Fenómenos de transporte |
Difusión
Medida del coeficiente de difusión Simulación de la difusión Movimiento browniano Sedimentación Constante Boltzmann |
Ley de Fick | ||||||||||||||||||||||||||
Ley de FickLa experiencia nos demuestra que cuando abrimos un frasco de perfume o de cualquier otro líquido volátil, podemos olerlo rápidamente en un recinto cerrado. Decimos que las moléculas del líquido después de evaporarse se difunden por el aire, distribuyéndose en todo el espacio circundante. Lo mismo ocurre si colocamos un terrón de azúcar en un vaso de agua, las moléculas de sacarosa se difunden por todo el agua. Estos y otros ejemplos nos muestran que para que tenga lugar el fenómeno de la difusión, la distribución espacial de moléculas no debe ser homogénea, debe existir una diferencia, o gradiente de concentración entre dos puntos del medio. Supongamos que su concentración varía con la posición al lo largo del eje X. Llamemos J a la densidad de corriente de partículas, es decir, al número efectivo de partículas que atraviesan en la unidad de tiempo un área unitaria perpendicular a la dirección en la que tiene lugar la difusión. La ley de Fick afirma que la densidad de corriente de partículas es proporcional al gradiente de concentración La constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de difusión D y es característico tanto del soluto como del medio en el que se disuelve. La acumulación de partículas en la unidad de tiempo que se produce en el elemento de volumen S·dx es igual a la diferencia entre el flujo entrante JS, menos el flujo saliente JS, es decir La acumulación de partículas en la unidad de tiempo es Igualando ambas expresiones y utilizando la Ley de Fick se obtiene Ecuación diferencial en derivadas parciales que describe el fenómeno de la difusión . Si el coeficiente de difusión D no depende de la concentración
Difusión unidimensionalVamos a considerar el problema de la difusión unidimensional de una masa M de soluto, situada en el origen de un medio unidimesional representado por el eje X. La solución de la ecuación diferencial nos da la concentración en los puntos x del medio en cada instante de tiempo t. La cual se puede comprobarse por simple sustitución en la ecuación diferencial En el programa interactivo, cada vez que se introduce el valor del tiempo, se traza en la ventana del applet la función n(x,t). Se puede observar que el área bajo la curva acampanada es la misma para todos las gráficas. Como puede comprobarse Para ello, se emplea el resultado de la integral Desplazamiento medio cuadrático Integramos por partes Debajo de cada curva, se traza un segmento cuya longitud es igual al doble de la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los desplazamientos de las partículas y mide la extensión efectiva de las partículas en el medio. Vamos a estudiar dos tipos de difusión
En los dos ejemplos de difusión, de un gas en aire, o de un soluto en agua (líquido), se pone de manifiesto la relación entre el orden de magnitud del coeficiente de difusión y la escala de longitud o de tiempo en el que transcurren ambos fenómenos.
Actividades
Se pulsa en el botón titulado Gráfica. Se representa la concentración n(x, t) de
cada punto x del medio unidimensional en el instante actual (en color
rojo) y en el instante previamente introducido (en color azul). CuestionesDebajo de la curva se traza un segmento que mide la extensión efectiva de las partículas de soluto en el disolvente. En la parte superior derecha, se proporciona el valor numérico de la longitud de dicho segmento. Comparar la difusión en dos casos pertenecientes al mismo grupo, midiendo la extensión efectiva de soluto en el disolvente en los mismos instantes. Comparar la difusión de un gas en aire y de una solución acuosa, midiendo la extensión efectiva de soluto en el disolvente en los mismos instantes. Las unidades de medida del eje X están marcadas en dm.
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Difusión de la sal en el aguaEl siguiente ejemplo, explica las características esenciales de la mezcla en un estuario, del agua salada procedente del mar con el agua de un río. El agua del río menos densa fluye sobre el agua de mar. Hay por tanto, una discontinuidad en la densidad con la profundidad, debido a las diferencias de salinidad. Consideremos la siguiente distribución unidimensional de la concentración c=c0 para x<0 en el instante t=0. La solución de la ecuación de la difusión es La función error se define D=1.484·10-9 m2/s es el coeficiente de difusión de la sal en agua pura ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Gráfica Se representa la concentración c(x, t)/ c0 de cada punto x del medio unidimensional en el instante actual (en color rojo) y en el instante previamente introducido (en color azul). En la parte inferior, la concentración de cada punto x del medio unidimensional, en colores de la escala del rojo. El color rojo intenso, equivale a la máxima concentración c=1, y el color blanco a la mínima c=0.
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Difusión bidimensional. Gota de tintaUna gota de tinta de radio a se pone en un recipiente de agua de radio R, siendo a<<R. La profundidad del agua es pequeña, del orden de 1 cm, de modo que la gota de tinta alcanza el fondo del recipiente rápidamente y el movimiento de la tinta está determinado por el proceso de difusión únicamente. El proceso de difusión bidimensional de la tinta en el agua se describe mediante la siguiente ecuación. donde D es el coeficiente de difusión de la tinta en agua y n es la concentración de tinta.
La solución de la ecuación diferencial es (véase el artículo citado en las referencias) donde I0(x) es la función modificada de Bessel de orden cero. Haciendo el cambio de variable Obtenemos la ecuación que es independiente del radio a de la gota y del coeficiente de difusión D de la tinta en el agua.
El programa es incapaz de calcular la concentración en función de la distancia x para un tiempo inferior a τ =0.003. Como comprobación se puede verificar que
la cantidad total de tinta permanece constante, de modo que la integral
que es proporcional a la cantidad inicial de tinta contenida en un círculo de radio unidad.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Gráfica A la derecha del applet, se representa la concentración relativa n(x, τ)/n0 en función de x=r/a (en color azul) y se compara con la situación inicial (color rojo). A la izquierda, se representa la concentración relativa en función de x codificada en una escala de grises.
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Puig Adam P., Curso teórico-práctico de ecuaciones diferencias aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática (1970), págs. 305
Booth C., Beer T., Penrose J. Diffusion of salt in tap water. Am. J. Phys. 46 (5) May 1978. pp. 525-527.
Sanboh Lee, H-Y Lee, I-F Lee, C-Y Teeng. Ink diffusion in water. Eur. J. Phys. 25. (2004) pp. 331-336.
Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes in C, Second edition, Special functions. Bessel functions of integer order Chapter 6º. pp. 230. Cambridge University Press. Código en C adaptado por el autor al lenguaje Java
Puig Adam P., Curso teórico-práctico de cálculo integral aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática (1972), págs. 124-125
Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes in C, Second edition, Special functions. Error function Chapter 6º. pp. 221. Cambridge University Press. Código en C adaptado por el autor al lenguaje Java
Segundo applet
double erfcc(double x) { //función complementaria 1-erf(x) double t,z,ans; z=Math.abs(x); t=1.0/(1.0+0.5*z); ans=t*Math.exp(-z*z-1.26551223+t*(1.00002368+t*(0.37409196+t*(0.09678418+ t*(-0.18628806+t*(0.27886807+t*(-1.13520398+t*(1.48851587+ t*(-0.82215223+t*0.17087277))))))))); return x >= 0.0 ? ans : 2.0-ans; } |
Tercer applet
//método de Simpson public double integral(double a, double b, int n){ if(n%2==1) n++; double h=(b-a)/n; double suma=f(a)+f(b); for(int i=1; i<n; i+=2){ suma+=4*f(a+i*h); } for(int i=2; i<n; i+=2){ suma+=2*f(a+i*h); } return (suma*h/3); } double f(double z){ double temp=Math.exp(-z*z/(4*t))*bessi0(x*z/(2*t))*z; return temp; } public double bessi0(double x) { //Returns the modifed Bessel function I0(x) for any real x. double ax,ans; double y; //Accumulate polynomials in double precision. if ((ax=Math.abs(x)) < 3.75) { //Polynomial t. y=x/3.75; y*=y; ans=1.0+y*(3.5156229+y*(3.0899424+y*(1.2067492+y*(0.2659732+y*(0.360768e-1+y*0.45813e-2))))); } else { y=3.75/ax; ans=(Math.exp(ax)/Math.sqrt(ax))*(0.39894228+y*(0.1328592e-1+y*(0.225319e-2+ y*(-0.157565e-2+y*(0.916281e-2+y*(-0.2057706e-1+y*(0.2635537e-1 +y*(-0.1647633e-1+y*0.392377e-2)))))))); } return ans; } //se representa la función y=Math.exp(-x*x/(4*t))*integral(0.0, 1.0, 40)/(2*t); |