Movimiento general del sólido rígido
Problema 1
En un plano inclinado 30º un bloque de masa m2=4
kg está unido por una cuerda a un cilindro macizo de masa m1=8
kg y radio r=5 cm. Calcular la aceleración del sistema formado por los
dos cuerpos El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado
es μ=0.2.
Solución
En la figura se muestran las fuerzas sobre cada uno de los
cuerpos
Descomponemos las fuerzas en la dirección del plano
inclinado y perpendicular al mismo.
- Movimiento del cilindro
Movimiento de traslación del centro de masas
m1a=m1gsinθ-T-S
Movimiento de rotación alrededor del eje del cilindro
I
c
α=S·r
1
2
m
1
r
2
α=S·r
El cilindro rueda sin deslizar
a=α·r
Despejamos las incógnitas
a=g
(
m
1
+
m
2
)sinθ−μ
m
2
cosθ
3
2
m
1
+
m
2
T=
1
2
m
1
m
2
g
3μcosθ−sinθ
3
2
m
1
+
m
2
S=
1
2
m
1
a=
1
2
m
1
g
(
m
1
+
m
2
)sinθ−μ
m
2
cosθ
3
2
m
1
+
m
2
Con los datos del problemas
a=3.25 m/s2, T=0.192 N, S=13.01
N
- Para que el cilindro y el bloque se muevan juntos T>0
3μcosθ>sinθ
El ángulo límite θ2 es
tan θ2=3μ, θ2=31.0º
Problema 2
|
Hallar y dibujar el vector velocidad de los puntos del
disco que se indican en la figura. El disco rueda sin deslizar, tiene un radio
de 5 cm, y se mueve (su c.m.) con velocidad de 3m/s. A (arriba), C (a la
derecha) y D (abajo) están en la periferia, y B 2.5 cm por debajo del centro del disco. |
Solución
La velocidad vD=0, Vcm=ωR, 3=ω·0.05, ω=60 rad/s
VA=Vcm+ωR=3+60·0.05=6 m/s
VB=Vcm-ωr=3-60·0.025=1.5 m/s
VC=Vcmi-ωRj=3i-3j m/s
V
c
=3
2
m/s, ϕ=-45º
Problema 3
Un bloque de 6 kg y una esfera de 10 kg están unidos por un hilo inextensible y sin peso que pasa a través de una polea en forma de
disco de 2 kg de masa. La esfera rueda sin deslizar a lo largo de un plano
inclinado 30º. Hallar
- La(s) tensión(es) de la cuerda.
- La aceleración del sistema
- La velocidad de la esfera y del bloque cuando se han desplazado 1.5 m partiendo del reposo (emplear dos procedimientos para el cálculo de este apartado). Dato, el
momento de inercia de la esfera es 2/5 mr2.
Solución
Movimiento del bloque con aclaración a
6·9.8-T2=6a
Movimiento de rotación de la polea con aceleración angular α’
T
2
r−
T
1
r=(
1
2
2
r
2
)
α
'
Movimiento de la esfera:
- Traslación del c.m. con aceleración acm
- Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con
aclaración angular α.
- Relación entre ambas aceleraciones cuando la esfera rueda
sin deslizar.
T
1
−10·9.8·sin30−
F
r
=10
a
cm
F
r
R=(
2
5
10
R
2
)α
a
cm
=αR
Relación entre las aceleraciones del bloque a, la
esfera acm, y la angular α’ de la polea
a=acm= α’r
Resolvemos el sistema de ecuaciones
T
1
−49=14a
T
2
−
T
1
=a
58.8−
T
2
=6a
}a=
7
15
m/s
2
Cuando el bloque desciende 1.5 m partiendo del reposo, su velocidad calculada por cinemática es
v=at
1.5=
1
2
a
t
2
}v=
7
5
m/s
Balance energético. Al comparar la situación inicial y
final, vemos que:
- El bloque desciende 1.5 m disminuyendo su energía
potencial,
- La esfera aumenta su energía potencial, ya que se eleva,
1.5·sin30=0.75 m
- La esfera gana energía cinética de traslación y rotación,
1
2
m
v
cm
2
+
1
2
I
c
ω
2
v
cm
=ωR
- El bloque gana energía cinética,
1
2
m
v
2
- La polea gana energía cinética de rotación,
1
2
I
ω
2
No hay pérdida de energía debido al rozamiento
6·9.8·1.5=10·9.8·0.75+
1
2
6
v
2
+
1
2
(
1
2
2
r
2
)ω
'
2
+
1
2
10
v
cm
2
+
1
2
(
2
5
10
R
2
)
ω
2
ω'=
v
r
ω=
v
cm
R
v=
v
cm
v=
7
5
m/s
Problema 4
Un bloque y un cilindro de 2 y 8 kg respectivamente, están unidos por un hilo inextensible y sin peso que pasa por una polea en
forma de disco de 0.5 kg de masa y 20 cm de radio, situada en la unión de dos
planos inclinados de 30º y 60º de inclinación. Sabiendo que el coeficiente de
rozamiento entre el bloque y el plano es de
3
y que el cilindro rueda sin
deslizar. Tómese g=10 m/s2. Calcular:
- La(s) tensión(es) de la cuerda y la aceleración del
sistema
- La velocidad de los cuerpos cuando se han desplazado 2 m a lo largo de los planos, sabiendo que parten del reposo. Calcular por dos procedimientos este
apartado comprobando que se obtienen los mismos resultados
Solución
Movimiento del bloque con aclaración a
T
2
−2·10·sin60−
F
r
'
=2a
N'=2·10·cos60
F
r
'
=μN'=
3
·2·10·cos60
}
T
2
−20
3
=2a
T2-2·10·sin60-F’r=6ª
Movimiento de rotación de la polea con aceleración angular α’
T
1
r−
T
2
r=(
1
2
0.5
r
2
)
α
'
Movimiento del cilindro:
- Traslación del c.m. con aceleración acm
- Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con
aclaración angular α.
- Relación entre ambas aceleraciones cuando el cilindro rueda
sin deslizar.
8·10·sin30−
T
1
−
F
r
=8
a
cm
F
r
R=(
1
2
8
R
2
)α
a
cm
=αR
}40−
T
1
=12
a
cm
Relación entre las aceleraciones del bloque a, centro
de masa del cilindro acm, y la angular α’ de la
polea
a=acm= α’r
Resolvemos el sistema de ecuaciones
40−
T
1
=12a
T
1
−
T
2
=0.25a
T
2
−20
3
=2a
}a=0.38
m/s
2
Cuando el bloque desciende 2 m partiendo del reposo, su velocidad calculada por cinemática es
v=at
2=
1
2
a
t
2
}v=1.23 m/s
Balance energético. Al comparar la situación inicial y
final, vemos que:
- El cilindro desciende 2 m a lo largo del plano inclinado o
una altura de 2·sin30=1 m, disminuye su energía potencial.
- El bloque aumenta su energía potencial, ya que se eleva, 2·sin60
m
- El cilindro gana energía cinética de traslación y
rotación,
1
2
m
v
cm
2
+
1
2
I
c
ω
2
v
cm
=ωR
- El bloque gana energía cinética,
1
2
m
v
2
- La polea gana energía cinética de rotación,
1
2
I
ω
2
Hay pérdida de energía debido al rozamiento entre el bloque
y el plano inclinado
W=2·10·2·sin60+
1
2
2
v
2
+
1
2
(
1
2
0.5
r
2
)ω
'
2
+
1
2
8
v
cm
2
+
1
2
(
1
2
8
R
2
)
ω
2
−8·10·2·sin30
W=−
F
r
'
·2=−10
3
·2=−20
3
ω'=
v
r
ω=
v
cm
R
v=
v
cm
v=1.23 m/s
Problema 5
Un cilindro de 2 kg de masa y de 30 cm de radio tiene una ranura cuyo radio es 10 cm. En la ranura se enrolla una cuerda tal como se
indica en la figura, y el otro extremo se fija a una pared.
El cilindro rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º
respecto de la horizontal. El cilindro parte del reposo, de un punto P situado
a 3 m de la base del plano inclinado tal como se indica en la figura. Sabiendo
que después de recorrer estos 3 m la vcm es de 4
m/s, calcular:
- La aceleración
del centro de masas y la tensión de la cuerda.
Dato, momento
de inercia del cilindro Icm.= 1/2 mR2.
Solución
La aceleración del c.m. del cilindro se calcula por
cinemática
4=
a
cm
t
3=
1
2
a
cm
t
2
}
a
cm
=
8
3
m/s
2
Movimiento del cilindro:
- Traslación del c.m. con aceleración acm
- Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con
aclaración angular α.
- Relación entre ambas aceleraciones cuando el colindro rueda
sin deslizar.
2·9.8·sin30−T−
F
r
=2
a
cm
T·0.1+
F
r
·0.3=(
1
2
2·
0.3
2
)α
a
cm
=α·0.3
}T=2.7 N
Problema 6
Un disco de 2 kg. de masa y radio 30 cm rueda sin deslizar a lo largo de un plano horizontal, una cuerda arrollada a una hendidura
hecha en el disco, de radio 15 cm está unida a través de una polea en forma de
disco de masa 0.5 kg a un bloque de 10 kg, que pende del extremo de la misma
tal como se indica en la figura. Calcular:
- La aceleración del bloque, del centro de masas del disco y
la(s) tensión(es) de la cuerda.
- La velocidad del bloque una vez que haya descendido 5 m partiendo del reposo (emplear dos procedimientos de cálculo para este apartado, comprobando que
salen los mismos resultados).
Solución
Composición de movimientos: traslación del c.m. y rotación
alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Velocidad del punto P
vP=vcm+ωr
Para que el disco ruede sin deslizar vcm=ωR
v
P
=
v
cm
+ωr
v
cm
=ωR
v
P
=
v
cm
+
v
cm
0.15
0.3
=
3
2
v
cm
Del mismo modo para la aceleración
a
P
=
a
cm
+αr
a
cm
=αR
a
P
=
a
cm
+
a
cm
0.15
0.3
=
3
2
a
cm
Movimiento del bloque con aclaración a
10·9.8−
T
2
=10a
Movimiento de rotación de la polea con aceleración angular α’
T
2
r−
T
1
r=(
1
2
0.5
r
2
)
α
'
Movimiento del cilindro:
- Traslación del c.m. con aceleración acm
- Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con
aclaración angular α.
- Relación entre ambas aceleraciones cuando el cilindro rueda
sin deslizar.
T
1
−
F
r
=2
a
cm
T
1
·0.15+
F
r
0.3=(
1
2
2·
0.3
2
)α
a
cm
=α·0.3
}
T
1
=2
a
cm
Relación entre las aceleraciones del bloque a, centro
de masa del cilindro acm, y la angular α’ de la
polea
a=α'r a=
a
P
=
3
2
a
cm
Resolvemos el sistema de ecuaciones
T
1
=2
3
2
a
T
2
−
T
1
=0.25a
98−
T
2
=10a
}a=8.46
m/s
2
Cuando el bloque desciende 5 m partiendo del reposo su velocidad calculada por cinemática es
v=at
5=
1
2
a
t
2
}v=9.20 m/s
Balance energético. Al comparar la situación inicial y
final, vemos que:
- El bloque disminuye su energía potencial, ya que desciende
5m
- El disco gana energía cinética de traslación y rotación,
1
2
m
v
cm
2
+
1
2
I
c
ω
2
v
cm
=ωR
- El bloque gana energía cinética,
1
2
m
v
2
- La polea gana energía cinética de rotación,
1
2
I
ω
2
No hay pérdida de energía por rozamiento
10·9.8·5=
1
2
10
v
2
+
1
2
(
1
2
0.5
r
2
)ω
'
2
+
1
2
2
v
cm
2
+
1
2
(
1
2
2·
0.3
2
)
ω
2
ω'=
v
r
ω=
v
cm
0.3
v=
3
2
v
cm
v=9.20 m/s
Problema 7
En la figura, se muestra un cilindro de 4.5 kg de masa que rueda sin deslizar, a lo largo de un plano inclinado 42º con la horizontal. El
centro del cilindro está unido mediante una cuerda al borde de una polea en
forma de disco de 2.2 kg de masa y 85 mm de radio. Sabiendo que en el eje de la
polea existe un rozamiento cuyo momento es de 1.3 N·m. Calcular:
- La aceleración del cilindro y la tensión de la cuerda.
- La velocidad del bloque una vez que haya descendido 3 m a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo (emplear los dos procedimientos de cálculo
para este apartado, comprobando que salen los mismos resultados).
Solución
Movimiento de la polea
T·0.085−1.3=(
1
2
2.2·
0.085
2
)α'
Movimiento del cilindro:
- Traslación del c.m. con aceleración acm
- Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con
aclaración angular α.
- Relación entre ambas aceleraciones cuando el cilindro rueda
sin deslizar.
4.5·9.8·sin42−T−
F
r
=4.5
a
cm
F
r
·R=(
1
2
4.5·
R
2
)α
a
cm
=α·R
}4.5·9.8·sin42−T=6.75
a
cm
Relación entre las aceleraciones, centro de masa del
cilindro acm, y la angular α’ de la polea.
acm=α’·0.085
Las ecuaciones del movimiento se reducen al sistema
4.5·9.8·sin42−T=6.75
a
cm
T·0.085−1.3=0.0935
a
cm
}
a
cm
=1.81
m/s
2
Cuando el cilindro desciende 3 m partiendo del reposo su velocidad calculada por cinemática es
v
cm
=
a
cm
t
5=
1
2
a
cm
t
2
}
v
cm
=3.30 m/s
Balance energético. Al comparar la situación inicial y
final, vemos que:
- El cilindro disminuye su energía potencial, ya que
desciende una altura, 3·sin42 m
- El cilindro gana energía cinética de traslación y
rotación,
1
2
m
v
cm
2
+
1
2
I
c
ω
2
v
cm
=ωR
- La polea gana energía cinética de rotación,
1
2
I
ω
2
Hay pérdida de energía por rozamiento. El trabajo de la
fuerza de rozamiento en el eje de la polea es
W=−Mθ=−1.3·
3
0.085
=−45.88 J
W=
1
2
(
1
2
2.2·
0.085
2
)ω
'
2
+
1
2
4.5
v
cm
2
+
1
2
(
1
2
4.5·
R
2
)
ω
2
−4.5·9.8·3·sin42
ω'=
v
cm
0.085
ω=
v
cm
R
v
cm
=3.30 m/s
Problema 8
En la figura de la izquierda, un disco de radio R rueda
sin deslizar a lo largo de un plano horizontal. Sabiendo que la aceleración del
centro de masas es acm y la aceleración angular de
rotación alrededor del c.m. es α .
- Determinar la velocidad y aceleración
del punto P (punto más alto del disco).
Utilizando el resultado anterior, en el sistema de la figura
de la derecha, calcular la del bloque. El disco tiene un radio de 30 cm y rueda sin deslizar a lo largo del plano horizontal. La polea tiene una masa despreciable.
- Calcúlese la velocidad del bloque una vez que haya descendido 2 m partiendo del reposo.
Solución
Composición de movimientos: traslación del c.m. y rotación
alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Velocidad del punto P
vP=vcm+ωR
Para que el disco ruede sin deslizar vcm=ωR
vP=2·vcm
Del mismo modo para la aceleración
aP=2·acm
Movimiento del bloque con aclaración a
1.5·9.8−T=1.5a
Movimiento del disco:
- Traslación del c.m. con aceleración acm
- Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con
aclaración angular α.
- Relación entre ambas aceleraciones cuando el disco rueda
sin deslizar.
T−
F
r
=8
a
cm
T·R+
F
r
R=(
1
2
8·
R
2
)α
a
cm
=α·R
}T=6
a
cm
F
r
=−2
a
cm
La fuerza de rozamiento Fr, en este caso, tiene
el mismo sentido que la aceleración
Relación entre las aceleraciones del bloque a, centro
de masa del cilindro acm,
a=aP=2acm
Resolvemos el sistema de ecuaciones
T=3a
14.7−T=1.5a
}a=3.27
m/s
2
Cuando el bloque desciende 2 m partiendo del reposo su velocidad calculada por cinemática es
v=at
2=
1
2
a
t
2
}v=3.61 m/s
Balance energético. Al comparar la situación inicial y
final, vemos que:
- El bloque disminuye su energía potencial, ya que desciende
5m
- El disco gana energía cinética de traslación y rotación,
1
2
m
v
cm
2
+
1
2
I
c
ω
2
v
cm
=ωR
- El bloque gana energía cinética,
1
2
m
v
2
No hay pérdida de energía por rozamiento
1.5·9.8·2=
1
2
1.5
v
2
+
1
2
8
v
cm
2
+
1
2
(
1
2
8·
R
2
)
ω
2
ω=
v
cm
R
v=2
v
cm
v=3.61 m/s
Problema 9
|
Dos discos iguales de masa m y radio R,
están dispuestos como se indica en la figura. Calcular
- La aceleración del c.m. del disco inferior
- La velocidad del c.m. del disco inferior cuando ha
descendido x metros partiendo del reposo (efectuando el balance
energético)
|
Solución
Movimiento del disco superior fijo. Ecuación de la dinámica
de rotación
T·R=(
1
2
m
R
2
)α
Movimiento del disco inferior:
- Traslación del c.m. con aceleración a’+αR
- Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con
aclaración angular α’.
mg−T=m(αR+a')
T·R=(
1
2
m·
R
2
)α'
a'=α'·R
}a'=αR=
2
5
g
La aceleración del disco móvil es, a’+αR=4g/5 m/s2
Cuando el disco móvil desciende x m partiendo del
reposo su velocidad calculada por cinemática es
v=
4
5
gt
x=
1
2
4
5
g
t
2
}v=
8gx
5
m/s
Balance energético. Al comparar la situación inicial y
final, vemos que:
- El disco inferior disminuye su energía potencial, ya que
desciende x m
- El disco móvil gana energía cinética de traslación y
rotación,
1
2
m
v
2
+
1
2
(
1
2
m
R
2
)
ω
2
La velocidad del c.m. del disco móvil es v=2ωR
No hay pérdida de energía por rozamiento
mgx=
1
2
(
1
2
m
R
2
)
ω
2
+
1
2
m
v
2
+
1
2
(
1
2
m
R
2
)
ω
2
v=2ωR v=
8gx
5
m/s