Oscilaciones

Osciladores acoplados

Dos acoplados

Tres acoplados

Cadena monoatómica

Modos normales
de vibración

Cadena diatómica

Varilla que pende 
 de dos muelles

Péndulo de Wilberforce

El péndulo doble

Péndulo-muelle

De las oscilaciones
a las ondas

Péndulos no acoplados
de distinta longitud

Modos normales de vibración

Actividades

Referencias

En la página titulada “Dos osciladores acoplados” estudiamos las oscilaciones de dos partículas idénticas unidas a dos muelles de constante k y acopladas por un muelle de constante k_c.

En esta página, vamos a estudiar un sistema formado por tres partículas de la misma masa m unidas por muelles elásticos iguales de constante k, tal como se muestra en la figura.

Ecuaciones del movimiento de las partículas

Supongamos que la primera partícula se desplaza x₁ de la posición de equilibrio, que la segunda se desplaza x₂ y la tercera, se desplaza x_3.

En las figuras, se muestra las fuerzas sobre cada una de las partículas 

	Ecuación del movimiento de la primera partícula
	Ecuación del movimiento de la segunda partícula
	Ecuación del movimiento de la tercera partícula

Buscamos una solución de la forma

x_i=A_icos(ωt), i=1, 2, 3

que representa un MAS de amplitud A_i y frecuencia angular ω. Al ser la fase inicial π/2, la partícula parte del reposo en el instante t=0, de la posición x_0i

Teniendo en cuenta que la derivada segunda de x_i respecto del tiempo t es

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo

El determinante

Las tres raíces de la ecuación cúbica en ω² son

Para cada una de las frecuencias calculamos los coeficientes A₁, A₂ y A₃, que son las amplitudes de los modos normales de vibración.

• Para la primera frecuencia ω₁.

La tercera ecuación

nos permite verificar que los valores hallados de A₂ y A₃ son correctos

Una vez que conocemos el procedimiento para calcular las amplitudes A_i del primer modo normal de vibración calculamos los coeficientes para el segundo modo ω₂, que denominaremos B_i, y para el tercer modo ω₃, que denominaremos C_i. Los resultados son:

• Segundo modo de vibración ω₂

B₂=0, B₃=-B₁

• Tercer modo de vibración ω₃

El movimiento de cada partícula es una superposición de los tres modos de vibración

x₁=A₁cos(ω₁·t)+B₁cos(ω₂·t)+C₁·cos(ω₃·t)
x₂=A₂cos(ω₁·t)+B₂cos(ω₂·t)+C₂·cos(ω₃·t)
x₃=A₃cos(ω₁·t)+B₃cos(ω₂·t)+C₃·cos(ω₃·t)

o bien,

Los valores de A₁, B₁ y C₁ se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las partículas parten del reposo desde las posiciones x₀₁, x₀₂, y x₀₃ respectivamente

Resolviendo el sistema de ecuaciones

Modos normales de vibración

• El primer modo normal de vibración ω₁ se establece cuando A₁≠0, B₁=0 y C₁=0

Las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas en este modo de vibración son

• El segundo modo normal de vibración ω₂ se establece cuando A₁=0, B₁≠0 y C₁=0

Las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas en este modo de vibración son

• El tercer modo normal de vibración ω₃ se establece cuando A₁=0, B₁=0 y C₁≠0

Las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas en este modo de vibración son

Actividades

• La masa de las partículas se ha fijado en m=1 kg

• La constante de los muelles se ha fijado en k=1 N/m

Se introduce

• La posición inicial x₀₁ de la primera partícula, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición X01.

• La posición inicial x₀₂ de la segunda partícula, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición X02.

• La posición inicial x₀₃ de la tercera partícula, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición X03.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Si activamos la casilla titulada Gráfica y luego, pulsamos el botón titulado Empieza, se representa las posiciones x₁, x₂, y x₃ de cada una de las partículas en función del tiempo t.