
Movimiento de un vehículo propulsado por los proyectiles disparados
Consideremos un vehículo de masa M (un vagón) que se
mueve sobre dos raíles horizontales sin rozamiento. El vehículo dispone de un
cañón que dispara proyectiles de masa m paralelamente a los raíles y con
velocidad u medida respecto al vehículo.
Sobre el vehículo se disponen N proyectiles que se disparan consecutivamente. Calcularemos la velocidad final del vehículo vf una vez que se hayan disparado todos los proyectiles.
Descripción
La masa del vehículo vacío es M. Cuando hay n proyectiles sobre el vehículo su masa es M+n·m y su velocidad es vn. Se dispara un proyectil y la masa del vehículo disminuye a M+(n-1)m y su velocidad se incrementa a vn-1.
Aplicando el principio de conservación del momento lineal al sistema aislado formado por el vehículo y los proyectiles, relacionamos vn-1 y vn
El proyectil es disparado con velocidad -u respecto del vehículo o bien, con velocidad -u+vn respecto a Tierra
- El momento lineal antes del disparo es
pi=(M+n·m)vn
- El momento lineal después del disparo es
pf=(M+(n-1)m)·vn-1+m(-u+vn)
El trabajo de las fuerzas internas se invierte en cambiar la energía cinética del sistema formado por el vehículo y el proyectil disparado.
Disparos consecutivos
La velocidad inicial vN=0, cuando todos los proyectiles están sobre el vehículo.
Se dispara el primer proyectil
La velocidad del proyectil es
–u
La velocidad del vehículo es
El trabajo de las fuerzas internas es
Se dispara el segundo proyectil
La velocidad del proyectil es
La velocidad del vehículo es
El trabajo de las fuerzas internas es
Se dispara el tercer proyectil
La velocidad del proyectil es
La velocidad del vehículo es
El trabajo de las fuerzas internas es
Se dispara el último proyectil
La velocidad del proyectil es
La velocidad final del vehículo es
El trabajo de las fuerzas internas es
Trabajo de las fuerzas internas
La energía cinética final del sistema formado por el vehículo de masa M y los N proyectiles disparados es
Esta es la suma de los trabajos realizados por las fuerzas internas en cada disparo
Ejemplo 1:
- Masa del vehículo vacío M=20 kg
- Masa del proyectil m=1 kg
- Velocidad de disparo del proyectil respecto del vehículo u=10 m/s
- Número de proyectiles N=4.
El vehículo de masa M+N·m=24 kg parte del reposo
Después del disparo | Velocidad del proyectil | Velocidad del vehículo (masa) | Trabajo de las fuerzas internas |
1º | -10 | 0.4348 (23) | 52.17 |
2º | -9.5652 | 0.8893 (22) | 52.27 |
3º | -9.1107 | 1.3655 (21) | 52.38 |
4º | -8.6345 | 1.8655 (20) | 52.5 |
Total | 209.32 |
El trabajo de las fuerzas internas es igual a la diferencia entre la energía cinética después del disparo del proyectil y del vehículo y la energía cinética del vehículo antes del disparo. Por ejemplo, en el segundo disparo
Energía cinética final del sistema es la suma de la energía cinética de los cuatro proyectiles y la energía cinética final del vehículo
El trabajo de las fuerzas internas es
Ejemplo 2:
- Masa del vehículo vacío M=50 kg
- Masa del proyectil m=0.7 kg
- Velocidad de disparo del proyectil respecto del vehículo u=10 m/s
- Número de proyectiles N=16.
Velocidad final del vehículo
Actividades
Se introduce
- La masa M del vehículo vacío, en el control de edición titulado Masa vacío
- La masa m del proyectil, en el control de edición titulado Masa bala
- El número N de proyectiles, actuando en la barra de desplazamiento titulada Número de balas
- Velocidad de disparo del proyectil respecto del vehículose ha fijado en u=10 m/s
Se pulsa el botón titulado Empieza
Los proyectiles se disparan consecutivamente separados un segundo
Se observa el movimiento del vehículo
En la parte superior del applet, se representa la velocidad del vehículo en función del número de disparo.
Cuando se han terminado de disparar todos los proyectiles el vehículo se mueve con velocidad constante.
Referencias
Brun J. L. Motion of a trolley powered by ejecting balls. Eur. J. Phys. 27 (2006) pp. 1357-1362