Movimiento de partículas cargadas
Problema 1
Un cañón electrónico emite electrones acelerados por una
diferencia de potencial U en el vacío en la dirección horizontal X. Las
coordenadas del blanco B son (x, y). Determinar el módulo del
campo magnético B .
Datos: masa del electrón: m=9.1·10-31 kg,
carga: q=1.6·10-19 C
|
Se pulsa el botón titulado Nuevo
- Se arrastra el círculo de color negro (blanco) hasta la
posición deseada.
- Se cambia el campo magnético (en gauss) actuando en la barra
de desplazamiento titulada Campo magnético.
- Se cambia la diferencia de potencial (en V) que acelera los
electrones, actuando en la barra de desplazamiento titulada d.d.p.
Se pulsa el botón titulado Trayectoria
Solución
Los electrones son acelerados por una diferencia de
potencial U. Los electrones tienen carga negativa y son acelerados en el
sentido contrario al campo eléctrico E. Si son emitidos por un filamento
caliente con velocidad inicial aproximadamente nula, salen del cañón con una
velocidad.
qU=
1
2
m
v
2
El campo magnético hace que el haz de electrones describa
una trayectoria circular.
La fuerza magnética es Fm=qv×B. Como la carga de los electrones es negativa, la fuerza Fm tiene sentido contrario al producto vectorial v×B.
El radio de la órbita circular se calcula aplicando la
ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme.
qvBsin90=m
v
2
r
r=
mv
qB
En la figura observamos
d=
x
2
+
y
2
tanθ=
y
x
d=2rsinθ
Conocido las coordenadas del blanco (x, y),
calculamos el radio r de la circunferencia, y despejamos el módulo del
campo magnético.
Ejemplo.
Las coordenadas del blanco son x=5 e y=3.5 cm.
La diferencia de potencial U=50 V, calcular el módulo del campo
magnético
La velocidad de los electrones es
50·1.6·
10
−19
=
1
2
9.1·
10
−31
v
2
v=4.193·
10
6
m/s
Conocidas las coordenadas del blanco determinamos el radio
de la trayectoria circular de los electrones en el campo magnético.
d=
5
2
+
3.5
2
tanθ=
3.5
5
r=
d
2sinθ
r=5.32 cm
El valor del módulo del campo magnético es
B=
mv
qr
B=
9.1·
10
−31
·4.193·
10
6
1.6·
10
−19
·0.0532
=4.48·
10
−4
T=4.48 gauss
Problema 2
Un electrón es acelerado por una
diferencia de potencial de 300 V, entra en una región donde hay un campo
eléctrico producido por las placas de un condensador de 40 cm de longitud y separadas 4 cm a las cuales se le aplica una
diferencia de potencial de 100 V. Calcular
- La velocidad
inicial del electrón antes de entrar en dicha región.
- El punto de
impacto o la desviación del electrón a la salida de las placas.
- Ahora,
aplicamos un campo magnético perpendicular al plano. Determinar la
intensidad y el sentido (hacia dentro o hacia afuera) del campo magnético
para que el electrón no se desvíe.
Datos: carga del electrón 1.6 10-19 C, masa 9.1 10-31 kg
Solución
- Velocidad final del electrón acelerado por una diferencia de
potencial de 300 V
q(V'−V)=
1
2
m
v
2
−
1
2
m
v
0
2
1.6·
10
−19
·300=
1
2
9.1·
10
−31
v
2
v=10.27·
10
6
m/s
- Movimiento del electrón entre las placas del condensador
El electrón experimenta una fuerza vertical a lo largo del
eje Y, F=qE, Donde E es el campo eléctrico constante entre las
placas y V’-V=E·d es la diferencia de potencial
E=
V'−V
d
E=
100
0.04
=2500 N/C
Las ecuaciones del movimiento son:
{
a
x
=0
a
y
=
qE
m
{
v
x
=v
v
y
=
a
y
t
{
x=v·t
y=
1
2
a
y
t
2
Desviación a la salida de las placas, x=0.4, y=0.333
m>0.02. El electrón choca antes con las placas.
Para y=0.02, x=0.098=9.8 cm
- Para que el electrón no se desvíe el campo magnético deberá
ser perpendicular al plano del papel y hacia dentro tal como se muestra en el
dibujo.
Fuerza magnética, Fm=qv×B, módulo, Fm=qvBsin90=qvB
Fuerza eléctrica, Fe=qE, módulo, Fe=qE
El electrón se mueve a lo largo del eje X con velocidad
constante si ambas fuerzas son iguales y opuestas, Fm=Fe
B=E/v=2.43·10-4 T
- Si se suprime el campo eléctrico, el electrón describe una
trayectoria circular de radio r, bajo la acción del campo magnético.
Dinámica del movimiento circular uniforme, F=man
qvB=m
v
2
r
r=
mv
qB
r=
9.1·
10
−31
·10.27·
10
6
1.6·
10
−19
·2.43·
10
−4
=0.24 m
El electrón describe un arco de circunferencia hasta que
impacta en la placa inferior del condensador a una distancia x del
origen.
r=0.02+r·cosθ
x=r·sinθ=0.096 m
Problema 3
 |
Un haz de electrones acelerados por una diferencia de
potencial de 300 V, se introduce en una región donde existe un campo magnético
uniforme dirigido desde el plano del papel hacia el lector, la anchura de la
región es de 2.5 cm. Si no hubiese campo magnético, el haz de electrones
produciría una mancha en el punto F de la pantalla fluorescente situada a 5 cm del borde de dicha región. Cuando se conecta un campo magnético de 1.46·10-3 T.
- Dibujar el arco de circunferencia que describe el electrón y
calcular su radio. Determinar la desviación del haz en la pantalla.
Datos del
electrón, m=9.1·10-31 kg, q=1.6·10-19 C |
Solución
Velocidad final del electrón acelerado por una diferencia de
potencial de 300 V
q(V'−V)=
1
2
m
v
2
−
1
2
m
v
0
2
1.6·
10
−19
·300=
1
2
9.1·
10
−31
v
2
v=10.27·
10
6
m/s
El electrón describe un arco de circunferencia de radio r bajo la acción del campo magnético.
Dinámica del movimiento circular uniforme, F=man
qvB=m
v
2
r
r=
mv
qB
r=0.04 m
Desviación total
d=(r-r·cosθ)+0.05·tanθ=0.0488
m
donde, sinθ=0.025/r
Problema 4
En un espectrómetro de masas los iones pasan por un selector
de velocidades que consiste en un campo eléctrico producido por las placas de
un condensador plano - paralelo cargado, y un campo magnético uniforme y
perpendicular al campo eléctrico. Los iones que tienen una determinada
velocidad pasan a través de los campos cruzados sin desviarse y entran en la
región semicircular inferior donde solo hay campo magnético describiendo
trayectorias semicirculares
En un espectrómetro de masas tal como se muestra en la
figura, los iones Mg (24 u.m.a), con carga +e, son acelerados por una
diferencia de potencial de 1000 V, entrando luego en un selector de
velocidades, pasando a continuación a una región semicircular donde hay un
campo magnético de 0.6 T.
- Determinar el módulo, dirección y sentido del campo
eléctrico en el selector de velocidades de modo que el ion no resulte
desviado.
- El radio de la trayectoria de dicho ion en la región
semicircular
Datos: carga del electrón 1.6 10-19 C, 1 u.m.a. = 1.66 10-27 kg
Solución
Velocidad final del electrón acelerado por una diferencia de
potencial de 1000 V
q(V'−V)=
1
2
m
v
2
−
1
2
m
v
0
2
1.6·
10
−19
·1000=
1
2
24·1.66·
10
−27
v
2
v=89622 m/s
Fuerza magnética, Fm=qv×B, módulo, Fm=qvBsin90=qvB
Fuerza eléctrica, Fe=qE, módulo, Fe=qE
El ión se mueve a lo largo del eje vertical con velocidad
constante si ambas fuerzas son iguales y opuestas, Fm=Fe
E=v·B=53773 N/C
El ión describe una semicircunferencia de radio r bajo
la acción del campo magnético.
Dinámica del movimiento circular uniforme, F=man
qvB=m
v
2
r
r=
mv
qB
r=0.037 m
Problema 5
 |
Sea un ciclotrón de 40 cm de radio que está bajo un campo magnético de 200
gauss, la diferencia de potencial entre las 'Ds' es de 1000V. El ciclotrón
acelera protones.
- ¿Cuánto tiempo tarda el protón en describir una
semicircunferencia?.
- ¿Cuánto valen sus radios?
- ¿Cuántas veces será acelerado el protón antes se salir del
ciclotrón?.
- ¿Cuál será su energía final en eV?
Unidad de carga 1.6 10-19 C. Masa del protón 1.67 10-27 kg |
Solución
El
protón parte del reposo y se acelera por la diferencia de potencial existente entre
las dos D's
qV=
1
2
m
v
1
2
1
.6·10
-19
·1000=
1
2
1.67·
10
−27
v
1
2
v
1
=437 740 m/s
 |
La partícula describe una trayectoria semicircular de radio r1
Una
partícula cargada describe una semicircunferencia en un campo magnético
uniforme. La fuerza sobre la partícula viene dada por el producto vectorial Fm=q·v×B,
Su módulo es Fm=q·vB, su dirección radial y su sentido
hacia el centro de la circunferencia
Aplicando
la segunda ley de Newton al movimiento circular uniforme, obtenemos el radio de
la circunferencia |
F
m
=m
v
2
r
r=
mv
qB
r
1
=
m
v
1
qB
r
1
=
1.67·
10
−27
·437740
1.6·
10
−19
·200·
10
−4
=0.228 m=22.8 cm
El tiempo que tarda
en describir una semicircunferencia
P
1/2
=
πr
v
=
πm
qB
P
1/2
=
π·1.67·
10
−27
1.6·
10
−19
·200·
10
−4
=1.64·
10
−6
s
es, independiente del
radio r de la órbita
El ciclotrón cambia de polaridad y el protón se acelera
de nuevo
La velocidad del protón v2
qV=
1
2
m
v
2
2
−
1
2
m
v
1
2
2qV=
1
2
m
v
2
2
v
2
=619 059 m/s
El protón describe una trayectoria
semicircular de radio r2
r
2
=
m
v
2
qB
r
2
=0.323 m=32.3 cm
El ciclotrón cambia de polaridad y el protón se acelera
de nuevo
qV=
1
2
m
v
3
2
−
1
2
m
v
2
2
3qV=
1
2
m
v
3
2
v
3
=758 189 m/s
El protón describe una trayectoria semicircular de radio r3
r
3
=
m
v
3
qB
r
3
=0.396 m=39.6 cm
El ciclotrón cambia de polaridad y el protón se acelera
de nuevo
qV=
1
2
m
v
4
2
−
1
2
m
v
3
2
4qV=
1
2
m
v
4
2
v
4
=875 481 m/s
El protón describe una trayectoria semicircular de radio r4
r
4
=
m
v
4
qB
r
3
=0.457 m=45.7 cm
El protón ha salido del ciclotrón con una energía final, 4qV=4000
eV
Problema 6
Por una espira
rectangular de la de lados 6 y 8 cm circula una corriente de 10 A en el sentido indicado en la figura. Está en el seno de un campo magnético uniforme B=0.2 T dirigido
a lo largo del eje Y tal como se muestra en las figuras. La espira está
orientada de modo que el ángulo θ=60º.
- Calcular la fuerza sobre cada lado de la espira dibujando su dirección y
sentido.
- El momento de dichas fuerzas (módulo, dirección y sentido) respecto del
eje de rotación Z
Solución
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea
F
m
=i(
u
^
t
×B
)L
- Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre
cada uno de los lados de la espira rectangular.
F1=10(1·0.2·sin150)·0.08=0.08 N
F2=10(1·0.2·sin30)·0.08=0.08 N
F3=10(1·0.2·sin90)·0.06=0.12 N
F4=10(1·0.2·sin90)·0.06=0.12 N
- Momento de las fuerzas F3 y F4 respecto del eje de rotación Z
Módulo; M=F4·d, , donde
el brazo d=0.08·sin60
Dirección, eje Z
Sentido, positivo
M=0.0048
3
k
^
N·m
Problema 7
Una espira rectangular por las que circula una corriente de 5 A, de dimensiones 10 y 15 cm está en una región en la que hay un campo magnético uniforme B=0.02 T
a lo largo del eje Z, la espira forma un ángulo de 30º con el plano XY tal como
se indica en la figura
- Dibujar las fuerza sobre cada uno de los lados de la espira, calcular su
módulo
- Hallar el momento (módulo, dirección y sentido) de las fuerzas respecto
del eje de rotación.
Solución
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea
F
m
=i(
u
^
t
×B
)L
- Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre
cada uno de los lados de la espira rectangular.
F1=5(1·0.02·sin90)·0.1=0.01 N
F2=5(1·0.02·sin120)·0.15=0.013 N
F3=5(1·0.02·sin90)·0.1=0.01 N
F4=5(1·0.02·sin60)·0.15=0.013 N
- Momento de las fuerzas F3 y F4 respecto del eje de rotación
Módulo; M=F1·d+F3·d, donde
el brazo d=0.075·sin30
Dirección, eje X
Sentido, negativo
M=−0.00075
i
^
N·m
Problema 8
Una espira de alambre cuadrada de 10 cm de lado yace en el plano XY tal como se muestra en la figura. Se aplica un campo magnético
paralelo al eje Z, que varía a lo largo del eje X de la forma B=0.1·y T
(donde y se expresa en metros).
- La fuerza (módulo, dirección y sentido) sobre cada uno de
los lados de la espira
Solución
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea
F
m
=i(
u
^
t
×B
)L
- Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre
cada uno de los lados de la espira rectangular.
Lado AB, B=0, FAB=0
Lado CD, y=0.1, B=0.1·0.1=0.01, FCD=10(1·0.01·sin90)·0.1=0.01
N
En el lado BC y DA las fuerzas son iguales y de sentido
contrario. Como el campo magnético B no es constante hay que calcular la
fuerza sobre un elemento diferencial dy y luego la fuerza total sobre el
lado BC integrando.
dF=10(1·0.1y·sin90) dy=y·dy
F
BC
=
∫
0
0.1
y·dy=0.005 N
Problema 9
Una corriente rectilínea está cerca de una espira
rectangular, tal como se muestra en la figura. Calcular.
- La fuerza que ejerce el campo magnético producido por la
corriente rectilínea sobre los lados AB, BC, CD y DA de la espira cuando está a
una distancia de10 cm.
Solución
Campo magnético producido por una corriente rectilínea en un
punto que dista y
Módulo,
B=
μ
0
i
2πy
Dirección, perpendicular al plano del papel, eje Z
Sentido, hacia dentro, negativo
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea
F
m
=i(
u
^
t
×B
)L
Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre
cada uno de los lados de la espira rectangular.
Lado AB, y=0.1,
F
AB
=3(
1·
4π·
10
−7
·2
2π·0.1
sin90
)0.04=4.8·
10
−7
N
Lado CD, y=0.18,
F
CD
=3(
1·
4π·
10
−7
·2
2π·0.18
sin90
)0.04=2.67·
10
−7
N
En el lado BC y DA las fuerzas son iguales y de sentido
contrario. Como el campo magnético B no es constante hay que calcular la
fuerza sobre un elemento diferencial dy y luego la fuerza total sobre el
lado BC integrando.
dF=3(
1·
4π·
10
−7
·2
2π·x
sin90
)dx=12·
10
−7
dx
x
F
BC
=
∫
0.1
0.18
12·
10
−7
dx
x
=12·
10
−7
ln(
0.18
0.1
)
=7.05·
10
−7
N
Problema 10
 |
Por una espira rectangular de lados 5cm y 2 cm circula una corriente de 10 A de intensidad en el sentido indicado por la figura. Calcular:
- La fuerza (módulo, dirección y sentido) que ejerce un campo
magnético, paralelo al eje Z y de 0.2 T de intensidad, sobre cada uno de los
lados de la espira.
- El centro de masa de la espira, sabiendo que la densidad lineal
del hilo conductor es 5 g/cm, y el peso es debido únicamente a los tres lados
AC, CD, DB.
- El ángulo θ de equilibrio
|
Solución
 |
Posición del centro de masa
x
cm
=
25·2.5+25·2.5+10·5
25+25+10
=2.92 cm
|
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea
F
m
=i(
u
^
t
×B
)L
- Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre
cada uno de los lados de la espira rectangular.
Las fuerzas sobre los lados verticales AD y CD son iguales y
de sentido contrario.
La fuerza sobre el lado CD es laque equilibra la espira
FCD=10(1·0.2·sin90)·0.02=0.04 N
Para calcular el ángulo θ de equilibrio, hemos de
igualar el momento de la fuerza magnética FCD al momento del
peso mg=0.06·9.8.
FCD·d1=mg·d2, d1=0.05·cosθ, d2=xcm·sinθ,
son los brazos de dichas fuerzas
tanθ=
0.04·0.05
0.06·9.8
x
cm
θ=6.65º
