Apuntar un cañón para dar en el blanco.

En este programa se va a resolver un problema típico de balística: dadas las coordenadas del blanco y la velocidad de disparo, determinar el ángulo de tiro.

En el programa interactivo, al pulsar sobre el botón Nuevo aparece un terreno cuyo perfil está trazado por una función cuyos coeficientes son números aleatorios. Sobre dicho terreno se sitúa el blanco también de forma aleatoria.

Antes de proceder a resolver numéricamente el problema, se usará el programa como un juego: dar en el blanco en el menor número de intentos posibles. Esto constituye una primera aproximación a la resolución del problema, ya que nos proporciona un conocimiento intuitivo de la situación física, permitiéndonos determinar el ángulo aproximado de tiro que acierta en el blanco. Además, se comprobará que existen dos posibles soluciones, dos ángulos de tiro que dan en el blanco. A veces, por el perfil del terreno, sólo es posible el ángulo que corresponde a la trayectoria más alta.

Descripción

El movimiento del proyectil es la composición de dos movimientos, uniforme a lo largo del eje X, y uniformemente acelerado a lo largo del eje Y.

Conocidas las coordenadas del blanco x e y, y la velocidad de disparo v₀, se despejará el ángulo de tiro θ.

Las componentes de la velocidad inicial son

$\begin{array}{l} v_{0 x} = v_{0} \cos θ \\ v_{0 y} = v_{0} \sin θ \end{array}$

Las ecuaciones del movimiento del proyectil son

$\begin{array}{l} x = v_{0} \cos θ t \\ y = y_{0} + v_{0} \sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2} \end{array}$

Conocida la posición (x, y) del blanco, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y θ. Eliminando t, y empleando la relación trigonométrica

$\frac{1}{\cos^{2} θ} = 1 + \tan^{2} θ$

nos queda una ecuación de segundo grado en tanθ

$(\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}}) \tan^{2} θ - x \tan θ + (\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}} + y) = 0$

La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, por tanto, dos ángulos de tiro dan en el blanco

Ejemplo

El applet nos proporciona los datos de la posición del blanco y la velocidad de disparo.

Posición del blanco x=159.7, y=151.7 m
Velocidad de disparo v₀=89.9 m/s

Con estos datos, la ecuación de segundo grado se escribe

13.46 tan²θ -159.7 tanθ +167.16=0

Las soluciones son

tanθ =9.15, θ =83.8º
tanθ =1.18, θ =49.8º

Introduciendo estos valores en el control de edición titulado ángulo de tiro daremos en el blanco.

Actividades

Usar el programa como un juego, para tratar de acertar en el blanco en el menor número de intentos.

Resolver al menos una situación numéricamente, introducir uno de los dos ángulos calculados en el control de edición titulado Angulo de tiro para acertar al primer intento, comprobándose de este modo que la solución es correcta.

Se pulsa el botón Nuevo para que el programa dibuje el perfil del terreno y sitúe aleatoriamente el blanco. La velocidad de disparo es un número aleatorio dentro de ciertos límites.
Se introduce el ángulo de tiro en el control de edición titulado Angulo de tiro
Se pulsa el botón titulado Disparar
Si no ha dado en el blanco, se vuelve a introducir un nuevo ángulo de tiro.
Se pulsa en el botón Borrar para limpiar el área de trabajo del applet cuando se hayan dibujado varias trayectorias.

CanonApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.