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Estática de fluidos Principio de Arquímedes Medida de la densidad de un líquido y un sólido Flotación entre dos líquidos no miscibles Equilibrio de una varilla parcialmente sumergida Movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido. Movimiento de una burbuja en un fluido viscoso Flotación de un barco Oscilaciones de una boya Oscilaciones de una esfera
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Estática del diablillo | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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En esta página, se describe el comportamiento complejo, del denominado ludión o diablillo de Descartes en base a leyes simples
Esta página es una continuación de la página titulada la flotación de un barco, que estudia las fuerzas sobre un recipiente que contiene una burbuja de aire en su interior, y de la página titulada las oscilaciones de una boya, que estudia el MAS de una boya que flota en el mar y sobre la cual salta un marinero en el instante inicial. El diablillo o ludión es un tubo de ensayo de longitud L, de diámetro interior d1 y de diámetro exterior d2 que se llena parcialmente de agua hasta una altura L-l0. Luego, se invierte en un recipiente grande que contiene agua, que está cerrado y conectado por una parte, a un manómetro para medir la presión del aire encerrado en su interior y por otra, a una jeringa que nos permite variar la presión P del aire del recipiente.
Estática del diablilloEn este apartado, estudiaremos el equilibrio del tubo de ensayo (diablillo) con la burbuja de aire dentro Control de la presiónPara variar la presión del aire contenido en el recipiente se emplea una jeringa. Si el volumen total de aire del recipiente y de la jeringa es V0. Al disminuir en x el volumen de la jeringa la presión aumenta de P0 a P. Si suponemos una transformación isotérmica, tendremos que: P(V0-x)=P0·V0 Si x<<V0 podemos hacer la siguiente aproximación El incremento de presión ΔP=P-P0 es proporcional a la variación del volumen x de la jeringa o bien, al desplazamiento de su émbolo. Peso del tubo de ensayo
Sobre el tubo actúan dos fuerzas: el peso y el empuje
El peso del tubo es igual a la densidad del vidrio multiplicado por el volumen del tubo, un recipiente en forma de capa cilíndrica de diámetro interior d1 y exterior d2.
despreciamos el volumen de la base del tubo. El área interior A del tubo de vidrio es
El peso del tubo de vidrio es el producto de la densidad del vidrio ρv, por el volumen V de la capa cilíndrica de vidrio y por la aceleración de la gravedad g, ρv·V·g El empuje no admite una expresión única y es distinta
Analizaremos cada uno de los casos por separado Cuando el tubo está parcialmente sumergido x>0
En el primer caso, el empuje se compone de la suma de dos términos:
ρ·g·V(1-x/L)
ρ·g·A·z La resultante es la diferencia entre el empuje y el peso
Siendo ρ=1000 kg/m3 la densidad del agua, g=9.8 m/s2 la aceleración de la gravedad, y ρv la densidad del vidrio, aproximadamente 2300 kg/m3.
La ecuación fundamental de la estática de fluidos nos permite calcular la presión del aire en la burbuja, que es la presión existente a una profundidad z por debajo de la superficie del agua contenida en el recipiente P+ρgz Siendo P la presión del aire en el recipiente. Si suponemos que en todo momento la temperatura permanece constante, aplicamos la ecuación de los gases ideales a la burbuja de aire:
Se cumplirá que P0·l0=(P+ρgz)·(x+z) (2) Situación de equilibrioEl tubo permanece en equilibrio cuando el peso se igual al empuje o bien, cuando F=0. Conocida la presión P podemos determinar x y z resolviendo un sistema de dos ecuaciones (1) y (2) con dos incógnitas. De la segunda ecuación despejamos x
y la sustituimos en la primera, para despejar z, quedando una ecuación de segundo grado, az2+bz+c=0, con
Se calcula la raíz positiva de la ecuación de segundo grado
Una vez que se ha calculado z, se determina mediante la ecuación (3), la posición de equilibrio x de la parte superior del tubo de ensayo. Presión crítica.
La presión crítica P se determina poniendo x=0, en la ecuación (1) con F=0 (situación de equilibrio) y despejando P en la ecuación (2).
El tamaño z de la burbuja es independiente de su tamaño l0 inicial, solamente depende de la geometría del tubo de ensayo, de la densidad del vidrio ρv y del agua ρ ActividadesSe introduce
Se pulsa en el botón titulado Inicio
Observaremos el tubo en la posición de equilibrio estable F=0, si es que existe. En caso contrario, un mensaje nos lo indica. Al lado del tubo, se muestran dos vectores que representan el peso y al empuje, y en la parte superior del recipiente, se muestra el valor de la fuerza F. Datos de los tubos utilizados, tomados del artículo citado en las referencias
La presión atmosférica es P0=101300 Pa. La densidad del mercurio (Hg) es 13.55 g/cm3 Ejemplo de presión crítica Si elegimos Tubo 2. Con los datos de la tabla anterior calculamos el área de la sección trasversal y el volumen de vidrio del tubo de ensayo A=1.61 cm2, V=8.10 cm3. Calculamos la presión crítica para los estados iniciales siguientes:
Para comenzar una nueva “experiencia” se pulsa en el botón titulado Inicio. Cuando el tubo está completamente sumergido x≤0
El empuje se compone de la suma de dos términos:
La resultante de las fuerzas que actúan sobre el tubo es la diferencia entre el empuje y el peso F=ρgAz+ρgV- ρvgV
La presión del aire contenido en la burbuja es, para x<0 P+ρg(z+|x|)=P+ρg(z-x) Suponiendo que el aire experimenta una transformación isotérmica entre el estado inicial y el final, tendremos P0·l0= (P+ρg(z-x))z
Dinámica del diablilloDe nuevo, escribimos la fuerza que actúa sobre el tubo de ensayo
Relacionamos z y x mediante la ley de Boyle
Tenemos que despejar z de las ecuaciones de segundo grado ρgz2+(P+ρgx)z+Px-P0l0=0 x>0
La fuerza F es ahora, una función de la posición x de la base del tubo de ensayo invertido
La fuerza F depende de la posición x, se trata de una fuerza conservativa cuya energía potencial se calcula del siguiente modo
Donde xe es la posición de equilibrio al cual le vamos a asignar una energía potencial cero. Establecemos por tanto, en esta posición el nivel cero de energía potencial Ep(xe)=0. Para x>0 tenemos que hacer la integral
donde C1 es una constante de integración que se determina a partir de la condición de que E1(xe)=0, f(x) es una función que se define más abajo.
La fuerza es
Para calcular la energía potencial, tenemos que hacer la integral
La fuerza F es una función discontinua en x=0, pero la energía potencial Ep(x) es una función continua de modo que, en x=0 se tiene que cumplir que E1(0)=E2(0), esta condición determina el valor de la constante C2 de integración. La función f(x) es una integral que no es inmediata
Esta integral se puede escribir de la forma
Se descompone en la suma de dos integrales
El primer término se integra por partes, y el segundo es una integral inmediata. El resultado final es
Una de las posibles representaciones gráficas de Ep(x) se muestra en la figura.
Si en la posición de equilibrio, xe le damos al tubo una velocidad inicial v0, la energía total del móvil es la energía cinética ya que la energía potencial es nula.
La energía E total es constante en todos los puntos de la trayectoria. Si E es menor que el máximo local de la energía potencial, el tubo que sale de la posición de equilibrio xe oscila entre dos posiciones, x1 y x2 determinadas por las raíces de la ecuación trascendente Ep(x)-E=0, abscisas de los puntos de intersección de la curva de la energía potencial y la recta horizontal Ep(x)=E, tal como se indica en al figura. Cuando la función energía potencial Ep(x) no tiene mínimo local o posición de equilibrio estable, el tubo sale de la posición x=0 con velocidad v0, y como podemos comprobar se hunde en el recipiente hasta que llega al fondo. Se simula el movimiento del diablillo de Descartes resolviendo numéricamente, mediante el procedimiento de Runge-Kutta, la ecuación diferencial del movimiento, con las condiciones iniciales especificadas.
ActividadesSe introduce
Se pulsa en el botón titulado Inicio
Se pulsa en el botón titulado Empieza Observamos el movimiento del tubo, oscilatorio, si la energía total E del tubo es menor que la del máximo local de la energía potencial. Se representa a la izquierda del applet la curva Ep(x), la energía total E, y los puntos x1 y x2 de retorno. En el caso de que E sea mayor que el máximo local, el tubo se hunde en el recipiente y llega hasta el fondo. Lo mismo ocurre si la curva de energía potencial no tiene mínimo ni máximo local, es decir, la presión del aire contenido en el recipiente es superior a la crítica. Si no hay posición de equilibrio estable, podemos modificar la presión actuando en la barra de desplazamiento o bien, podemos modificar el tamaño inicial l0 de la burbuja de aire. Para comenzar una nueva “experiencia” se pulsa en el botón titulado Inicio. |
Güemez J, Fiolhais C, Fiolhais M. The Cartesian diver and the fold catastrophe. Am. J. Phys. 70 (7) July 2002, pp. 710-714.
El diablillo de Descartes
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