Trabajo y energía
Problema 1
Desde el extremo A de una rampa se deja caer una partícula
de 250 g de masa, que desliza con rozamiento (coeficiente μ=0.5) hasta
llegar al punto B. En el punto B, continua su movimiento describiendo el arco
de circunferencia BCD, de 5 m de radio (en este tramo no hay rozamiento)
Sale por el punto D, describiendo un movimiento parabólico
hasta que impacta en el punto E situado sobre un plano inclinado 30º respecto
de la horizontal.
-
Calcular la velocidad de la partícula en el punto más bajo C de su trayectoria circular, y la reacción en dicho punto.
-
Determinar el punto de impacto del proyectil sobre el plano inclinado DE, y las componentes de la velocidad en el punto de impacto.
Solución
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la inicial
W
AB
=
E
B
−
E
A
{
N=0.25·9.8·cos60
F
r
=μN=0.5·N=0.6125
W
AB
=−
F
r
·10=−6.125
−6.125=
1
2
0.25·
v
B
2
−0.25·9.8·10·cos60
v
B
=10.99 m/s
Entre B y C no hay rozamiento, conservación de la energía
1
2
0.25
v
B
2
=
1
2
0.25
v
C
2
+0.25·9.8·(−2.5)
v
C
=13.03 m/s
Dinámica del movimiento circular uniforme
N−mg=m
v
2
R
N−0.25·9.8=0.25
v
C
2
5
N=10.94 N
La velocidad en B y en D es la misma ya que están a la misma
altura, v0=10.99 m/s
Tiro parabólico
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=
v
0
·cos60
v
y
=
v
0
sin60+(−9.8)t
{
x=
v
0
·cos60·t
y=
v
0
sin60·t+
1
2
(−9.8)
t
2
Punto de impacto, tan30=y/x
v
0
sin60·t+
1
2
(−9.8)
t
2
=(
v
0
·cos60·t
)tan30 t=1.29 s{
x=7.11 m
y=4.10 m
{
v
x
=5.50 m/s
v
y
=−3.12 m/s
Problema 2
Un bloque de 600 g se suelta en la posición A, desliza a lo
largo del plano inclinado de 45º de inclinación hasta B, a continuación
describe el bucle BCDEB, desliza a lo largo del plano horizontal BF y
finalmente comprime un muelle de constante k=500 N/m cuyo extremo libre
dista 60 cm de B.
- Calcular la máxima deformación del muelle, sabiendo que la
altura h de A es de 2.5 m, el radio del bucle r=0.5 m, y el
coeficiente dinámico de rozamiento en el plano horizontal BG e inclinado
AB es de 0.3. Se supone que no hay rozamiento en el bucle.
- Hallar la reacción en la posición D. (Tomar g=9.8 m/s2)
Solución
Entre A y B hay rozamiento, el trabajo de la fuerza de
rozamiento se emplea en cambiar la energía de la partícula
W
AB
=
E
B
−
E
A
{
N=0.6·9.8·cos45
F
r
=μN=0.3·N
W
AB
=−
F
r
2.5
cos45
−0.3·0.6·9.8·cos45
2.5
cos45
=
1
2
0.6
v
B
2
−0.6·9.8·2.5
v
B
=5.86 m/s
Entre B y D aplicamos el principio de conservación de la
energía
1
2
0.6
v
B
2
=
1
2
0.6
v
D
2
+0.6·9.8·1.0
v
D
=3.83 m/s
Aplicamos la dinámica del movimiento circular uniforme para
calcular la reacción en D
N+mg=m
v
2
R
N+0.6·9.8=0.6
v
D
2
0.5
N=11.76 N
Regresa a B con la misma velocidad ya que no hay rozamiento
en la pista circular
Entre B y F hay rozamiento, el trabajo de la fuerza de
rozamiento se emplea en cambiar la energía de la partícula
W
BF
=
E
F
−
E
B
{
N=0.6·9.8
F
r
=μN=0.3·N
W
AB
=−
F
r
(0.6+x)
−0.3·0.6·9.8·(0.6+x)=
1
2
500
x
2
−
1
2
0.6
v
B
2
x=0.196 m
Problema 3
Se lanza un bloque de 400 g que descansa
sobre un plano inlinado 30º mediante un muelle de constante k=750 N/m. Se comprime
el muelle 15 cm y se suelta el bloque. El bloque se encuentra a 45 cm de altura
sobre el suelo, cuando el muelle está comprimido tal como se muestra en la
figura. El boque describe el bucle ABCDEF. El radio de la trayectoria circular
BCDEB es de 50 cm.
- Determinar la velocidad del bloque en las posiciones B (parte más baja de la trayectoria
circular), y D (parte más alta de la trayectoria circular).
- La máxima distancia d que recorre hasta que se para en F.
- Las reacciones en las posiciones
A, B, D y F.
El coeficiente de rozamiento en los planos
horizontal BF e inclinado AB es 0.2. No hay rozamiento en la trayectoria circular.
Solución
Entre A y B hay rozamiento, el trabajo de la fuerza de
rozamiento se emplea en cambiar la energía de la partícula
W
AB
=
E
B
−
E
A
{
N=0.4·9.8·cos30
F
r
=μN=0.2·N
W
AB
=−
F
r
0.45
sin30
−0.2·0.4·9.8·cos30·0.9=
1
2
0.4
v
B
2
−(
1
2
750·
0.15
2
+0.4·9.8·0.45
)
v
B
=6.92 m/s
Entre B y D aplicamos el principio de conservación de la
energía
1
2
0.4
v
B
2
=
1
2
0.6
v
D
2
+0.4·9.8·1.0
v
D
=5.32 m/s
Aplicamos la dinámica del movimiento circular uniforme para
calcular la reacción en B y D
N+mg=m
v
2
R
N
D
+0.4·9.8=0.6
v
D
2
0.5
N
D
=18.8 N
N−mg=m
v
2
R
N
B
−0.4·9.8=0.6
v
B
2
0.5
N
B
=42.3 N
Entre B y F hay rozamiento, el trabajo de la fuerza de
rozamiento se emplea en cambiar la energía de la partícula
W
BF
=
E
F
−
E
B
{
N=0.4·9.8
F
r
=μN=0.2·N
W
AB
=−
F
r
x
−0.4·9.8·x=0−
1
2
0.4
v
B
2
x=12.2 m
Problema 4
Un bloque de 4 kg de masa
desliza a lo largo de un plano inclinado de 30º de inclinación. Sobre el plano
inclinado y paralelamente al mismo se ha colocado un muelle de constante
recuperadora 500 N/m cuya misión es parar el bloque.
Sabiendo que cuando se
inicia el movimiento, la distancia entre el bloque y el muelle a lo largo del
plano es de 10 m
- Determinar la máxima deformación del muelle.
El coeficiente
de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.2
Solución
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la
diferencia entre la energía final y la inicial
W
r
=
E
f
−
E
i
{
N=4·9.8·cos30
F
r
=μN=0.2·N
W
r
=−
F
r
(10+x)
−0.2·4·9.8·cos30(10+x)=
1
2
500
x
2
−4·9.8·(10+x)·sin30 x=0.752 m
Problema 5
Dos bloques de 5 y 4 Kg están unidos por una cuerda que pasa
por una polea de masa despreciable, ambos deslizan sobre planos inclinados de
30º y 60º, respectivamente. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento en ambos
planos vale 0.1. Calcular:
- la aceleración del sistema,
- la tensión de la cuerda,
- la velocidad que adquieren los bloques cuando se desplazan
3 m a lo largo
- de los planos inclinados respectivos, partiendo del
reposo. (Emplear dos procedimientos de cálculo para este apartado,
comprobando que se obtienen los mismos resultados).
Problema 6
Solución
Se descomponen las fuerzas a lo
largo del plano inclinado y perpendicularmente al mismo.
Ecuaciones del movimiento
{
T−5·9.8·sin30−
F
r
=5a
N=5·9.8·cos30
F
r
=μN=0.1N
{
4·9.8·sin60−F
'
r
−T=4a
N'=4·9.8·cos60
F
'
r
=μN'=0.1N'
a=0.36 m/s2, T=30.5 N
Cuando los cuerpos se desplazan 3 m partiendo del reposo
v=a·t x=
1
2
a
t
2
Si x=3 m, v=1.47 m/s
Balance energético
Observamos la situación inicial (los cuerpos parten del
reposo) y la final (los cuerpos se han desplazado 3 m)
La energía potencial del cuerpo de 4 kg disminuye, 4·9.8·(3·cos60)
La energía potencial del cuerpo de 5 kg aumenta, 5·9.8·(3·cos30)
Los dos cuerpos aumentan su energía cinética,
1
2
4
v
2
+
1
2
5
v
2
Trabajo de las fuerzas de rozamiento
Wr=-Fr·3-F’r·3
La ecuación del balance energético se escribe
W
r
=
1
2
4
v
2
+
1
2
5
v
2
+5·9.8·3sin30−4·9.8·3·sin60
−(0.1·4·9.8·cos60+0.1·5·9.8·cos30)3=
1
2
4
v
2
+
1
2
5
v
2
+5·9.8·3sin30−4·9.8·3·sin60
v=1.47 m/s
Un bloque de 600 g se suelta cuando un muelle, de constante 500 N/m está comprimido 150 mm. Luego se traslada a lo largo del bucle de 50 cm de diámetro siguiendo la trayectoria ABCDEF.
Sabiendo que la distancia entre el bloque y la base del bucle en el momento en
que se suelta el bloque es de 60 cm, y que solamente existe rozamiento en las
superficies planas, cuyo coeficiente dinámico vale 0.3, calcular:
- Las velocidades del bloque en las posiciones E, C y la posición
F, es decir, la distancia que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que
se detiene.
- La reacción en las posiciones A, C, E y F.
Solución
Tramo A-E
{
E
A
=
1
2
500
·
0.15
2
E
E
=
1
2
0.6
v
E
2
{
N
=
0.6
·
9.8
F
r
=
μ
N
=
0.3
·
0.6
·
9.8
W
A
E
=
−
F
r
·
0.6
=
1.058
W
A
E
=
E
E
−
E
A
v
E
=
3.90
m/s
Tramo E-C
|
{
E
C
=
1
2
0.6
v
C
2
+0.6·9.8·0.5
E
E
=
1
2
0.6
v
E
2
E
E
=
E
C
v
C
=2.33 m/s
|
Tramo E-F
{
E
F
=0.6·9.8·x·sin30
E
E
=
1
2
0.6
v
E
2
{
N=0.6·9.8·cos30
F
r
=μN=0.3·0.6·9.8·cos30
W
EF
=−
F
r
·x
W
EF
=
E
F
−
E
E
x=1.02 m/s
|
{
N+mg=m
v
C
2
R
N=0.6
v
C
2
0.25
−0.6·9.8=7.13 N
N−mg=m
v
E
2
R
N=0.6
v
E
2
0.25
+0.6·9.8=42.41 N
|