Oscilaciones |
Osciladores acoplados
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Ecuaciones del movimiento | ||||
Ecuaciones del movimientoSea kx la constante elástica del muelle en las oscilaciones longitudinales y kq a constante en las oscilaciones torsionales. Sea x el desplazamiento vertical del muelle de la posición de equilibrio, y q el ángulo de rotación alrededor del eje vertical. El acoplamiento entre los dos modos de oscilación está descrito por una función lineal de la forma εxq /2, donde ε se denomina constante de acoplamiento. La energía del sistema es la suma de la energía cinética de traslación del bloque, de rotación alrededor del eje vertical, la energía potencial del muelle cuando se deforma una longitud x, y cuando gira un ángulo θ, y la energía de acoplamiento
Las ecuaciones del movimiento de
Lagrange nos llevan al sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo
orden. La lagrangiana L=Ek-Ep, con los
símbolos
Las ecuaciones del movimiento son:
En ausencia del término de acoplamiento ε=0 las ecuaciones diferenciales describen dos Movimientos Armónicos Simples de frecuencias angulares
Eliminamos x en el sistema de dos ecuaciones diferenciales
Suponiendo una solución de la forma θ=A·sen(ωt)+ B·cos(ωt) e insertándola en la ecuación diferencial de cuarto orden en θ, obtenemos la ecuación bicuadrada
Las dos raíces reales de esta ecuación son las frecuencias ω1 y ω2 de los modos normales de vibración
La forma general del ángulo θ de rotación en función del tiempo t es una combinación de los dos modos normales de vibración θ(t)=Asen(ω1t)+ Bcos(ω1t)+ Csen(ω2t)+ Dcos(ω2t) La velocidad angular de rotación es
Para calcular la posición x(t), se introduce θ(t) y su derivada segunda en la ecuación diferencial de segundo orden que describe la rotación del cilindro.
La velocidad del c.m. del cilindro es
Las condiciones iniciales determinan los valores de los coeficientes A, B, C, D. Desplazamos el cilindro x0 y lo giramos un ángulo θ0 y a continuación lo soltamos. La velocidad inicial es dx/dt=0, dθ/dt=0 en el instante t=0. Tenemos que resolver el sistema de cuatro ecuaciones
Despejamos las incógnitas A, B, C, y D A=C=0
Las expresiones de la posición x y θ y velocidad dx/dt y dθ/dt en función del tiempo son
Modos normales de vibración
Cuando las frecuencias son igualesSi modificamos el momento de inercia I, cambiando la distancia d de las esferas al eje de rotación podemos conseguir que la frecuencia angular de las oscilaciones longitudinales wx y la frecuencia angular de las oscilaciones torsionales wq sean iguales w =wx=wq Las frecuencias ω1 y ω2 de los modos normales de vibración tienen una expresión mucho más simple
Es importante analizar el caso de que x0=0. Se gira el cilindro un ángulo inicial θ0 y luego, se suelta. Los coeficientes B=D=θ0/2. Las ecuaciones del movimiento son
Ejemplo:
Frecuencia angular del movimiento de traslación es
La frecuencia angular wq de las oscilaciones torsionales se puede cambiar modificando el momento de inercia I es decir, la distancia d de las pequeñas esferas, al eje de rotación.
Para d=3.5 cm=0.035 m, el momento de inercia I=1.3633·10-4 kg m2, la frecuencia angular de las oscilaciones torsionales es wq=6.489 rad/s Las frecuencias de los modos de los modos normales de oscilación 1 y 2 valen ω1=6.569
rad/s Si la posición inicial del cilindro x0=-0.04, el ángulo que hemos de girar para observar el primer modo normal de oscilación es θ0=-4.20 rad=-240.7º para observar el segundo modo normal de oscilación es θ0=1.20 rad=68.8º Con el puntero del ratón podemos modificar la distancia d o el momento de inercia I hasta lograr que ambas frecuencias sean iguales. Los valores de dichas frecuencias aparecen en el applet: en la parte inferior la frecuencia wx, y en la parte superior wq. El valor de d que hace que ambas frecuencias sean iguales es
El momento de inercia vale I=1.45·10-4 kg m2 La frecuencias angulares wx=wq=6.284 rad/s Las frecuencias de los modos normales de oscilación 1 y 2 valen ω1=6.433
rad/s Si la posición inicial del cilindro x0=-0.04, el ángulo que hemos de girar para observar el primer modo normal de oscilación es θ0=-2.18 rad=-124.6º para observar el segundo modo normal de oscilación es θ0=2.18 rad=124.6º Es importante examinar el caso de que x0=0 y θ0≠0, por ejemplo, θ0=0.70 rad=40º θ(t)=20(cos(ω1t)+ cos(ω2t))
grados
Balance energéticoSe puede observar los cambios energéticos en el diagrama en forma de tarta a la derecha del applet. En distintos colores se representan las energías potenciales elásticas y las energías cinéticas correspondientes a ambos modos de oscilación. Energías correspondientes a las oscilaciones longitudinales
Energías correspondientes a las oscilaciones torsionales
Energía de acoplamiento En la parte superior derecha del applet, se proporciona el valor numérico de la energía total que se mantiene constante durante el movimiento del péndulo.
ActividadesSe pulsa el botón titulado Inicio Se arrastra con el puntero del ratón el círculo de color rojo situado a la izquierda del cilindro que cuelga del muelle, hacia el centro para disminuir el momento de inercia, hacia fuera para aumentarlo. Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento del péndulo, o la representación gráfica de:
Para comenzar una nueva "experiencia", se pulsa el botón titulado Inicio |
Arrastrar con el puntero del ratón el pequeño círculo de color rojo.
Berg R. H, Marshall T. Wilberforce pendulum oscillations and normal modes. Am. J. Phys. 59 (1) January 1991, pp. 32-38.
Péndulo de Wilberforce
se escribe
