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El mecanismo de desintegración radioactiva

En un modelo simplificado de núcleo radiactivo, las partículas alfa de energía E se mueven hacia delante y hacia atrás entre dos barreras de potencial de altura V y anchura a tal como se ve en la figura. Desde el punto de vista de la Mecánica Clásica, ninguna partícula con energía E menor que V, puede escaparse al otro lado de las barreras, ya que atravesar una barrera supondría que la partícula tendría una energía cinética negativa, lo cual es imposible. Desde el punto de vista de la Mecánica Cuántica el comportamiento es totalmente distinto. Una micropartícula de energía E<V tiene una cierta probabilidad de penetrar una distancia x en la barrera de potencial, y esta probabilidad disminuye con x de forma exponencial.

FIG17_05.gif (2565 bytes)

Para barreras de anchura infinita la gráfica de la probabilidad de que la micropartícula penetre una distancia x, tiene la forma de la curva de la figura inferior, una exponencial decreciente.

p(x)=c·exp(-kx)

donde k es una constante que depende de la energía de la partícula, de la altura de la barrera, y de la masa de la micropartícula. Para partículas del mismo tipo alfa, podemos escribir.

k= VE

El factor de proporcionalidad c, se calcula teniendo en cuenta que el área bajo la curva es la unidad.

0 p(x)dx=1 c=k

FIG17_06.gif (2766 bytes)

La función que describe la probabilidad acumulada tendrá la forma que vimos en el apartado variable aleatoria continua,  y se calcula mediante la fórmula (3)

γ= 0 x p(x)dx γ=1exp(kx)

Dado un número γ uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1) podemos despejar la profundidad de la penetración x

x= 1 k ln(1γ)

Ahora bien, la barrera tiene una anchura finita, por tanto, si la distancia de penetración x es mayor que la anchura de la barrera la partícula se transmite al otro lado de la barrera y el núcleo se desintegra.

Se ha de advertir al lector, que éste es un modelo inexacto, ya que la probabilidad p(x) no es exactamente una exponencial decreciente para una barrera de anchura finita, sin embargo, el modelo explica el significado de la constante de desintegraciónλ.

        while(true){
            x=-Math.log(1-rnd.nextDouble())/k;
            if(x>ancho) break;	//se desintegra
            t++;
        }

La clase Nucleo que describe un núcleo radioactivo precisa dos datos, la altura de las barreras de potencial V y la anchura ancho, y tiene una función miembro denominada desintegracion, que devuelve el instante en el que se ha producido la desintegración de un núcleo particular, dicho instante es igual al número de veces que la partícula alfa ha intentado atravesar las barreras de potencial por "efecto túnel". Dado que el tiempo que tarda en desintegrarse un determinado núcleo puede ser muy grande si las barreras de potencial son anchas, se devuelve, un dato de tipo long, en vez de int.

public class Nucleo {
    private double V;      	 //altura de la barrera de potencial
    private double ancho;       //anchura de la barrera de potencial
//números aleatorios
    private Random rnd=new Random();

    public Nucleo(double V, double a) {
        this.V=V;
        ancho=a;
    }
    public long desintegracion(double energia){
        long t=0;
        double k=Math.sqrt(V-energia);
        double x;
        while(true){
            x=-Math.log(1-rnd.nextDouble())/k;
            if(x>ancho) break;
            t++;
        }
        return t;
    }
}

En la siguiente porción de código, se examina la desintegración de 10 núcleos radioactivos idénticos, cuyas barreras de potencial tienen una altura de 2 unidades de energía y una anchura de 3 unidades de longitud. Supongamos, que están en el mismo estado, de modo que la partícula alfa se mueve hacia adelante y hacia atrás en el interior del núcleo con una 1 unidad de energía.

        Nucleo nucleo=new Nucleo(2, 3);
        for(int i=0; i<10; i++){
            System.out.println("tiempo "+nucleo.desintegracion(1));
        }

Cuando se hacen varias pruebas se podrá comprobar que la desintegración de un núcleo particular es un suceso aleatorio, imprevisible, pero en valor medio, los núcleos cuyas barreras son más anchas precisan de mayor tiempo para que se desintegren.

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