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Alcance máximo en un plano inclinado

Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están  en una superficie horizontal.

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil cuando el blanco está sobre un plano inclinado, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.

Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Alcance

Se dispara un proyectil desde el origen con velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo θ con la horizontal, el punto de impacto está situado en un  plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

v_x=v₀·cosθ
v_y=v₀·sinθ-g·t

La posición en función del tiempo es

x= v₀·cosθ·t
y= v₀·sinθ·t-g·t²/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

Como las coordenadas x e y del punto de impacto están relacionadas por y=x·tanα, despejamos el tiempo de vuelo t, de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

${\displaystyle T=\frac{2v_0}{g}(\tan \theta -\tan \alpha )\cos \theta }$

El alcance R medido a lo largo del plano inclinado es

${\displaystyle R=\frac{x}{\cos \alpha }=\frac{2v_0^2}{g}\frac{(\tan \theta -\tan \alpha ){\cos }^2\theta }{\cos \alpha }=\frac{2v_0^2}{g}\text{sin}(\theta -\alpha )\frac{\cos \theta }{{\cos }^2\alpha }}$

Cambio de Sistema de Referencia

Analizamos el movimiento del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.

La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia abajo. Las componentes de la aceleración de la gravedad g y de la velocidad inicial v₀ se muestran en la figura. Las ecuaciones del movimiento del proyectil son

x=v₀·cos(θ-α)·t-g·sinα·t²/2
y=v₀·sin(θ-α)·t-g·cosα·t²/2

El tiempo de vuelo se determina poniendo y=0, y despejando el tiempo t.

${\displaystyle T=\frac{2v_0\text{sin}(\theta -\alpha )}{g·\cos \alpha }}$

Sustituimos el valor de t en la primera ecuación

${\displaystyle R=\frac{2v_0^2\text{sin}(\theta -\alpha )}{g·{\cos }^2\alpha }\left(\cos (\theta -\alpha )·\cos \alpha -\text{sin}(\theta -\alpha )·\text{sin}\alpha \right)=\frac{2v_0^2\text{sin}(\theta -\alpha )}{g·{\cos }^2\alpha }\cos \theta }$

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ, para θ>α

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θ_m para el cual el alcance es máximo.

${\displaystyle \frac{dR}{d\theta }=\frac{2v_0^2}{g{\cos }^2\alpha }\cos (2\theta -\alpha )=0}$

El ángulo θ para el cual el alcance R es máximo vale

${\displaystyle {\theta }_m=\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}}$

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θ_m, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos²θ=1+tan²θ)

${\displaystyle y=x\tan \theta -\frac{g{x}^2}{2v_0^2}(1+{\tan }^2\theta )}$

Las coordenadas x₀ e y₀ del punto de impacto están relacionadas y₀=x₀·tanα, llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado en tanθ.

${\displaystyle \frac{g{x}_0^2}{2v_0^2}{\tan }^2\theta -x_0·\tan \theta +x_0\tan \alpha +\frac{g{x}_0^2}{2v_0^2}=0}$

Las raíces de la ecuación de segundo grado son

${\displaystyle \tan \theta =\frac{v_0^2}{g{x}_0}\left(1\pm \sqrt{1-\frac{2g{x}_0}{v_0^2}\tan \alpha -\frac{g^2{x}_0^2}{v_0^4}}\right)}$

Tenemos dos ángulos de tiro θ₁ y el ángulo θ₂ que dan lugar al mismo alcance R<R_m, tal como apreciamos en la figura.

Empleamos las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0

${\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}{x}_1·x_2=\frac{c}{a}}$

${\displaystyle \tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2=\frac{2v_0^2}{g{x}_0}\tan {\theta }_1·\tan {\theta }_2=1+\frac{2v_0^2}{g{x}_0}\tan \alpha }$

Haciendo algunas operaciones, relacionamos el ángulo θ₁ y el ángulo θ₂.

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan {\theta }_1·\tan {\theta }_2=1+(\tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2)\tan \alpha \\ -\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)=\text{sin}({\theta }_1+{\theta }_2)·\tan \alpha \\ -\frac{1}{\tan ({\theta }_1+{\theta }_2)}=\tan \alpha {\theta }_1+{\theta }_2=\alpha +\frac{\pi }{2}\end{array}}$

Cuando el alcance tiende hacia el valor máximo, los dos ángulos de tiro θ₁ y θ₂ se hacen cada vez más próximos hasta que coinciden. Las dos raíces son iguales θ_m=θ₁=θ₂.

${\displaystyle 2{\theta }_m=\alpha +\frac{\pi }{2}}$

Sustituyendo θ_m por α/2+π/4 en la expresión del alcance R al principio de la página

${\displaystyle R_m=\frac{2v_0^2}{g}\frac{\text{sin}\left(\pi /4-\alpha /2\right)\cos \left(\pi /4+\alpha /2\right)}{{\cos }^2\alpha }=\frac{v_0^2}{g}\frac{1}{1+\text{sin}\alpha }}$

Otro modo de obtener el alcance máximo es el siguiente: el discriminante de la ecuación de segundo grado en tanθ, se hace cero, cuando la raíz es doble. Por tanto,

${\displaystyle \tan {\theta }_m=\frac{v_0^2}{g{x}_0}=\frac{v_0^2}{g{R}_m\cos \alpha }}$

Despejamos R_m y sustituimos θ_m por α/2+π/4, obtenemos después de realizar algunas operaciones la misma expresión para R_m.

El tiempo de vuelo del proyectil para el ángulo θ_m vale

${\displaystyle \begin{array}{l}{T}_m=\frac{2v_0}{g}\left(\text{sin}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}\right)\tan \alpha \right)=\\ \frac{\sqrt{2}{v}_0}{g}\left(\left(\cos \frac{\alpha }{2}+\text{sin}\frac{\alpha }{2}\right)-\left(\cos \frac{\alpha }{2}-\text{sin}\frac{\alpha }{2}\right)\frac{2\text{sin}(\alpha /2)\cos (\alpha /2)}{{\cos }^2(\alpha /2)-{\text{sin}}^2(\alpha /2)}\right)\end{array}}$

Simplificamos esta expresión hasta llegar a

${\displaystyle T_m=\frac{\sqrt{2}{v}_0}{g}\frac{1}{\cos (\alpha /2)+\text{sin}(\alpha /2)}}$

Velocidad final y velocidad inicial

El ángulo que forma la velocidad final con el eje X es

${\displaystyle \tan \varphi =\frac{v_y}{v_x}=\frac{v_0\sin \theta -gT}{v_0\cos \theta }=\frac{v_0\sin \theta -2v_0(\tan \theta -\tan \alpha )\cos \theta }{v_0\cos \theta }=2\tan \alpha -\tan \theta }$

Para el ángulo de disparo θ_m=π/4+α/2

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan {\varphi }_m=\frac{4\sin (\alpha /2)\cos (\alpha /2)}{{\cos }^2(\alpha /2)-{\sin }^2(\alpha /2)}-\frac{\sin (\pi /4+\alpha /2)}{\cos (\pi /4+\alpha /2)}=-\frac{\cos (\alpha /2)-\sin (\pi /4)}{\cos (\alpha /2)+\sin (\pi /4)}=\\ -\frac{\cos (\pi /4+\alpha /2)}{\sin (\pi /4+\alpha /2)}=-\frac{1}{\tan {\theta }_m}\\ \tan {\varphi }_m=-\frac{1}{\tan {\theta }_m}{\theta }_m={\varphi }_m+\frac{\pi }{2}\end{array}}$

El vector velocidad inicial v₀ y el vector velocidad final v_f son perpendiculares.

Ejemplo

• La velocidad de disparo v₀=60 m/s

• La pendiente del plano inclinado α=20º

• El ángulo de disparo θ₁=60º

El alcance vale

${\displaystyle R=\frac{2·{60}^2}{9.8}\text{sin}(60-20)\frac{\cos 60}{{\cos }^{2}20}=267.4\text{m}}$

El tiempo de vuelo vale

${\displaystyle T=\frac{2·60}{9.8}(\tan 60-\tan 20)\cos 60=8.38\text{s}}$

• El ángulo de disparo θ₁=50º

El alcance vale

${\displaystyle R=\frac{2·{60}^2}{9.8}\text{sin}(50-20)\frac{\cos 50}{{\cos }^{2}20}=267.4\text{m}}$

El tiempo de vuelo vale

${\displaystyle T=\frac{2·60}{9.8}(\tan 50-\tan 20)\cos 50=6.52\text{s}}$

• El ángulo para el cual el alcance es máximo (véase la última figura) es

${\displaystyle {\theta }_m=\frac{20º}{2}+45º=55º}$

El alcance para este ángulo vale

${\displaystyle R_m=\frac{{60}^2}{9.8}\frac{1}{1+\text{sin20}}=273.7\text{m}}$

El tiempo de vuelo es

${\displaystyle T_m=\frac{\sqrt{2}60}{9.8}\frac{1}{\cos (10)+\text{sin}(10)}=7.47\text{s}}$

• Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=200 m.

Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<R_m, por ejemplo un alcance de R=200 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ

x₀=R·cosα, x₀=200·cos20º=187.9 m

${\displaystyle \tan \theta =\frac{{60}^2}{9.8·187.9}\left(1\pm \sqrt{1-\frac{2·9.8·187.9}{{60}^2}\tan 20-\frac{{9.8}^2{187.9}^2}{{60}^4}}\right)}$

θ₁=37.7º, θ₂=72.3º,  Como vemos θ₁+θ₂=90+20=110º, y θ₁<θ_m<θ₂

Actividades

Se introduce

• El ángulo α del plano inclinado, actuando en la barra de desplazamiento titulada Plano inclinado. El ángulo puede ser positivo o negativo

• El ángulo de tiro θ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo, o bien, introduciendo el valor del ángulo en el control de edición.

• La velocidad de disparo se ha fijado en el valor v₀=60 m/s

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos la trayectoria del proyectil hasta que llega al plano inclinado. En la parte superior del applet, se proporcionan los datos del proyectil:

• tiempo t,

• las componentes de la velocidad v_x y v_y,

• la posición x, e y. El alcance R se calcula mediante ${\displaystyle R=\sqrt{x^2+y^2}}$

El programa interactivo representa, la trayectoria del proyectil actual y la trayectoria anterior. Fijada el ángulo del plano inclinado, vamos cambiando el ángulo de tiro θ. Mediante el procedimiento de aproximaciones sucesivas, podemos obtener el ángulo para el cual el alcance es máximo.

CinemaApplet2 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Buckmaster H. A., Ideal ballistic trajectories revisited. Am. J. Phys. 53 (7) July 1985, pp. 638-641.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García