Viaje de la Tierra a la Luna

En la página anterior, estudiamos el problema de Euler de los tres cuerpos, cuando dos de ellos están fijos en el espacio, y una tercera partícula de pequeña masa se mueve en el espacio circundante. Se supone el movimiento de la partícula se confina a un plano que contiene a los cuerpos fijos.

En esta página, se plantea un problema algo más complicado. Supongamos que la Tierra y la Luna se mueven en órbitas circulares alrededor de su centro de masas común. Se desprecia la influencia del Sol y del resto de los planetas.

Una nave espacial situada en una órbita circular de aparcamiento a una altura h sobre la superficie de la Tierra, enciende sus cohetes que le proporcionan una velocidad Δv adicional en la dirección tangente a su trayectoria circular. Supondremos que el tiempo de encendido de los cohetes es muy pequeño comparado con el tiempo que tarda la nave espacial en describir la órbita circular.

El sistema Tierra-Luna fijo en el espacio

Antes de plantear las ecuaciones del movimiento, nos vamos a familiarizar con el sistema formado por la Tierra y la Luna resolviendo algunos problemas sencillos.

Datos del sistema Tierra-Luna:

Masa de la Tierra, M_T=5.98·10²⁴ kg
Radio de la Tierra, R_T=6370 km= 6.37·10⁶ m
Masa de la Luna, M_L=7.34·10²² kg
Radio de la Luna, R_L=1740 km= 1.74·10⁶ m
Distancia entre la Tierra y la Luna, d=384000 km=384.0·10⁶ m

Supongamos que la Tierra y la Luna están fijos en el espacio. Vamos a calcular la velocidad mínima con la que se debe disparar una bala, desde la superficie de la Tierra, a lo largo en la dirección que une los centros de los dos cuerpos celestes, para que llegue a la Luna.

Entre la Tierra y la Luna hay un punto de equilibrio situado a una distancia x del centro de la Tierra. Un objeto de masa m situado en dicho punto experimenta dos fuerzas de atracción iguales y de sentido contrario. Como la masa de la Tierra es mayor que la masa de la Luna, dicho punto x_e estará cerca de la Luna.

$G \frac{M_{T} m}{x^{2}} = G \frac{M_{L} m}{{(d - x)}^{2}} x_{e} = \frac{d}{1 + \sqrt{M_{L} / M_{T}}}$

La posición de equilibrio en la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna, se encuentra a x_e=345.7 ·10⁶ m del centro de la Tierra.

La energía potencial de la partícula bajo la acción de la fuerza de atracción de la Tierra y de la Luna es

$E_{p} (x) = - G \frac{M_{T} m}{x} - G \frac{M_{L} m}{d - x}$

En la figura, se muestra la gráfica de la energía potencial, la posición de equilibrio corresponde a un máximo de E_p(x), se trata de una posición de equilibrio inestable.

En el eje horizontal la distancia x se expresa en fracciones del radio de la Tierra de modo que x_e=54.27·R_T

Tendremos que disparar la bala desde la superficie de la Tierra con una velocidad v superior a una mínima

La energía de la bala en la superficie de la Tierra x=R_T es

$E = \frac{1}{2} m v_{T}^{2} - G \frac{M_{T} m}{R_{T}} - G \frac{M_{L} m}{d - R_{T}}$

La energía de la bala en la posición de equilibrio, es

$E = \frac{1}{2} m v_{e}^{2} - G \frac{M_{T} m}{x_{e}} - G \frac{M_{L} m}{d - x_{e}}$

Poniendo v_e=0, y aplicando el principio de conservación de la energía, obtenemos la velocidad mínima de disparo v_T=11076.8 m/s

Podemos comparar esta velocidad, con la velocidad de escape de la superficie de la Tierra únicamente

$0 = \frac{1}{2} m v^{2} - G \frac{M_{T} m}{R_{T}}$

v=11190.7 m/s

Movimiento del sistema Tierra-Luna

La posición del centro de masas del sistema Tierra–Luna se encuentra entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna a una distancia r_T de la Tierra y r_L de la Luna, tal como se muestra en la figura. Como la masa de la Tierra es mayor que la masa de la Luna M_T>M_L luego, r_T<r_L. Situando el origen en el centro de masas.

$0 = \frac{- M_{T} r_{T} + M_{L} r_{L}}{M_{T} + M_{L}} d = r_{T} + r_{L}$

Despejamos r_T y r_L

$r_{T} = \frac{d \cdot M_{L}}{M_{L} + M_{T}} = 4 {.656·10}^{6} m r_{L} = \frac{d \cdot M_{T}}{M_{L} + M_{T}} = 379.344 {·10}^{6} m$

La posición del centro de masas del sistema Tierra-Luna está en el interior de la Tierra, más cerca de la superficie que del centro.

Supondremos que el centro de la Tierra y el centro de la Luna se mueven en órbitas circulares de radios r_T y r_L, respectivamente, alrededor de su centro de masas común.

El centro de la Luna describe una trayectoria circular de radio r_L bajo la acción de la fuerza de atracción de la Tierra, que dista d de su centro. Si Ω es la velocidad angular constante. Aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme a la Luna

$M_{L} Ω^{2} r_{L} = G \frac{M_{T} M_{L}}{d^{2}}$

El centro de la Tierra describe una trayectoria circular de radio r_T bajo la acción de la fuerza de atracción de la Luna, que dista d de su centro. Si Ω es la velocidad angular constante. Aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme a la Tierra

$M_{T} Ω^{2} r_{T} = G \frac{M_{T} M_{L}}{d^{2}}$

Despejamos la velocidad angular Ω de una u otra ecuación

$Ω^{2} = G \frac{M_{L}}{r_{T} d^{2}} Ω = 2.67 \cdot 10^{- 6} rad/s$

El periodo P=2π/Ω=27.2 días

Movimiento de una partícula bajo la influencia de la Tierra y la Luna

Situamos un Sistema de Referencia Inercial con origen en el centro de masas del sistema Tierra-Luna. En el instante t, el ángulo que forma la recta que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna forma un ángulo Ωt, con el eje X.

Las posición de la partícula en el instante t es (x, y). La posición de la Luna es (r_L·cos(Ωt), r_L·sin(Ωt)). La posición de la Tierra es (-r_T·cos(Ωt), -r_T·sin(Ωt))

La distancia entre la Luna y la partícula y entre la Tierra y la partícula son respectivamente

$\begin{array}{l} d_{L} = \sqrt{{(x - r_{L} \cos (Ω t))}^{2} + {(y - r_{L} sin (Ω t))}^{2}} \\ d_{T} = \sqrt{{(x + r_{T} \cos (Ω t))}^{2} + {(y + r_{T} sin (Ω t))}^{2}} \end{array}$

Las componentes de la fuerza de atracción que ejerce la Luna y la Tierra sobre la partícula son

$\begin{array}{l} F_{x} = - G \frac{M_{T} m}{d_{T}^{2}} \cos θ_{T} - G \frac{M_{L} m}{d_{L}^{2}} \cos θ_{L} = - G \frac{M_{T} m}{d_{T}^{2}} \frac{x + r_{T} \cos (Ω t)}{d_{T}} - G \frac{M_{L} m}{d_{L}^{2}} \frac{x - r_{L} \cos (Ω t)}{d_{T}} \\ F_{y} = - G \frac{M_{T} m}{d_{T}^{2}} sin θ_{T} - G \frac{M_{L} m}{d_{L}^{2}} sin θ_{L} = - G \frac{M_{T} m}{d_{T}^{2}} \frac{y + r_{T} sin (Ω t)}{d_{T}} - G \frac{M_{L} m}{d_{L}^{2}} \frac{y - r_{L} sin (Ω t)}{d_{T}} \end{array}$

Aplicamos la segunda ley de Newton md²x/dt²=F_x, y md²y/dt²=F_y

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - G \frac{M_{T}}{d_{T}^{3}} (x + r_{T} \cos (Ω t)) - G \frac{M_{L}}{d_{L}^{3}} (x - r_{L} \cos (Ω t)) \\ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = - G \frac{M_{T}}{d_{T}^{3}} (y + r_{T} sin (Ω t)) - G \frac{M_{L}}{d_{L}^{3}} (y - r_{L} sin (Ω t)) \end{array}$

Sistema de Referencia en rotación

Establecemos un nuevo Sistema de Referencia No Inercial con el mismo origen que se mueve con velocidad angular Ω, con respecto del Sistema de Referencia Inercial. El eje X_R del nuevo Sistema de Referencia es la recta que pasa por el centro de la Tierra y el Centro de la Luna.

En la figura, se muestra la relación entre las posición de la partícula (x, y) en el Sistema de Referencia Inercial y la posición (x_R, y_R) en el Sistema de Referencia en rotación.

x=x_R·cos(Ωt)-y_R·sin(Ωt)
y=x_R·sin(Ωt)+y_R·cos(Ωt)

Las distancias de la partícula al centro de la Tierra y al centro de la Luna son, respectivamente

$\begin{array}{l} d_{L} = \sqrt{{(x_{R} - r_{L})}^{2} + y_{R}^{2}} \\ d_{T} = \sqrt{{(x_{R} + r_{T})}^{2} + y_{R}^{2}} \end{array}$

Calculamos las derivadas segundas de x e y

$\begin{array}{l} \frac{d x}{d t} = Ω (- x_{R} sin (Ω t) - y_{R} \cos (Ω t)) + \frac{d x_{R}}{d t} \cos (Ω t) - \frac{d y_{R}}{d t} sin (Ω t) \\ \frac{d y}{d t} = Ω (x_{R} \cos (Ω t) - y_{R} sin (Ω t)) + \frac{d x_{R}}{d t} sin (Ω t) + \frac{d y_{R}}{d t} \cos (Ω t) \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = {\begin{cases} - Ω^{2} (x_{R} \cos (Ω t) - y_{R} sin (Ω t)) - 2 Ω (\frac{d x_{R}}{d t} sin (Ω t) + \frac{d y_{R}}{d t} \cos (Ω t)) \\ + \frac{d^{2} x_{R}}{d t^{2}} \cos (Ω t) - \frac{d^{2} y_{R}}{d t^{2}} sin (Ω t) \end{cases} \\ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = {\begin{cases} - Ω^{2} (x_{R} sin (Ω t) + y_{R} \cos (Ω t)) + 2 Ω (\frac{d x_{R}}{d t} \cos (Ω t) - \frac{d y_{R}}{d t} sin (Ω t)) \\ + \frac{d^{2} x_{R}}{d t^{2}} sin (Ω t) + \frac{d^{2} y_{R}}{d t^{2}} \cos (Ω t) \end{cases} \end{array}$

Introduciendo estas expresiones en las dos ecuaciones diferenciales de segundo orden, e igualando los coeficientes de cos(Ωt) y de sen(Ωt), obtenemos el siguiente sistema de dos educaciones diferenciales

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x_{R}}{d t^{2}} - 2 Ω \frac{d y_{R}}{d t} - Ω^{2} x_{R} = - G \frac{M_{T}}{d_{T}^{3}} (x_{R} + r_{T}) - G \frac{M_{L}}{d_{L}^{3}} (x_{R} - r_{L}) \\ \frac{d^{2} y_{R}}{d t^{2}} + 2 Ω \frac{d x_{R}}{d t} - Ω^{2} y_{R} = - G \frac{M_{T}}{d_{T}^{3}} y_{R} - G \frac{M_{L}}{d_{L}^{3}} y_{R} \end{array}$

Los dos términos en el primer miembro representan las componentes de las fuerzas de Coriolis y centrífuga por unidad de masa.

Constante del movimiento

Cuando se estudió el movimiento de una partícula de masa m bajo la fuerza de atracción de un cuerpo fijo en el espacio de masa M, las ecuaciones del movimiento eran

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{G M}{r^{3}} x r^{2} = x^{2} + y^{2} \\ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = - \frac{G M}{r^{3}} y \end{array}$

Multiplicamos la primera ecuación por dx/dt y la segunda ecuación por dy/dt y teniendo en cuenta que

$\begin{array}{l} v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} \\ \frac{d v^{2}}{d t} = 2 v_{x} \frac{d v_{x}}{d t} + 2 v_{y} \frac{d v_{y}}{d t} = 2 \frac{d x}{d t} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 2 \frac{d y}{d t} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} = 2 \dot{x} \frac{d \dot{x}}{d t} + 2 \dot{y} \frac{d \dot{y}}{d t} \\ \frac{d (x^{2} + y^{2})}{d t} = 2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t} = 2 x \dot{x} + 2 y \dot{y} \end{array}$

Donde el símbolo punto encima de la letra indica derivada respecto del tiempo. Llegamos a

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) = - \frac{G M}{r^{3}} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} (x^{2} + y^{2})$

Integramos cada uno de los dos miembros

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \int d v^{2} = \frac{1}{2} v^{2} \\ - \frac{1}{2} G M \int \frac{d (r^{2})}{r^{3}} = - G M \int \frac{d r}{r^{2}} = G M \frac{1}{r} \\ \frac{1}{2} v^{2} - \frac{G M}{r} = C \end{array}$

Donde C es una constante de integración, que es la energía por unidad de masa que se mantiene constante en todos los puntos de la trayectoria

Volviendo de nuevo, a las dos ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la partícula en el Sistema de Referencia en rotación. Multiplicamos la primera ecuación por dx_R/dt y la segunda ecuación por dy_R/dt y sumamos ambas ecuaciones, llegamos a

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} ({\dot{x}}_{R}^{2} + {\dot{y}}_{R}^{2}) - \frac{1}{2} Ω^{2} \frac{d}{d t} (x_{R}^{2} + y_{R}^{2}) = - \frac{1}{2} \frac{G M_{T}}{d_{T}^{3}} \frac{d}{d t} ({(x_{R} + r_{T})}^{2} + y_{R}^{2}) - \frac{1}{2} \frac{G M_{L}}{d_{L}^{3}} \frac{d}{d t} ({(x_{R} - r_{L})}^{2} + y_{R}^{2})$

Integrando de forma similar a caso de una sola fuerza de atracción

$\frac{1}{2} ({\dot{x}}_{R}^{2} + {\dot{y}}_{R}^{2}) - \frac{1}{2} Ω^{2} (x_{R}^{2} + y_{R}^{2}) = \frac{G M_{T}}{d_{T}} + \frac{G M_{L}}{d_{L}} + J$

J se denomina constante de Jacobi

$J = \frac{1}{2} ({\dot{x}}_{R}^{2} + {\dot{y}}_{R}^{2}) - \frac{1}{2} Ω^{2} (x_{R}^{2} + y_{R}^{2}) - (\frac{G M_{T}}{d_{T}} + \frac{G M_{L}}{d_{L}})$

Resolución numérica de las ecuaciones del movimiento

Antes de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos, es conveniente prepararlas para que el ordenador no maneje números excesivamente grandes o pequeños.

Establecemos un sistema de unidades en el que la longitud se mide en unidades del radio de la Tierra, L=6.37·10⁶ m y el tiempo en días, P=un día= 24·60·60=86400 s.

En el nuevo sistema de unidades x=Lx', t=P·t', la primera ecuación diferencial se escribe

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x'_{R}}{d t'^{2}} \frac{L}{P^{2}} - 2 Ω \frac{d y'_{R}}{d t'} \frac{L}{P} - Ω^{2} x'_{R} L = - G \frac{M_{T}}{d'_{T}^{3}} (x'_{R} + r'_{T}) \frac{L}{L^{3}} - G \frac{M_{L}}{d'_{L}^{3}} (x'_{R} - r'_{L}) \frac{L}{L^{3}} \\ \frac{d^{2} x'_{R}}{d t'^{2}} - 2 Ω P \frac{d y'_{R}}{d t'} - Ω^{2} P^{2} x'_{R} = - G M_{T} \frac{P^{2}}{L^{3}} \frac{(x'_{R} + r'_{T})}{d'_{T}^{3}} - G M_{L} \frac{P^{2}}{L^{3}} \frac{(x'_{R} - r'_{L})}{d'_{L}^{3}} \end{array}$

Con los datos de

La masa de la Tierra, M_T=5.98·10²⁴ kg
La masa de la Luna, M_L=7.34·10²² kg
Velocidad angular de rotación de la Tierra y la Luna alrededor del c.m. Ω=2.67·10^-6 rad/s
La distancia entre el cm. y el centro de la Tierra, r_T=4.656·10⁶ m
La distancia entre el cm. y el centro de la Luna, r_L=379.344·10⁶ m

y volviendo a la notación previa: x e y para la posición y t para el tiempo en el nuevo sistema de unidades. El sistema de ecuaciones diferenciales se escribe

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} x_{R}}{d t^{2}} - 2 \cdot 0.231 \frac{d y_{R}}{d t} - {0.231}^{2} x_{R} = - 11519.568 \frac{(x_{R} + 0.731)}{d_{T}^{3}} - 141.394 \frac{(x_{R} - 59.552)}{d_{L}^{3}} \\ \frac{d^{2} y_{R}}{d t^{2}} + 2 \cdot 0.231 \frac{d x_{R}}{d t} - {0.231}^{2} y_{R} = - 11519.568 \frac{y_{R}}{d_{T}^{3}} - 141.394 \frac{y_{R}}{d_{L}^{3}} \\ d_{T} = \sqrt{{(x_{R} + 0.731)}^{2} + y_{R}^{2}} d_{L} = \sqrt{{(x_{R} - 59.552)}^{2} + y_{R}^{2}} \end{array}$

Se resuelve este sistema de ecuaciones diferenciales por el procedimiento de Runge-Kutta, con un paso variable. Este paso, se ha elegido de modo que cuando la partícula está alejada de los cuerpos fijos el paso es grande y cuando está cerca de alguno de los dos cuerpos el paso es pequeño.

En este sistema de unidades la constante J se expresa

$\begin{array}{l} J = \frac{1}{2} (\dot{x}'_{R}^{2} + \dot{y}'_{R}^{2}) \frac{L^{2}}{P^{2}} - \frac{1}{2} Ω^{2} (x'_{R}^{2} + y'_{R}^{2}) L^{2} - (\frac{G M_{T}}{d'_{T}} + \frac{G M_{L}}{d'_{L}}) \frac{1}{L} \\ J' = J \frac{P^{2}}{L^{2}} = \frac{1}{2} (\dot{x}'_{R}^{2} + \dot{y}'_{R}^{2}) - \frac{1}{2} Ω^{2} P^{2} (x'_{R}^{2} + y'_{R}^{2}) - (G M_{T} \frac{P^{2}}{L^{3}} \frac{1}{d'_{T}} + G M_{L} \frac{P^{2}}{L^{3}} \frac{1}{d'_{L}}) \end{array}$

Con los datos numéricos y volviendo a la notación previa: x e y para la posición y t para el tiempo en el nuevo sistema de unidades. La constante J se escribe en este nuevo sistema de unidades

$J = \frac{1}{2} ({\dot{x}}_{R}^{2} + {\dot{y}}_{R}^{2}) - \frac{1}{2} {0.231}^{2} (x_{R}^{2} + y_{R}^{2}) - (\frac{11519.568}{d_{T}} + \frac{141.394}{d_{L}})$

El programa interactivo resuelve numéricamente las ecuaciones del movimiento y calcula la constante J . Se evalúa en cada instante el cociente

$| \frac{J - J_{0}}{J_{0}} | \cdot 100$

que denominaremos tanto por ciento de error. Cuando la constante J difiere de J₀ de modo que el cociente es mayor que la unidad el programa interactivo se detiene, la trayectoria calculada puede que se desvíe significativamente de la real.

Condiciones iniciales

Una nave espacial describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura h de su superficie a una distancia r de su centro. Aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme obtenemos la velocidad v del satélite.

$m \frac{v^{2}}{r} = \frac{G M m}{r^{2}} v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Por ejemplo, un satélite artificial que circunda la Tierra a una altura de h=1000 km o bien r=7.37·10⁶ m lleva una velocidad de v=7356.6 m/s y tarda 1.75 horas en dar una vuelta completa. Un satélite geostacionario que tarda un día en dar una vuelta completa, se encuentra a una altura h=42250.5-3670=38580 km de altura, y su velocidad es v=3072.5 m/s

Cuando la nave espacial se encuentra en la posición tal que hace un ángulo θ, con la dirección que une el centro de la Tierra y el centro de la Luna se encienden los cohetes por un breve intervalo de tiempo, dándole una velocidad adicional Δv en dirección tangente a la trayectoria

En el instante t=0, la nave espacial parte de la posición

x₀=-r_T+r·cosθ
y₀= r·sinθ

Con velocidad inicial

v_0x=-(v+Δv)·sinθ
v_0y=(v+Δv)·cosθ

Donde Δv es el incremento de velocidad proporcionado por los cohetes de la nave de forma casi instantánea.

Actividades

Se introduce

La altura h en km de la órbita circular de la nave espacial sobre la superficie de la Tierra, actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura nave.

Se pulsa el botón titulado Inicio

En la parte izquierda del applet, se observa el movimiento del sistema Tierra-Luna respecto del Sistema de Referencia Inercial con origen en el centro de masa de ambos cuerpos.

En la parte derecha del applet, se observa el movimiento de la nave espacial alrededor de la Tierra, y a la vez la Tierra girando alrededor del c.m. del sistema.

La posición angular θ, en grados, de la nave espacial respecto de la recta que une el centro de la Tierra y de la Luna, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo.
La velocidad adicional Δv, en m/s que en dirección tangente a la trayectoria circular proporcionan los cohetes, en el control de edición titulado Incr. velocidad.

Se pulsa el botón titulado Empieza

En la parte superior derecha del applet, se proporcionan los datos del tiempo en días desde el momento del lanzamiento, la posición x_R e y_R de la nave espacial en fracciones del radio de la Tierra, respecto del Sistema de Referencia en rotación

En la parte inferior, se proporciona el tanto por ciento de error, de la constante J del movimiento. Cuando es mayor que la unidad, el programa se detiene.

Nota: Se ha de advertir al lector, que como el paso de integración de las ecuaciones diferenciales del movimiento es variable, la velocidad del punto que representa la partícula en el applet, no se corresponde con la velocidad real de la partícula.

Referencias

Harmon N. J. Leidel C., Lindner J. F. Optimal exit: Solar escape as a restricted three-body problem. Am. J. Phys. 71(9) September 2003, pp. 871-877