Cinemática |
Movimiento circular Movimiento circular Encuentro de dos vehículos Relación entre las magnitudes lineales y angulares
La aceleración normal Deducción alternativa de at y an. |
 La casete
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Una casete es una caja de plástico que dispone de dos pequeñas ruedas en las que se enrolla y desenrolla respectivamente una cinta magnética. Dispone de un cabezal que graba o reproduce el sonido en la cinta, tal como se muestra en la figura. La caseteEl radio inicial de las ruedas sin cinta es r0=1.11 cm, y la velocidad de la cinta cuando pasa por el cabezal es constante e igual a v=4.76 cm/s. La cinta tarda un tiempo T en reproducirse completamente. Este tiempo depende de la longitud total de la cinta l=v·T. El espesor de la cinta h es muy pequeño, y su valor lo determinaremos más adelante. En el instante inicial t=0.
La cinta se desenrolla de la rueda derecha y se enrolla en la izquierda. En un instante determinado t, la relación entre la velocidad lineal constante v de la cinta y las velocidades angulares de rotación de las ruedas serán
Aunque la velocidad v de la cinta es constante, las velocidades angulares ω1 y ω2 de las ruedas no lo son ya que sus radios r1 y r2 cambian con el tiempo En cada vuelta 2π, la rueda izquierda incrementa su radio en h, el espesor de la cinta. Cuando la rueda izquierda gira un ángulo dθ1, su radio se habrá incrementado en dr1.
La rueda derecha habrá girado un ángulo dθ2, su radio habrá disminuido en dr2
Integramos estas dos ecuaciones entre el instante t=0, y en el instante t, teniendo en cuenta que en el instante t=0,
En el instante t=T la cinta se ha reproducido completamente.
Si medimos los radios r0 y R0, el tiempo T, y la velocidad v podemos despejar el espesor h de la cinta de la primera o de la segunda ecuación. Si la duración de la cinta es de T=46.4 minutos.
Los ángulos girados por las dos ruedas se calculan integrando ω1, y ω2, respecto del tiempo t.
En el instante t=T, r1=R0 y r2=r0, el ángulo total girado por ambas ruedas es el mismo,
ActividadesIntroducimos
Se pulsa el botón titulado Empieza El programa interactivo utiliza el dato del espesor de la cinta h=1.14·10-3 cm, la velocidad lineal constante v=4.76 cm/s de la cinta y el radio r0=1.11 cm inicial de la rueda para calcular el radio R0 la rueda derecha con la cinta completamente enrollada. Estos datos se han tomado del artículo citado en las referencias Observaremos el movimiento de las ruedas, la relación entre la velocidad angular de rotación y su radio, a medida que transcurre el tiempo. En la parte superior del applet, se muestran en cada instante, los valores de r1, ω1, r2 y ω2. Comprobar que r1·ω1=r2·ω2=v=4.76 m/s |
El contador del reproductor de la caseteUna experiencia que se puede llevar a cabo con la ayuda de un cronómetro es la de establecer una relación entre la lectura n del contador del reproductor de la casete y el tiempo t transcurrido. Vamos a comprobar que esta relación no es lineal Supongamos que en el instante t=0, el radio de la rueda izquierda es r0, el contador se pone a cero. En el instante final T, el radio de la rueda izquierda es R0, y la lectura del contador es N. La lectura n del contador en el instante t es directamente proporcional al ángulo girado por la rueda izquierda θ1 hasta dicho instante.
Eliminando la constante de proporcionalidad k entre las dos ecuaciones
Despejando el tiempo t
Supongamos que en el instante inicial t=0, el radiode la rueda izquierda es r0=1.11 cm, el radio de la rueda derecha es R0=2.46 cm, y la lectura del contador es n=0. Cuando la cinta está completamente enrollada en la rueda izquierda ha trascurrido un tiempo de T=46.4 minutos, la lectura del contador es N=744.
t=0.0019·n2+2.33·n
En la figura, se representa t en función de n. Se sugiere al lector que analice el comportamiento de su reproductor de casete y complete una tabla como la siguiente, y represente los datos en una gráfica semejante a la figura anterior.
El siguiente programa interactivo ajusta un conjunto de pares de datos al polinomio de segundo grado y=a0+a1x+a2x2 |
El disco compacto CD
La pista más cercna al eje tiene un radio R0=23 mm y la más alejada Rf=58 mm, h=1.6μm es la separación entre pistas. El número de pistas (vueltas) es, por tanto.
El tiempo total que se emplea en leer a velocidad (lineal) constante la totalidad de las pistas del disco es T=72 min. En la figura, por razón de claridad se representa un CD con solo N=10 pistas, separadas h=3.5 mm.
Longitud de una espiral de ArquímedesVamos a obtener la longitud s de una espiral de Arquímedes por tres métodos distintos, uno exacto y dos aproximados. El primer método nos permite practicar el cálculo integral en particular, las funciones senh, seno hiperbólico y cosh, coseno hiperbólico.
En coordenadas polares x=r·cosθ dx=cosθ·dr-rsenθ·dθ
En el caso de la espiral de Arquímedes
Para calcular la longitud de la espiral se integra entre θ=0, y θ=2πN, donde N es el número de pistas.
Para resolver la integral del tipo
se hace el cambio de variable u=a·senht, du=acosht
Deshaciendo el cambio de variable
La función integrando es
El resultado final de la longitud de la espiral de Arquímedes es
Introduciendo los datos en el resultado final
Obtenemos una solución aproximada de la integral, si nos damos cuenta que el primer término debajo de la raíz cuadrada h2/(4π2) es muy pequeño en comparación con el segundo.
La longitud de la espiral de Arquímedes se puede obtener aún más rápidamente, calculando el radio medio Rm=(R0+Rf)/2=40.5 mm de las pistas y multiplicando la longitud de la pista media por el número N de pistas considerando que tienen el mismo radio Rm s=N·2πRm=5566.5 m Velocidad angular de rotaciónLa velocidad de lectura es constante, v=s/T
Sin embargo, la velocidad angular de rotación cambia, la velocidad angular inicial es ω0=v/R0=56.0 rad/s y la velocidad angular final es ωf=v/Rf=22.2 rad/s La velocidad angular de rotación en función del ángulo θ es
Integrando
En el instante t=72·60=4320 s que se completa la lectura del CD
Derivando con respecto del tiempo obtenemos la expresión de la velocidad angular ω en función del tiempo t.
Donde ω0=v/R0 es la velocidad angular inicial, para t=0 En la figura, se muestra la variación de la velocidad angular ω con el tiempo t.
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McKelvey J.P. Kinematics of tape recording. Am. J. Phys. 49 (1) January 1981.
Sawicki M. Angular speed of a compact disc. The Physics Teacher Vol 44, September 2006, pp. 378-380
Cinta de casete
