Inducción electromagnética
Problema 1
|
Una bobina compuesta de N espiras apretadas del
mismo radio r, está apoyada en un plano que hace 30º con la horizontal.
Se establece un campo magnético B en la dirección vertical. Suponiendo
que el radio de las espiras decrece con el tiempo de la forma r=r0-vt
Calcular la fem y dibujar el sentido de la corriente inducida, razonando la
respuesta. |
Solución
Flujo y fem
Φ=B·S=BNπ
r
2
cos30=BNπ
(
r
0
−vt
)
2
3
/2
V
ε
=−
dΦ
dt
=
3
πBN(
r
0
−vt
)v
El radio de las espiras disminuye, su área disminuye, el
flujo disminuye. La corriente inducida se opone a la disminución del flujo,
tiene el sentido indicado en la figura
Problema 2
|
Se coloca un circuito de N vueltas, cada una de
área S, en un campo magnético uniforme, paralelo al eje Z, que varía con
el tiempo de la forma Bz=B0 cos(ωt).
- Cacular la f.e.m. inducida.
- Representar el campo magnético y la fem en función del
tiempo.
- Representar en el circuito el sentido del campo y de la
corriente inducida en cada cuarto de periodo, explicando el resultado
|
Solución
Flujo y fem
Φ=B·S=B0cos(ωt)(NS)cos30
V
ε
=−
dΦ
dt
=
3
2
NS
B
0
ωsin(ωt)
Sentido de la corriente inducida
Problema 3
Una bobina formada por 120 espiras
rectangulares apretadas, de dimensiones 4 cm y 12 cm, está situada en un plano que
forma 30º con el plano XY. La bobina está en una región en la que existe un
campo magnético paralelo al eje Z que varía entre -0.003 y 0.003 T de la forma
indicada en la parte derecha de la figura.
- Para cada uno de los intervalos de tiempo: 0-1, 1-2, 2-4,
4-5 ms (milisegundos). Dibujar en la bobina el sentido de la
corriente inducida (razonando la respuesta)
- Calcular la fem.
- Hacer un gráfico de la intensidad en función del tiempo, sabiendo
que la resistencia de la bobina es 50 Ω.
Solución
Flujo y fem
Φ=B·S=B(NS)cos30=B·0.04·0.12·120·cos30
V
ε
=−
dΦ
dt
=−
3
·0.288·
dB
dt
i=
V
ε
R
=−0.00576
3
dB
dt
Intensidad de la corriente inducida
0-1 ms,
B=cte,
Vε=0,
i=0
1-2 ms
dB
dt
=
−3·
10
−3
−3·
10
−3
2·
10
−3
−
10
−3
=−6
i=0.06 A
2-4ms, B=cte, Vε=0, i=0
4-5 ms
dB
dt
=
3·
10
−3
−(
−3·
10
−3
)
5·
10
−3
−4·
10
−3
=6
i=−0.06 A
Sentido de la corriente inducida
Problema 4
Una espira cuadrada de lado 2a y resistencia R se mueve con velocidad constante v hacia la derecha como se muestra en
la figura, penetra en una región de anchura 2b donde hay un campo
magnético uniforme perpendicular al plano del papel y hacia fuera de módulo B.
Calcular en los tres casos siguientes: cuando la espira se está introduciendo,
está introducida, y está saliendo de la región que contiene el campo magnético
- El flujo en función de la posición x del centro de
la espira.
- La fem y el sentido de la corriente inducida, justificando
la respuesta en términos de la ley de Lenz
- Dibuja y calcula la fuerza que ejerce el campo magnético
sobre la corriente inducida en los tres casos. ¿Qué fuerza tenemos que
ejercer para que la espira se mueva con velocidad constante?. Calcula la
energía por unidad de tiempo (potencia) mecánica y la disipada en la
resistencia. ¿Coinciden?
Solución
Flujo aumenta, Φ=B·S=B·Scos0=B·2a(a+x+b)
V
ε
=−
dΦ
dt
=−B·2a
dx
dt
=−2Bav
i=
V
ε
R
=−
2Bav
R
Flujo constante, Φ=B·S=B·Scos0=B·2a·2a=4Ba2
V
ε
=−
dΦ
dt
=0
i=0
Flujo disminuye, Φ=B·S=B·Scos0=B·2a(a-x+b)
V
ε
=−
dΦ
dt
=B·2a
dx
dt
=2Bav
i=
V
ε
R
=
2Bav
R
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea
F
m
=i(
u
^
t
×B
)L
F
m
=i(1·B·sin90)·2a=
4
a
2
B
2
R
v
La fuerza magnética se opone al movimiento de la espira,
cuando entra y cuando sale de la región rectangular que contiene el campo
magnético. Tenemos que aplicar una fuerza Fa igual y de sentido
contrario para mover la espira con velocidad constante v. La potencia mecánica o energía por unidad de tiempo que
tenemos que suministrar es
F
a
v=
4
a
2
B
2
R
v
2
La potencia disipada en la resistencia es
i
2
R=
4
a
2
B
2
R
v
2
Problema 5
Una varilla conductora de masa 10 g desliza sobre carriles paralelos verticales distantes 20 cm. Los carriles muy largos se cierran
por la parte inferior, tal como se indica en la figura. En la región existe un
campo magnético uniforme y perpendicular al plano del papel de intensidad 1.5
T.
- Determinar el sentido de la corriente inducida aplicando
la ley de Lenz.
- Dibuja las fuerzas sobre la varilla AB. La varilla parte
del reposo, su velocidad se incrementa indefinidamente o alcanza un valor
límite constante. Razona la respuesta
- En el segundo caso, ¿cuánto vale esta velocidad?. La
resistencia de la varilla es de 10 Ω (los carriles se suponen superconductores).
Solución
Flujo, Φ=B·S=B(Lx)cos0=BLx
V
ε
=−
dΦ
dt
=−B·L
dx
dt
=BLv
i=
V
ε
R
=
BLv
R
Como x disminuye dx/dt<0
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea
F
m
=i(
u
^
t
×B
)L
F
m
=i(1·B·sin90)·L=
B
2
L
2
R
v
Sobre la varilla actúan dos fuerzas, el peso mg y la
fuerza magnética Fm.
Al principio, cuando la varilla parte del reposo, v=0,
y Fm=0. Al caer la varilla incrementa su velocidad y también,
se incrementa la fuerza magnética. La fuerza magnética se va tomando un valor
cada vez más próximo, pero siempre inferior al peso. Cuando t→∞,
se alcanza el equilibrio.
B
2
L
2
R
v=mg v=
mgR
B
2
L
2
v=
0.01·9.8·10
1.5
2
0.2
2
=10.89 m/s
es la velocidad límite constante.
Problema 6
Una varilla conductora de masa 10 g desliza sobre carriles paralelos distantes 20 cm y que forman un ángulo de 30º con el plano
horizontal. Los carriles se cierran por la parte inferior, tal como se indica
en la figura. En la región existe un campo magnético uniforme y perpendicular
al plano horizontal de intensidad 1 T.
- Calcular la fem en función de la velocidad constante de la
varilla. La intensidad de la corriente inducida si la resistencia del
circuito es de 10 ω.
- La(s) fuerza(s) sobre la varilla.
- ¿Cuánto valdrá la velocidad de la varilla cuando desliza
con movimiento uniforme? (se desprecia el rozamiento).
Solución
Flujo, fem e intensidad de la corriente inducida
Φ=B·S=B(Lx)cos30=
3
2
BLx=0.1
3
x
V
ε
=−
dΦ
dt
=−0.1
3
dx
dt
=0.1
3
v
i=
V
ε
R
=0.01
3
v
Como x disminuye dx/dt<0
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea
F
m
=i(
u
^
t
×B
)L
F
m
=i(1·B·sin90)·L=0.01
3
v·1·0.2=0.002
3
v
Sobre la varilla actúan tres fuerzas, el peso mg y la
fuerza magnética Fm y la reacción N del plano
inclinado.
Al principio, cuando la varilla parte del reposo, v=0,
y Fm=0. Al caer la varilla incrementa su velocidad y también, se incrementa la fuerza magnética. La componente a lo largo del plano de fuerza
magnética va tomando un valor cada vez más próximo, pero siempre inferior a la
componente del peso a lo largo del plano inclinado. Cuando t→∞,
se alcanza el equilibrio.
F
m
cos30=mgsin30 v=
50
3
m/s
es la velocidad límite constante.
Problema 7
|
Una varilla de longitud r gira con velocidad
angular ω apoyado su
extremo P en un raíl semicircular del mismo radio. El dispositivo está situado
en un campo magnético B uniforme, perpendicular al plano del papel y dirigido
hacia adentro.
- Determinar razonadamente, la fem y el sentido de la
corriente inducida
- Si la resistencia de la varilla R. Hallar la fuerza
que ejerce el campo magnético sobre una porción infinitesimal de la
varilla OP, y el momento de las fuerzas sobre la varilla respecto del
centro O. Hállese la potencia necesaria que tendremos que suministrar para
mantener la varilla girando con velocidad constante.
|
Solución
Área de la espira en el instante t=área del círculo
de radio r- área del sector circular de ángulo ωt.
S=π
r
2
−
ωt
2π
π
r
2
Φ=B·S=Bπ
r
2
(
1−
ωt
2π
)cos180º=−Bπ
r
2
(
1−
ωt
2π
)
V
ε
=−
dΦ
dt
=−
ωB
r
2
2
i=
V
ε
R
=−
ωB
r
2
2R
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea
F
m
=i(
u
^
t
×B
)L
La fuerza sobre un elemento diferencial dx de varilla
es
dF=i(1·B·sin90)dx=iB·dx
Como vemos es una fuerza de frenado, que se opone al
movimiento de la varilla
El momento de dicha fuerza respecto del centro O es x·dF=iBx·dx
El momento total es
M=
∫
0
r
iBx·dx=iB
r
2
2
=
ω
B
2
r
4
4R
Para que la varilla se mueva con velocidad angular
constante, es necesario ejercer un momento igual y de sentido contrario. La
potencia mecánica es
P=M·ω=
ω
2
B
2
r
4
4R
La potencia disipada en la resistencia es
P=
i
2
R=
ω
2
B
2
r
4
4R
Problema 8
- Obtener el coeficiente de inducción mutua de dos
solenoides rectos largos y concéntricos de N1 y N2 espiras, longitud L1 y L2, y secciones S1 y S2 respectivamente.
- Datos: n1= 100 espiras por cm, n2=150
espiras por cm. S1= 9/π cm2, S2=3/π cm2. L1=
20 cm, L2=30
cm.
- Si por el primario, solenoide exterior, circula una
corriente, como indica la figura, obtener y hacer un gráfico de la
corriente del secundario, sabiendo que su resistencia es de 50 ω. Razónese la respuesta a partir de
esquemas en los que se especifique el sentido de la corriente en el
primario y en el secundario
Solución
- Tomamos como primario el solenoide interior
El campo magnético producido por el primario es
B
2
=
μ
0
i
2
N
2
L
2
El flujo de dicho campo magnético a través de las N1 espiras del secundario (solenoide exterior) y el coeficiente de inducción mutua M son:
Φ
1
=
B
2
·
S
1
=
B
2
(
N
1
S
2
)cos0=
μ
0
i
2
N
1
N
2
L
2
S
2
M=
Φ
1
i
2
=
μ
0
N
1
N
2
L
2
S
2
- Tomamos como primario el solenoide exterior
El campo magnético producido por el primario es
B
1
=
μ
0
i
1
N
1
L
1
Dicho campo magnético no atraviesa todas las espiras del
secundario (solenoide interior) sino N2·L1/L2 espiras. El flujo de dicho campo magnético y el coeficiente de inducción mutua M son:
Φ
2
=
B
1
·
S
2
=
B
1
(
N
2
L
2
L
1
)
S
2
cos0=
μ
0
i
1
N
1
N
2
L
2
S
2
M=
Φ
2
i
1
=
μ
0
N
1
N
2
L
2
S
2
M=
4π·
10
−7
(100·20)(150·30)
0.3
3
π
10
−4
=3.6·
10
−3
H
f.em en el secundario (solenoide interior) cuando varía la
corriente en el primario (solenoide exterior)
V
2
=−
d
Φ
2
dt
=−
d(M
i
1
)
dt
=−M
d
i
1
dt
i
2
=
V
2
R
=−
M
R
d
i
1
dt
i1=cte, i2=0
i
2
=−
3.6·
10
−3
50
(
−3−3
)
0.001
=0.432 A
i1=cte, i2=0
i
2
=−
3.6·
10
−3
50
(
3−(−3)
)
0.001
=−0.432 A
i1=cte, i2=0
Gráfica
Problema 9
Una corriente rectilínea conduce una corriente de 10 A. La espira rectangular una corriente de 2 A en el sentido de las agujas del reloj. Calcular.
- El coeficiente de inducción mutua.
- Supongamos ahora, que la corriente rectilínea tiene una
amplitud de 10 A y una frecuencia de 60 Hz, determinar la intensidad de la
corriente inducida en la espira, si su resistencia es de 40 Ω.
Dibújese sobre la espira el sentido de dicha corriente cada cuarto de
periodo. Dibujar en un mismo gráfico, intensidad - tiempo, la intensidad
en la corriente rectilínea y la intensidad en la espira. Razónese las
respuestas.
Solución
Tomamos como primario el conductor rectilíneo
El campo magnético producido por una corriente rectilínea en
un punto situado a una distancia x
B
1
=
μ
0
i
1
2πx
El flujo de dicho campo magnético a través de la espira y el
coeficiente de inducción mutua M son:
Φ
2
=
∫
B
1
·dS
=
∫
0.1
0.18
μ
0
i
1
2πx
(0.04·dx)·cos180=
−
μ
0
i
1
2π
0.04·ln
0.18
0.1
M=
Φ
2
i
1
=4.7·
10
−9
H
Si la corriente i1 en el primario varía
con el tiempo se produce una corriente inducida i2 en el
secundario.
V
2
=−
d
Φ
2
dt
=
μ
0
2π
0.04·ln
0.18
0.1
d
i
1
dt
=
μ
0
2π
0.04·ln
0.18
0.1
·120π·10·cos(120πt)
i
2
=
V
2
R
=4.43·
10
−7
cos(120πt) A
Sentido de la corriente inducida cada cuarto de periodo P=1/60
s
Gráfica
Problema 10
Calcular el coeficiente de autoinducción del toroide de
la figura.
Solución
Campo magnético producido por un toroide de N espiras
por el que circula una corriente de intensidad i, a una distancia a<r<b de su eje.
B=
μ
0
Ni
2πr
Flujo de dicho campo a través de una espira del toroide
∫
B·dS
=
∫
a
b
μ
0
Ni
2πr
(h·dr)
cos0=
μ
0
Ni
2π
hln(
b
a
)
Flujo a través de las N espiras del toroide y coeficiente de
inducción mutua
Φ=
μ
0
N
2
i
2π
hln(
b
a
)
L=
Φ
i
=
μ
0
N
2
2π
hln(
b
a
)