía
20·9.8·1.5=
1
2
20
v
2
v=5.42 m/s
Dinámica del movimiento circular uniforme
T−20·9.8=20
v
2
1.5
T=588 N
Choque elástico
Conservación del momento lineal (o angular). En un choque
elástico no hay pérdida de energía cinética
20·v=20·
v
1
+25
v
2
1
2
20
v
2
=
1
2
20
v
1
2
+
1
2
25
v
2
2
v2=4.82 m/s, v1=-0.60
m/s
Principio de conservación de la energía
1
2
20
v
1
2
=20·9.8·h h=0.02 m
Problema 9
Una bala de 10 g se incrusta en un bloque de 990 g que
descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, sujeto a un resorte de
constante k=800 N/m, tal como se ve en la figura. El impacto comprime el
resorte 15 cm.
Calcular
- La velocidad del conjunto bloque + bala justo después del
choque
- La velocidad de la bala antes del choque.
Solución
Choque de la bala y el bloque. Conservación del momento
lineal
0.01v0=(0.01+0.99)v
Después del choque la energía cinética del conjunto
bala-bloque se transforma en energía potencial elástica del muelle.
1
2
(0.01+0.99)
v
2
=
1
2
800·
0.15
2
v=
18
m/s
La velocidad de la bala es
v
0
=100
18
m/s
Problema 10
Una bala de masa 0.2 kg y
velocidad 50 m/s choca contra un bloque de masa 10 kg, empotrándose en el
mismo. El bloque está unido a un resorte de constante 1000 N/m, y el
coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano horizontal es de 0.1.
Calcular:
- La velocidad del conjunto bala - bloque inmediatamente después
del choque.
- La máxima deformación del muelle.
Solución
Choque de la bala y el bloque. Conservación del momento
lineal
0.2·50=(0.2 +10)v
v=0.98 m/s
Después del choque la energía cinética del conjunto
bala-bloque se transforma en en parte energía potencial elástica del muelle. La
otra parte, se pierde como trabajo de la fuerza de rozamiento.
N=10.2·9.8
F
r
=μN=9.996
−
F
r
x=
1
2
1000
x
2
−
1
2
10.2
v
2
x=0.0895 m
Problema 11
Una partícula de 5 kg de
masa, moviéndose a 2 m/s, choca contra otra partícula de 8 kg de masa
inicialmente en reposo. Si el choque es frontal y elástico, hallar la velocidad
de cada partícula después del choque.
Solución
Choque elástico. Conservación del momento lineal. En un
choque elástico no hay pérdida de energía cinética
{
5·2=5·
v
1
+8
v
2
1
2
5·
2
2
=
1
2
5
v
1
2
+
1
2
8
v
2
2
}{
v
1
=−
6
13
m/s
v
2
=
20
13
m/s
Problema 12
Una partícula de masa 4 kg y velocidad 2 m/s choca contra otra de 3 kg
que está en reposo. La primera se desvía –45º respecto de la dirección inicial
y la segunda 30º.
- Calcular las velocidades de ambas partículas después del
choque.
- ¿Es elástico?
Solución
Se aplica el principio de conservación del momento lineal
Masa (kg) |
V. antes del choque |
V. después del choque |
4 |
2 i |
v1·cos45 i-v1·sin45 j |
3 |
0 |
v2·cos30 i+v2·sin30 j |
4·2i=4(v1·cos45 i-v1·sin45 j)+3(v2·cos30 i+v2·sin30 j)
Tenemos el sistema de ecuaciones
8= 4v1·cos45+3v2·cos30
0=-4v1·sin45+3 v2·sin30
La solución del sistema es: v1=1.04 m/s, v2=1.95
m/s
Balance energético
1
2
4·
2
2
+Q=
1
2
4
v
1
2
+
1
2
3
v
2
2
Q=−0.14 J
Problema 13
Tres partículas A, B y C de masas mA = mB = m y mC = 2m, respectivamente se están moviendo
con velocidades cuyo sentido se indica en la figura y de valor vA = vB = v y vC = 2v.
Se
dirigen hacia el origen del sistema de coordenadas al que llegan en el mismo
instante. Al colisionar A y B quedan adheridas y salen en la dirección indicada
con velocidad v/2.
Determinar:
- La velocidad y dirección sale la partícula C.
- ¿Es un choque elástico?. Razona la respuesta
Solución
Conservación del momento lineal
Masa (kg) |
V. antes del choque |
V. después del choque |
m |
-v i |
-(v/2)·sin60 i-(v/2)·cos60 j |
m |
v i |
-(v/2)·sin60 i-(v/2)·cos60 j |
2m |
-2v j |
vc |
m(-v i)+m(v i)+(2m)(-2v) j=(2m)( -(v/2)·sin60 i-(v/2)·cos60 j)+(2m) vc
v
C
=v
sin60i+(−4+cos60)j
2
=v
3
4
i−v
7
4
j {
v
c
=
13
2
v m/s
θ=−76.1º
Balance energético
1
2
m
v
2
+
1
2
m
v
2
+
1
2
(2m)
(2v)
2
+Q=
1
2
m
(
v
2
)
2
+
1
2
m
(
v
2
)
2
+
1
2
(2m)
v
C
2
Q=−
3
2
m
v
2
Problema 14
Las
esferas de la figura tienen masas mA = 20 g, mB = 30 g y mC = 50 g. Se mueven hacia el origen sobre una mesa sin fricción con velocidades vA = 1.5 m/s y vB = 0.5 m/s. Las tres esferas llegan al origen
simultáneamente.
- ¿Cuánto
tiene que valer vC (módulo y dirección) para que las masas
queden en el origen, sin moverse, después del choque?
¿Se ha perdido energía cinética en el choque? Si es así, cuánta
Solución
Conservación del momento lineal
Masa (kg) |
V. antes del choque |
V. después del choque |
0.02 |
-1.5 i |
0 |
0.03 |
-0.5cos60 i-0.5sin60 j |
0 |
0.05 |
vc |
0 |
0.02(-1.5 i)+0.03 (-0.5cos60 i-0.5sin60 j)+0.05vc =0
v
C
=0.75i+0.15
3
j{
v
c
=0.79 m/s
θ=19.1º
Balance energético de la colision
1
2
0.02·
1.5
2
+
1
2
0.03·
0.5
2
+
1
2
0.03·
v
c
2
+Q=0 Q=−0042 J
Problema 15
Una granada se mueve horizontalmente con respecto al suelo a 8 km/s
explota dividiéndose en tres fragmentos iguales. Uno sale en dirección
horizontal (la misma que llevaba la granada) a 16 km/s. El segundo sale hacia
arriba formando un ángulo de 45º y el tercer fragmento, hacia abajo formando un
ángulo de 45º.
- Hallar la velocidad del segundo y del tercer fragmento
- Hallar la Q de la explosión (Q=ΔEc)
- Sabiendo que la granada se encontraba a 100 m del suelo
cuando se produce la explosión, hallar el alcance de cada uno de los
fragmentos.
Solución
Conservación del momento lineal
m(8000i)=
m
3
(16000i)+
m
3
(
v
1
cos45i+
v
1
sin45j)+
m
3
(
v
2
cos45i−
v
2
sin45j)
{
8000=
1
3
16000+
1
3
v
1
cos45+
1
3
v
2
cos45
0=
1
3
v
1
sin45−
1
3
v
2
sin45
v1=v2=5656.8 m/s
Trayectorias de los fragmentos:
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=16000
v
y
=−9.8·t
{
x=16000t
y=100+
1
2
(−9.8)
t
2
Llega al suelo, y=0, x=72.3 km
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=
v
1
cos45
v
y
=
v
1
sin45+(−9.8)·t
{
x=
v
1
cos45t
y=100+
v
1
sin45·t
1
2
(−9.8)
t
2
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=4000
v
y
=4000+(−9.8)·t
{
x=4000t
y=100+4000·t
1
2
(−9.8)
t
2
Llega al suelo, y=0, x=3265.4 km
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=
v
1
cos45
v
y
=−
v
1
sin45+(−9.8)·t
{
x=
v
1
cos45t
y=100−
v
1
sin45·t
1
2
(−9.8)
t
2
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=4000
v
y
=−4000+(−9.8)·t
{
x=4000t
y=100−4000·t
1
2
(−9.8)
t
2
Llega al suelo, y=0, x=100 m
Problema 16
Dos bolas de marfil de masas m y 2m respectivamente están suspendidas de dos hilos inextensibles de 1 m de
longitud.
Separamos la bola de masa m de su posición de equilibrio 60º,
manteniendo el hilo extendido y en el mismo plano vertical que el otro hilo. La
soltamos y choca elásticamente con la bola de masa 2m.
Se pide calcular:
- La velocidad de ambas bolas inmediatamente después del
choque.
- Las máximas alturas a las que ascenderán después del
choque.
Solución
Velocidad antes del choque. Principio de conservación de la
energía
1
2
m
v
2
=m·9.8·(1−1·cos60) v=
9.8
m/s
Choque elástico. Conservación del momento lineal. La energía
cinética no cambia
{
mv=m
v
1
+2m
v
2
1
2
m
v
2
=
1
2
m
v
1
2
+
1
2
2m
v
2
2
}{
v
1
=−
1
3
v
v
2
=
2
3
v
Alturas que alcanzan después del choque. Principio de
conservación d ela energía
1
2
m
v
1
2
=mg
h
1
h
1
=0.056 m
θ
1
=19.2º
1
2
2m
v
2
2
=2mg
h
2
h
2
=0.222 m
θ
2
=38.9º
Problema 17
Un bloque de masa m1 =
1 kg choca contra otro bloque que se encuentra en reposo de masa m2 = 2 kg, situado en la posición indicada en la figura. La velocidad del primer
bloque inmediatamente antes del choque es v1 = 5
m/s.
Sabiendo que el choque es elástico y que podemos considerar las masas
como puntuales, calcular la velocidad de las dos masas inmediatamente después
del choque.
Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento entre el plano y los
cuerpos es μ = 0.1, calcular:
- La máxima compresión del muelle (de constante k = 1000 N/m)
producida por m2.
- La distancia que recorre m1 hasta detenerse
Solución
Choque elástico. Conservación del momento lineal. La energía
cinética no cambia
{
1·5=1
v
1
+2
v
2
1
2
1·
5
2
=
1
2
1
v
1
2
+
1
2
2
v
2
2
}{
v
1
=−
5
3
v
v
2
=
10
3
v
Movimiento del primer bloque después del choque
{
N=1·9.8
F
r
=μN=0−1·1·9.8=0.98
−
F
r
x
1
=
1
2
1
(
5
3
)
2
x
1
=1.42 m
Movimiento del segundo bloque después del choque
{
N=2·9.8
F
r
=μN=0.1·2·9.8=1.96
−
F
r
(1+x)=
1
2
1000
x
2
−
1
2
2
(
10
3
)
2
x=0.133 m
El desplazamiento del segundo bloque es x2=1+x=1.133
m
Problema 18
Un muelle vertical de constante k=1000 N/m
sostiene un plato de 2 kg de masa.
- Cuánto se ha deformado el muelle x0.
Desde 5 m de altura respecto del plato se deja caer un
cuerpo de 4 kg de masa que se adhiere al plato.
- ¿Cuál es la velocidad v del conjunto cuerpo-plato
inmediatamente después del choque?
El muelle se comprime.
- ¿Cuál es la máxima comprensión del
muelle xmáx?
Se aconseja tomar como energía potencial cero, la posición inicial del
extremo del muelle sin deformar
Solución
Deformación inicial del muelle
|
2·9.8=1000·x0
x0=0.0196 m |
Caída del cuerpo 5 m
|
5=
1
2
9.8
t
2
v
1
=9.8·t
}
v
1
=9.90 m/s
|
Choque inelástico entre el cuerpo y el plato
|
4·v1=(2+4)v
v=6.6 m/s |
Máxima deformación del muelle. Conservación de la energía
1
2
6
v
2
+6·9.8·(−
x
0
)+
1
2
1000
x
0
2
=6·9.8·(−x)+
1
2
1000
x
2
x=0.571 m
Problema 19
|
Un muelle vertical de constante k=1000 N/m
sostiene un plato de 4 kg de masa. Desde 5 m de altura respecto al plato se
deja caer una bola de 2 kg que choca elásticamente.
Calcular la máxima deformación del muelle y la altura máxima
a la que ascenderá la bola después del choque. (g=10 m/s2) |
Solución
Deformación inicial del muelle
|
4·10=1000·x0
x0=0.04 m |
Caída del cuerpo 5 m
5=
1
2
10
t
2
v
1
=10·t
}
v
1
=10 m/s
Choque elástico entre el cuerpo y el plato
{
2·10=2
v
1
+4
v
2
1
2
2·
10
2
=
1
2
2
v
1
2
+
1
2
4
v
2
2
}{
v
1
=−
10
3
v
v
2
=
20
3
v
Después del choque el cuerpo asciende
|
1
2
2
(
10
3
)
2
=2·10·h h=
5
9
m
o bien, 5/9-0.04=0.516 m por encima del origen (muelle sin
deformar) |
Máxima deformación del muelle. Conservación de la energía
1
2
4
(
20
3
)
2
+4·10·(−0.04)+
1
2
1000·
0.04
2
=4·10·(−x)+
1
2
1000
x
2
x=0.462 m
Problema 20
Una bala de 0.2 kg y velocidad u=50 m/s choca
contra un bloque de 9.8 kg empotrándose en el mismo. El bloque está unido a un
muelle de constante k=1000 N/m. Calcular.
- La velocidad v0 del conjunto bala-bloque después del
choque.
- La amplitud, periodo, fase inicial del MAS que describe el conjunto
bala-bloque.
Solución
Conservación del momento lineal
0.2·50=(0.2+9.8)v
v=1 m/s
Movimiento armónico simple
x=Asin(ωt+ϕ) ω=
k
m
=
1000
0.2+9.8
=10 rad/s
v=
dx
dt
=Aωcos(ωt+ϕ)
Condiciones iniciales: en el instante t=0, x=0, v=1 m/s
{
0=Asinϕ
1=A·10·cosϕ
}{
A=0.1 m
ϕ=0
De otra forma. La amplitud es la máxima deformación del
muelle. La energía cinética del conjunto bala-bloque se convierte en energía
potencial elástica del muelle.
1
2
(0.2+9.8)
1
2
=
1
2
1000
A
2
A=0.1 m