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Margen de error

En los apartados anteriores, hemos supuesto que el punto de impacto situado a una distancia L y a una altura h del punto de lanzamiento es único. Como el diámetro del balón es menor que el diámetro del aro, vamos a ver que existe una indeterminación en el alcance L, que da lugar a una tolerancia en la velocidad inicial v0, en el ángulo de tiro θ0 o en ambos a la vez. Por tanto, la velocidad inicial de lanzamiento y el ángulo de tiro que dan lugar a enceste pueden cambiar en un pequeño intervalo que depende de la posición inicial del balón respecto del aro.

Podríamos pensar que la indeterminación en el alcance es igual a la diferencia entre el diámetro del balón y el diámetro del aro, tal como se muestra en la figura. Sin embargo, el balón entra en el aro siguiendo una trayectoria cuya tangente forma un ángulo θe con la horizontal.

En la figura, el aro AB es atravesado por un balón cuya dirección de su velocidad forma un ángulo θe con la horizontal. En los triángulos rectángulos ABC y EDF

AC=Da·sin|θe|

EF=AC-2·R= Da·sin|θe|-2R

ED=2ΔL=EF/sin|θe|

ΔL= 1 2 ( D a 2R sin| θ e | )

ΔL (en color rojo) representa el margen de error en la distancia horizontal L desde el punto de lanzamiento hasta el blanco. Este margen de error desaparece cuando ΔL=0, es decir, cuando

sin| θ e |= 2R D a = 25 45 | θ e |=33.7º

Como ya se ha explicado, el ángulo θe que forma el vector velocidad v con la horizontal debe se mayor (en valor absoluto) que 33.7º para que el balón entre por el aro, sin tocarlo.

 En la fórmula,

v 0 2 = gL(1+ tan 2 θ 0 ) 2(tan θ 0 h/L)

con los datos de h y L calculamos v0 para un determinado ángulo de disparo θ0

  1. Sustituimos L por LL y calculamos la velocidad de disparo v+= v0v+
  2. Sustituimos L por LL y calculamos la velocidad de disparo v-= v0v-

En la figura, se muestra las tres trayectorias:

  • En color rojo, la que pasa por el centro del aro,
  • En color azul, las que pasan por LL y por LL

 Resolvemos la ecuación de segundo grado en tanθ0.

tan 2 θ 0 2 v 0 2 gL tan θ 0 +( 1+ 2 v 0 2 h g L 2 )=0

con los datos de h y L calculamos el ángulo de tiro θ0 para una determinada velocidad de disparo v0.

  1. Sustituimos L por LL y calculamos el ángulo de tiro θ += θ0θ+
  2. Sustituimos L por LL y calculamos el ángulo de tiro θ -= θ0θ -

En la figura, se muestra las tres trayectorias:

  • En color rojo, la que pasa por el centro del aro,
  • En color azul, las que pasan por LL y por LL

Estos dos márgenes de error sirven de criterio para elegir la mejor trayectoria. Cuando mayor sea el margen de error para un determinado ángulo de tiro, mayor es la libertad del jugador para desviarse de los valores precisos de v0 y θ 0 necesarios para que el balón entre por el centro del aro.

Ejemplo:

Supongamos, como en el ejemplo del apartado anterior, que h=1 m y L=3 m.

tan θ e = 2·1 3 tan70º θ e =64.3º

El margen de error ΔL en la distancia horizontal L vale

ΔL= 1 2 ( 0.45 0.25 sin64.3 )=0.086m

En la fórmula,

v 0 2 = gL(1+ tan 2 θ 0 ) 2(tan θ 0 h/L)

    1. Sustituimos L por LL=3.086 y calculamos la velocidad inicial v+=7.30 m/s, y la tolerancia Δv+=0.09 m/s
    2. Sustituimos L por LL=2.914 y calculamos la velocidad inicial v-= 7.12 m/s, y la tolerancia Δv-=0.09 m/s

tan 2 θ 0 2 v 0 2 gL tan θ 0 +( 1+ 2 v 0 2 h g L 2 )=0

    1. Sustituimos L por LL=3.086 y calculamos el ángulo de tiro θ-=74.34º, y la tolerancia Δ θ -=0.49º
    2. Sustituimos L por LL=2.914 y calculamos el ángulo de tiro θ+ =75.32º, y la tolerancia Δ θ+=0.49º

Actividades

Se introduce las coordenadas del centro de la pelota:

Las coordenadas del centro (x0, y0) de la pelota se miden respecto de un Sistema de Referencia en el que el eje vertical Y pasa por el centro del aro, y el eje horizontal es el suelo.

Fijada la posición del punto de lanzamiento del balón: la distancia horizontal al blanco es L=x0, y la altura h=3.05-y0. Se representa, en la parte derecha del applet, la función que relaciona la velocidad inicial v0 con el ángulo de tiro θ0. y también se representa la función v+(θ0) y v-(θ0).

Con el puntero del ratón movemos un pequeño círculo de color azul para seleccionar:

Se pulsa el botón titulado Empieza

Comprobar que las trayectorias que corresponden a pares de valores (v0, θ0) situados sobre la región coloreada, corresponden a trayectorias que pasan por el aro sin tocarlo.

CinemaApplet2 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Mueva con el puntero del ratón el círculo de color azul

Referencias

Brancazio P. J. Physics of basketball. Am. J. Phys. 49 (4) April 1981. pp. 356-365

Savirón J. M. Problemas de Física General en un año olímpico. Editorial Reverté (1984), págs. 113-157.

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