Una esfera que rueda sobre una plataforma giratoria

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Sólido rígido

Movimiento general
de un sólido rígido
marca.gif (847 bytes)Movimiento de una 
 esfera en una 
 plataforma giratoria
Caja sobre un
plano inclinado
Comportamiento
oscilatorio
Un disco que gira y 
desliza
Disco impulsado por
fuerza constante
Partícula en el borde
de un aro que rueda
Cuerpo que rueda 
sobre una cicloide
Curvas cicloidales
La rueda cuadrada

Ecuaciones del movimiento de la esfera

Trayectoria del c.m. de la esfera

Casos particulares

Actividades

Referencias

 

La situación física que se estudia en esta página, es el de una esfera sólida que rueda sin deslizar sobre una plataforma giratoria inclinada un ángulo α. Este problema está conectado con el movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico y magnético cruzados.

Cuando la plataforma es horizontal la esfera describe una órbita circular con una velocidad angular que es las dos séptimas partes de la velocidad angular de la plataforma. Cuando se inclina la plataforma, se superpone al movimiento circular un movimiento rectilíneo con velocidad constante hacia un lado (no a lo largo de la pendiente) denominada velocidad de deriva.

 

Ecuaciones del movimiento de la esfera

Para describir el movimiento de la esfera situamos el Sistema de Referencia Inercial del siguiente modo: eje Y a lo largo de la plataforma inclinada un ángulo α, el eje X perpendicular al mismo y el eje Z perpendicular al plano de la plataforma, tal como se muestra en las figuras.

La esfera parte de la posición x0, y0 con velocidad V0, cuyas componentes son V0x=V0·cosφ, V0y=V0·senφ, rodando sin deslizar sobre la plataforma

Descomponemos el movimiento de la esfera de masa m y radio R en el plano, en dos movimientos.

  • A largo del eje X, el c.m. de la esfera se mueve con velocidad Vx y gira con velocidad angular ωy alrededor de un eje paralelo al eje Y que pasa por su c.m.

  • A largo del eje Y, el c.m. de la esfera se mueve con velocidad Vy y gira con velocidad angular ωx, alrededor de un eje paralelo al eje X que pasa por su c.m

 

Las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la esfera con la plataforma son:

vx=Vxy·R
vy=Vyx·R

Si el punto de contacto P dista r del eje de rotación de la plataforma que gira con velocidad angular W. Las componentes de la velocidad del punto P

vx=-W·r·senθ=-W·y
vy=
W·r·cosθ=W·x

Para que la esfera ruede sin deslizar, el punto de contacto P debe de estar en reposo respecto de la plataforma. Se cumplirá por tanto,

-W·y=Vxy·R
W
·x=Vyx·R      (1)

Las fuerzas sobre la esfera son:

  • El peso mg

  • La reacción del plano N

  • La fuerza de rozamiento F en el punto de contacto P, cuyo valor y dirección en el plano son desconocidos

Como vemos en la figura, la componente Fx de la fuerza de rozamiento se opone al movimiento de traslación del c.m. y favorece el movimiento de rotación

La componente Fy y la componente mg·senα se opone al movimiento de traslación del c.m. y la primera, al movimiento de rotación

Ecuación del movimiento del centro de masas

Ecuación de la dinámica de rotación

 

Para una esfera la fórmula del momento de inercia es Ic=2mR2/5

Eliminamos las dos componentes desconocidas de la fuerza de rozamiento Fx, y Fy en las ecuaciones del movimiento.

Derivamos respecto del tiempo las ecuaciones (1)

Eliminamos las derivadas de las componentes de la velocidad angular x/dt, y y/dt, y obtenemos las ecuaciones diferenciales del movimiento del c.m. de la esfera.

 

Trayectoria del c.m. de la esfera

Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas. Para desacoplarlas, despejamos Vy de la primera ecuación y la introducimos en la segunda.

La solución de esta ecuación diferencial (similar a la de un MAS) es de la forma

Vx=Acos(k·t)+B·sen(k·t)+c

donde k=2W/7

Introduciendo Vx en la ecuación diferencial, obtenemos la solución particular c de la ecuación diferencial de segundo orden.

A partir de la expresión de Vx, obtenemos la componente Vy de la velocidad del c.m.

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las componentes de la velocidad del c.m. son (V0x, V0y).

Podemos escribir estas ecuaciones de forma general definiendo dos variables, cuyo significado veremos más adelante.

Vx=(V0x-Vd)·cos(ωct)-V0y·sen(ωc·t)+Vd
Vy
=(V0x-Vd)·sen(ωct)+V0y·cos(ωc·t)

Sabiendo que en el instante t=0, la posición del centro de la esfera es (x0, y0), calculamos la abscisa x del centro de la esfera integrando la expresión de la velocidad Vx en función del tiempo. Se hace lo mismo para la ordenada y.

Podemos escribir de forma alternativa esta ecuación de la forma

Elevando al cuadrado y sumando

Se trata de la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (a, b) y de radio Rc

(x-a)2+(y-b)2=Rc2

donde

El centro se mueve a lo largo del eje X (no a lo largo del plano inclinado) con  velocidad Vd., que se denomina velocidad de deriva.

Ejemplo

  • Posición inicial de la esfera: y0=0, x0=-0.4

  • Velocidad inicial de la esfera: V0=0.2, φ=90º bien,  Vx0=0, Vy0=0.2

  • Velocidad angular de rotación de la plataforma: W=2 rad/s

  • Inclinación de la plataforma α=0.2

 

Casos particulares

Cuando la plataforma está horizontal α=0

Si la plataforma está horizontal α=0, y Vd=0

La circunferencia está centrada en el punto fijo

La esfera describe una circunferencia alrededor de un centro que no coincide con el eje de rotación de la plataforma. El tiempo que tarda en dar una vuelta completa es

7/2 veces el tiempo que precisa la plataforma en dar una vuelta completa. Así pues, ωc es la frecuencia angular de la esfera en su movimiento orbital sobre la plataforma giratoria. Como la esfera rueda sin deslizar, no se deberá confundir ωc con la velocidad angular de rotación de la esfera alrededor de su propio eje

Ejemplo:

  • Posición inicial de la esfera y0=0, x0=0.8

  • Velocidad inicial de la esfera: V0=0.2, φ=90º bien,  Vx0=0, Vy0=0.2

  • Velocidad angular de rotación de la plataforma: W=2 rad/s

  • Inclinación de la plataforma α=0

Cuando la esfera parte del reposo

V0x=V0y=0 desde el origen x0=0, y0=0

que son las ecuaciones de una cicloide

Ejemplo:

  • Posición inicial de la esfera: y0=0, x0=-0.8

  • Inclinación de la plataforma α=0.2

  • Velocidad inicial de la esfera: V0=0, φ=0º bien,  Vx0=0.0, Vy0=0.0

  • Velocidad angular de rotación de la plataforma: W=2 rad/s

Movimiento rectilíneo

Si V0y=0, y V0x=Vd.

x=x0+Vt
y=y0

La esfera se mueve horizontalmente a lo largo del eje X (no a lo largo del plano inclinado) con velocidad constante.

Ejemplo:

  • Posición inicial de la esfera: y0=0, x0=-0.8

  • Inclinación de la plataforma α=0.2

  • Velocidad inicial de la esfera: V0=5g·senα/(2W), φ=0º bien,  Vx0=0.043, Vy0=0.0

  • Velocidad angular de rotación de la plataforma: W=2 rad/s

 

Actividades

Se introduce

  • La posición de partida x0, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición. La ordenada se ha fijado en y0=0.

  • La velocidad angular de rotación W de la plataforma, en el control de edición titulado V. angular

  • La velocidad inicial V0 de la esfera, en el control de edición titulado Velocidad inicial

  • La orientación φ del vector velocidad inicial V0, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo velocidad. Las componentes del vector velocidad son: V0x=V0·cosφ, V0y=V0·senφ.

  • El ángulo α de inclinación de la plataforma, actuando en la barra de desplazamiento titulada Inclinación plataforma.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la esfera sobre la plataforma horizontal a inclinada.

 
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Sambles J. R., Preist T. W., Lang S. R., Toms R. P. A rolling sphere on a tilted rotating turntable. Phys. Educ. 18, (1983), pp. 234-239