Sólido rígido

Relación entre la velocidad del c.m. y la velocidad angular de rotación

Energía cinética de rotación y de traslación

Actividades

Referencias

Hasta ahora hemos estudiado el movimiento de rodar de un disco, una esfera o un aro. Vamos a considerar el caso paradójico de una rueda cuadrada que rueda sin deslizar a lo largo de un camino formado por serie de catenarias invertidas contiguas.

Ecuación de la catenaria

Supongamos una rueda cuadrada de lado 2a, cuyo centro de masa se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal y permanece justo encima del punto de contacto entre uno de los lados de la rueda y el camino.

El triángulo isósceles ABE representa un octante del cuadrado. Como vemos en la figura AE=a, y AB=. Inicialmente la esquina B del rectángulo está situada en el origen, al moverse rodando sin deslizar la longitud BC será igual a la longitud del arco OC. Por otra parte, el punto C será tal que la longitud AC+CD=AB se mantendrá constante durante todo el movimiento, es decir, el centro del rectángulo describe una trayectoria que es una recta horizontal.

Si la ordenada del punto C es y y el ángulo que forma el lado BE con la horizontal es α, la relación  AC+CD=AB se escribe

Recordando la interpretación geométrica de la derivada, la tangente del ángulo α es

Aplicamos la conocida relación 1+tan²α=sec²α, obtenemos

Hacemos la sustitución

La ecuación diferencial está lista para ser integrada

La condición inicial es que la curva ha de pasar por el origen x=0, y=0 con lo que se determina la constante de integración k.

o bien,

Deshaciendo el cambio, se llega a la ecuación de una catenaria

A medida que el cuadrado rueda sin deslizar gira 90º y retorna a la configuración inicial, excepto una traslación d. Esta traslación se determina haciendo y=0 en la ecuación de la catenaria, y se obtiene d=2ka.

El vértice de la catenaria se encuentra en el punto simétrico x=ka y vale

Relación entre la velocidad del c.m. y la velocidad angular de rotación

Como la distancia entre el punto de contacto C y el centro de la rueda A no es constante la conocida relación v=ω·r deja de ser válida. Para obtener la nueva relación entre v y ω procedemos del siguiente modo:

Si tomamos como sentido positivo de ω el de las agujas del reloj, nos fijaremos que α disminuye a medida que la rueda se mueve:

• En el comienzo de la catenaria x=0 donde α=+π/4

• En el medio x=ka (en el vértice) donde α=0

• En el extremo de la catenaria x=2ka donde α=-π/4

Empleamos la regla de la cadena

Teniendo en cuenta que la pendiente de la recta tangente a la catenaria en el punto x es

Derivamos y respecto de x en la ecuación de la catenaria

Derivamos tanα con respecto de x

Teniendo en cuenta que

Nos queda

Finalmente

Energía cinética de rotación y de traslación

La rueda tiene dos clases de energía cinética

• la de traslación del c.m.
• de la rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

En primer lugar, calculamos el momento de inercia de una rueda cuadrada de masa M y de lado 2a respecto de un eje perpendicular al plano de la rueda y que pasa por su centro.

El momento de inercia de una varilla de masa dm y longitud 2a respecto de un eje perpendicular a la varilla delgada que pasa por su centro vale (línea de color rojo en la figura)

Aplicando el teorema de Steiner calculamos el momento de inercia de dicha varilla respecto de un eje paralelo que pasa por el centro del cuadrado, siendo x la distancia entre ejes.

La masa dm de la varilla de longitud 2a y anchura dx es

Integrando respecto de x entre –a y +a obtenemos el momento de inercia del cuadrado respecto de un eje perpendicular al mismo y que pasa por su centro.

La energía cinética de la rueda cuadrada es

Si no hay pérdidas de energía debido al rozamiento, a medida que rueda sin deslizar el cuadrado, la energía cinética E_k se mantendrá constante. Sin embargo, la velocidad del c.m. v no es constante.

Para una esfera el cociente entre la energía cinética de rotación y de traslación del c.m. es constante, ya que la relación entre la velocidad v de traslación y la velocidad angular ω de rotación es constante,  v= ω·R

Para una rueda cuadrada este cociente no es constante

Como α varía entre –π/4 y +π/4. El cociente varía entre 1/3 para α =π/4 ó α =-π/4 y 2/3 para α=0.

• En el punto medio o vértice α=0 de la catenaria la energía de rotación es máxima y la de traslación es mínima

• En los extremos  α =π/4 ó α =-π/4 la energía de rotación es mínima y la de traslación es máxima.

Si tomamos la energía cinética total E_k como la unidad,

• En un extremo, la energía cinética de rotación es 1/4 de energía cinética total, y la de traslación las 3/4 partes

• En el vértice de la catenaria, la energía cinética de traslación es las 3/5 partes de la energía total.

La energía cinética de traslación varía entre un mínimo de 3/5 y un máximo de 3/4 de la energía cinética total.

Ecuación del movimiento

Conocida la energía cinética total E_k, despejamos la velocidad v del centro del cuadrado

De la relación entre la velocidad v del centro del cuadrado y la velocidad angular ω=-dα/dt de rotación ωa=v·cosα, obtenemos la ecuación diferencial

que se resuelve por procedimientos numéricos con la condición inicial t=0, parte del origen x=0, α=π/4.

Una vez calculada el ángulo α de la tangente al la cicloide (véase la segunda figura de esta página) en función del tiempo t se calcula la ordenada y mediante la relación deducida al principio de esta página

Que junto con la ecuación de la catenaria

dan lugar a la ecuación la ecuación trascendente.

que se resuelve por procedimientos numéricos para calcular el valor de la abscisa x, ya que el lenguaje Java no dispone de las función cosh ni de su inversa cosh^-1.

Actividades

• La longitud de la mitad del lado del cuadrado se ha fijado en a=1
• La energía cinética total E_k constante de la rueda cuadrada se ha fijado de modo que

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de rodar sin deslizar de un cuadrado sobre un camino formado por tres catenarias invertidas. Se señala el punto de contacto entre un lado del cuadrado y la catenaria a medida que se desplaza la rueda.

Observar que el punto de contacto está siempre debajo del centro del cuadrado y que el centro del cuadrado está siempre a la misma altura.

Podemos observar como cambia la velocidad v del c.m. y la velocidad de rotación ω a medida que se desplaza rueda. Un diagrama en forma de tarta nos muestra cómo cambia la energía cinética de rotación y de traslación manteniéndose la suma constante.