Aplicación de la ley de Gauss
Problema 1
Una esfera de 5 cm está uniformente cargada con una densidad de carga de 1.2·10-5/π C/m3.
- Calcular el módulo del campo eléctrico a una distancia r del centro, en el interior (r<5) y en el exterior (r>5) de la esfera cargada.
- Calcular el potencial en el centro r=0, de la esfera.
Solución
Distribución de carga con simetría esférica. El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
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Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss
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Para r<5 cm
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Para r>5 cm
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Gráfica del campo
Potencial
Problema 2
Un cilindro muy largo, macizo, de 5 cm de radio está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de 4·10-6 C/m3.
- Determinar, razonadamente, la expresión del campo eléctrico dentro y fuera del cilindro.
- Determinar la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje del cilindro y otro a 15 cm del mismo.
Solución
Distribución de carga con simetría cilíndrica.
El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y longitud L. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es |
Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss
Para r<5 cm
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Para r>5 cm
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Gráfica del campo
Diferencia de potencial
Problema 3
Una placa plana, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de σ=2/π 10-9 C/m2.
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Solución
Distribución de carga con simetría plana.
El campo eléctrico tiene dirección perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos una superficie cilíndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya sección es S.
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
Calculamos la carga q contenida en dicha superficie cilíndrica y aplicamos la ley de Gauss
Es la carga que hay en la porción de placa de área S marcada en color rojo es q=σ·S
Gráfica del campo
Diferencia de potencial
Problema 4
Una placa plana, indefinida de espesor 2d=2 cm, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de ρ=2 10-8 C/m3. Obtener razonadamente la expresión del campo eléctrico en el interior y en el exterior de dicha placa. Representar el módulo del campo eléctrico en función de la distancia a la placa. Hallar la diferencia de potencial entre el origen (plano que divide a la placa por la mitad) y un punto situado a 5 cm de dicho plano. |
Solución
Distribución de carga con simetría plana.
El campo eléctrico tiene dirección perpendicular al plano cargado. Para calcular el flujo tomamos una superficie cilíndrica cuyo eje es perpendicular al plano cargado y cuya sección es S.
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
Calculamos la carga q contenida en dicha superficie cilíndrica y aplicamos la ley de Gauss
Para x>d
La carga que hay en la porción cilíndrica de placa de área S y longitud 2d marcada en color rojo es q=ρ(2d)S
Para x<d La carga que hay en la porción cilíndrica de placa de área S y longitud 2x marcada en color rojo es q=ρ(2x)S |
Gráfica del campo
Diferencia de potencial
Área de un triángulo más el área de un rectángulo
Problema 5
Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm, contiene carga uniformemente distribuida por todo su volumen con una densidad de 4 10-5/π C/m3. En su centro hay una esfera conductora de 1 cm de radio cargada con -4·10-9 C.
- Obtener, razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las siguientes regiones r<1, 1< r<3, 3<r<5, r>5.
- Calcular el potencial del centro de la esfera conductora
Solución
Distribución de carga con simetría esférica. El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
Calculamos la carga q en el interior de la esfera de radio r en las distintas regiones y aplicamos la ley de Gauss
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r<1 cm. En el interior de un conductor el campo eléctrico es nulo, E=0 |
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1<r<3 cm. q=-4·10-9 C, la carga de la esfera conductora
Sentido hacia el centro. |
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3<r<5 cm. La carga de la esfera conductora y una parte de la carga de la esfera hueca.
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r>5 cm. La carga de la esfera conductora y la carga de la esfera hueca.
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Gráfica del campo
Potencial de la esfera conductora
Problema 6
Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco están cargados. El primero, que tiene un radio de 2 cm está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad de carga de 4·10-6 C/m3 El hueco de radio interior 5 cm y radio exterior 8 cm, es un conductor cargado con una carga por unidad de de longitud de -9·10-9 C/m.
- Determinar razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las distintas regiones: r<2, 2<r<5, 5<r<8, 8<r cm.
- Representar el campo en función de la distancia radial
- Calcular la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje y otro situado a 15 cm del mismo, a lo largo de la dirección radial.
Solución
Distribución de carga con simetría cilíndrica.
El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y longitud L. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es |
Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss
Para r<2 cm |
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Para 2<r<5 cm |
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Para 5<r<8 cm En el interior de un conductor el campo eléctrico es E=0 |
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Para r>8 cm |
Gráfica del campo
Diferencia de potencial
Problema 7
Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco están cargados. El primero que tiene un radio de 2 cm y es un conductor cargado con una carga por unidad de longitud de 9·10-9 C/m El hueco de radio interior 5 cm y radio exterior 8 cm, está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad -4/π·10-6 C/m3.
- Determinar la expresión del campo eléctrico en las distintas regiones: r<2, 2<r<5, 5<r<8, 8<r cm.
- Representar el campo en función de la distancia radial
- Calcular la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje y otro situado a 15 cm del mismo, a lo largo de la dirección radial.
Solución
Distribución de carga con simetría cilíndrica.
El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y longitud L. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es |
Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss
Para r<2 cm En el interior de un conductor el campo eléctrico es E=0 |
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Para 2<r<5 cm |
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Para 5<r<8 cm |
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Para r>8 cm |
Gráfica del campo
Diferencia de potencial
Problema 8
Una esfera de 8 cm de radio está cargada con una carga uniformemente distribuida en su volumen de 1.152·10-9 C. Determinar razonadamente la expresión del campo eléctrico a una distancia r del centro de la esfera cargada.
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Solución
Distribución de carga con simetría esférica. El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
Calculamos la carga q en el interior de la esfera de radio r en las distintas regiones y aplicamos la ley de Gauss
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r<8 cm. La carga q es una parte de la esfera uniformemente cargada
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r>8 cm. La carga q es la de la esfera cargada
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Gráfica del campo
El potencial en el punto P, situado a una distancia r=0.06 m del centro vale
Sistema de dos cargas
Cuando está presente la carga Q, el campo en P es la suma vectorial del campo producido por la distribución esférica de carga y la carga puntual.
Para r=0.06 m, E1=20250·0.06=1215, E1=1215·j N/C
El potencial en P debido a la carga Q vale
El campo total en P es
E=E1+E2=894.4·i+767.8·j N/C
El potencial total en P es
V=V1+V2=23.8 V
Problema 9
Sea un sistema formado por dos esferas de radio a=4 cm. La de la izquierda cuyo centro está situado en el origen y tiene una carga uniformemente distribuida en todo su volumen de 1.152·10-9 C. La de la derecha es una esfera conductora cargada con -2.0·10-9 C, su centro está a 12 cm de la primera.
- Determinar, la expresión del campo eléctrico y del potencial de cada esfera aisladamente en función de la distancia a su centro r, para r<a y r>a.
- Calcular el vector campo eléctrico y el potencial en los puntos A (0, 2 ) cm, B (6, 0) cm, y C (12, -2) cm producido por ambas esferas.
Solución
Distribución de carga con simetría esférica. El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
Calculamos la carga q en el interior de la esfera de radio r en las distintas regiones y aplicamos la ley de Gauss
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r>4 cm. La carga q es la de la esfera cargada
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r<4 cm. La carga q es una parte de la esfera uniformemente cargada
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r>4 cm La carga q es la de la esfera cargada
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r<4 cm Dentro de un conductor el campo eléctrico es nulo E=0 Potencial de la esfera conductora
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Combinación de ambas distribuciones de carga
Punto A(0, 0.02)
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Punto B(0.06, 0)
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Punto C(0.12, -0.02)
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