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Tiros frontales a canasta

Esta página está dedicada al estudio de los aspectos esenciales de un deporte popular, el juego del baloncesto.

Trataremos exclusivamente de los tiros frontales a canasta, los más fáciles de describir desde el punto de vista físico, ya que su base esencial son las ecuaciones del tiro parabólico, despreciándose los efectos del rozamiento con el aire, así como los efectos de la rotación del balón.  

El juego del baloncesto

En la figura, se muestra la mitad del campo donde se desarrolla el juego del baloncesto y las medidas  reglamentarias.

Las medidas que interesan para el estudio de los tiros frontales a canasta son las siguientes:

• El aro está a una altura de 3.05 m del suelo

• El diámetro del aro es de 45 cm

• El diámetro del balón es de 25 cm  

Ecuaciones del tiro parabólico

Establecemos el origen de coordenadas en la posición del lanzamiento del balón, tal como se muestra en la figura. El centro del aro está a una altura h y a una distancia L de la posición inicial del balón.

Consideramos el balón como una partícula que se lanza desde el origen con una velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo θ₀, con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=-g\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cdot \cos {\theta }_0\\ v_y=v_0\cdot \text{sin}{\theta }_0-g\cdot t\end{array}\{\begin{array}{l}x=v_0\cdot \cos {\theta }_0\cdot t\\ y=v{}_0\cdot \text{sin}{\theta }_0\cdot t-\frac{1}{2}g\cdot t^2\end{array}}$

Eliminamos el tiempo t en las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

${\displaystyle y=x\tan {\theta }_0-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2{\cos }^2{\theta }_0}}$

Velocidad inicial y ángulo de tiro

Las coordenadas del punto de impacto son las del centro del aro: x=L, y=h.

• Conocido el ángulo de tiro θ₀, calculamos la velocidad inicial

${\displaystyle v_0^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)}}$

• Conocida la velocidad inicial v₀, calculamos los dos ángulos de tiro, resolviendo la ecuación de segundo grado en tanθ₀. Para ello, utilizamos la relación 1+tan²θ₀=1/cos²θ₀

${\displaystyle h=L\tan {\theta }_0-\frac{g{L}^2}{2v_0^2}(1+{\tan }^2{\theta }_0)}$

o bien,

${\displaystyle {\tan }^2{\theta }_0-\frac{2v_0^2}{gL}\tan {\theta }_0+\left(1+\frac{2v_0^{2}h}{g{L}^2}\right)=0}$

Ángulo que hace el vector velocidad

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con la horizontal vale

${\displaystyle \tan \theta =\frac{v_y}{v_x}=\tan {\theta }_0-\frac{gt}{v_0\cos {\theta }_0}}$

como

${\displaystyle \frac{y}{x}=\tan {\theta }_0-\frac{gt}{2v_0\cos {\theta }_0}}$

El ángulo θ que hace el vector velocidad v de la partícula con el eje X lo expresamos en términos de la posición x e y de la partícula, en vez del tiempo t.

${\displaystyle \tan \theta =\frac{2y}{x}-\tan {\theta }_0}$

El ángulo de tiro mínimo

En la figura, se muestra la representación gráfica de v₀ en función del ángulo de tiro θ₀.

${\displaystyle v_0^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)}}$

la función tiene dos asíntotas verticales, cuando el valor de la fracción se hace infinito, o el denominador se hace cero:

tanθ₀=h/L
cosθ₀=0

Como v²₀ tiene que ser positivo, el ángulo de tiro θ₀ no puede tener cualquier valor sino que tiene que cumplir

${\displaystyle 90º>{\theta }_0>\arctan \left(\frac{h}{L}\right)}$

Para que el balón entre por el aro, éste debe de estar en la parte descendente de la trayectoria del balón, tal como se aprecia en la figura

El ángulo de entrada θ_e que forma el vector velocidad v con la horizontal en el momento en el que el balón pasa por el centro del aro x=L, y=h es

${\displaystyle \tan {\theta }_e=\frac{2h}{L}-\tan {\theta }_0}$

Como θ_e es un ángulo negativo (por debajo de la horizontal) su tangente es negativa, lo que implica que

${\displaystyle \tan {\theta }_0>\frac{2h}{L}}$

El ángulo de tiro θ₀ tiene que cumplir

${\displaystyle 90º>{\theta }_0>\arctan \left(\frac{2h}{L}\right)}$

Consideramos ahora las dimensiones del balón y del aro. En la figura, se muestra la situación en la que el balón entra justamente por el aro AB. En el triángulo ABC, el ángulo del vértice B es igual al ángulo de entrada θ_e mínimo (en valor absoluto)

sin|θ_e|=2R/D_a

donde R es el radio del balón y D_a es el diámetro del aro

Como 2R=25 cm y D_a=45 cm. El ángulo θ_e que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro. Esto limita aún más el intervalo de ángulos de tiro θ₀. La relación entre ambos ángulos es

${\displaystyle \tan \left|{\theta }_e\right|=-\frac{2h}{L}+\tan {\theta }_0}$

${\displaystyle \tan {\theta }_{0L}=\tan 33.7+\frac{2h}{L}}$

θ_0L es el ángulo de tiro mínimo que hace que el balón entre por el aro, sin tocarlo. El jugador debe de lanzar el balón con un ángulo θ₀ que sea mayor que el valor mínimo θ_0L para conseguir encestarlo.

La velocidad inicial mínima

De nuevo, nos fijamos en la representación gráfica de la velocidad inicial v₀ en función del ángulo de tiro θ_0. Observamos que la curva tiene un mínimo v_0m para cierto valor del ángulo de tiro θ_0m.

${\displaystyle v_0^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)}}$

Calculamos el ángulo θ_0m para el cual la velocidad inicial v₀ es mínima.

${\displaystyle \frac{d{v}_0^2}{d{\theta }_0}=\frac{-\left(-2\cos {\theta }_0·\sin {\theta }_0(\tan {\theta }_0-h/L)+{\cos }^2{\theta }_0\frac{1}{{\cos }^2{\theta }_0}\right)gL}{2{\cos }^4{\theta }_0{(\tan {\theta }_0-h/L)}^2}=0}$

Despejamos el ángulo θ₀

-2sin²θ₀+2(h/L)sinθ₀·cos θ₀+1=0

${\displaystyle \tan (2{\theta }_{0m})=\frac{-h}{L}{\theta }_{0m}=45º+\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{h}{L}\right)}$

Expresamos el ángulo θ_0m de forma alternativa utilizando las siguientes relaciones

${\displaystyle \tan \left(45º+\frac{1}{2}\alpha \right)=\frac{1+\tan \frac{1}{2}\alpha }{1-\tan \frac{1}{2}\alpha }\alpha =\arctan \frac{h}{L}}$

${\displaystyle \tan \alpha =\frac{2\tan \frac{1}{2}\alpha }{1-{\tan }^2\frac{1}{2}\alpha }}$

En esta última expresión, conocido tanα, resolvemos la ecuación de segundo grado en tan(α/2), tomando la raíz positiva.

${\displaystyle \tan \frac{1}{2}\alpha =\frac{-1+\sqrt{1+h^2/L^2}}{h/L}}$

Conocido tan(α/2), calculamos en la primera expresión tan(45º+α/2). Después de hacer algunas simplificaciones, llegamos a

${\displaystyle \tan {\theta }_{0m}=\tan \left(45+\frac{1}{2}\alpha \right)=\frac{h}{L}+\sqrt{1+\frac{h^2}{L^2}}}$

Conocido el valor θ_0m calculamos el valor mínimo de la velocidad inicial v_0m. Para ello empleamos la relación 1+tan²θ=1/cos²θ

${\displaystyle v_{0m}^2=\frac{gL}{2{\cos }^2{\theta }_{0m}(\tan {\theta }_{0m}-h/L)}=g\left(\sqrt{L^2+h^2}+h\right)}$

Para introducir el balón por el aro, la velocidad inicial v₀ tiene que ser mayor que la mínima v_0m, cualquiera que sea el ángulo de tiro.

Ejemplo:

Se lanza el balón desde una distancia L=3 m del centro del aro, y desde una altura de 2.05 m del suelo o bien, h=3.05-2.05=1 m por debajo del aro.

Primero, calculamos el ángulo de tiro mínimo

${\displaystyle \tan {\theta }_{0L}=\tan 33.7+\frac{2h}{L}\tan {\theta }_{0L}=\tan 33.7+\frac{2·1}{3}{\theta }_{0L}=53.2º}$

• Dado el ángulo de tiro θ₀=70º>53.2º  calculamos la velocidad inicial

${\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{3·9.8}{2{\cos }^{2}70(\tan 70-1/3)}}=7.21\text{m/s}}$

Esta velocidad es superior a la mínima, que se obtiene para el ángulo de tiro

${\displaystyle \tan {\theta }_{0m}=\frac{1}{3}+\sqrt{1+\frac{1^2}{3^2}}{\theta }_{0m}=54.2º}$

y la velocidad mínima vale

${\displaystyle v_{0m}=\sqrt{9.8\left(\sqrt{3^2+1^2}+1\right)}=6.39\text{m/s}}$

• Dada la velocidad de disparo v₀ es algo más complicado calcular el ángulo de tiro.

La velocidad v₀ tiene que ser mayor que el valor mínimo v_0m=6.39 m/s

Por ejemplo, si v₀=8.0 m/s, calcular θ₀.

${\displaystyle {\tan }^2{\theta }_0-\frac{2·8^2}{9.8·3}\tan {\theta }_0+\left(1+\frac{2·8^2·1}{9.8·3^2}\right)=0}$

Las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ₀ son

θ₁=74.8º,  θ₂=33.6º

Solamente la trayectoria del primero será descendente cuando pase por el centro del aro, mientras que la segunda es ascendente y entra por debajo del aro. 

Actividades

Se introduce las coordenadas del centro de la pelota:

• La distancia x₀ de la pelota al centro del aro, actuando en la barra de desplazamiento titulada Distancia, o introduciendo un valor en el control de edición correspondiente.

• La altura y₀ de la pelota sobre el suelo, actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura o introduciendo un valor en el control de edición correspondiente.

Las coordenadas del centro (x₀, y₀) de la pelota se miden respecto de un Sistema de Referencia en el que el eje vertical Y pasa por el centro del aro, y el eje horizontal es el suelo.

Fijada la posición del punto de lanzamiento del balón: la distancia horizontal al blanco es L=x₀, y la altura h=3.05-y₀. Se representa, en la parte derecha del applet, la función que relaciona la velocidad inicial v₀ con el ángulo de tiro θ₀. Los segmentos de color rojo sobre los ejes marcan los posibles ángulos de tiro, y velocidades iniciales v₀, que hacen pasar el balón por el centro del aro

Con el puntero del ratón movemos un pequeño círculo de color azul para seleccionar:

• el valor de la velocidad inicial v₀.

• el valor del ángulo de tiro θ₀.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se representa la trayectoria del centro del balón.

Comprobar que las trayectorias que corresponden a pares de valores (v₀, θ₀) situados sobre la curva de color rojo, corresponden a trayectorias que pasan por el centro del aro.

CinemaApplet2 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Mover con el puntero del ratón el círculo de color azul

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García