El cohete "perfecto"

Los cohetes que usan combustibles de tipo químico proporcionan un empuje u·D constante. Siendo u la velocidad de salida de los gases (en el Sistema de Referencia en el cohete) y D el combustible expulsado en la unidad de tiempo. Si el cohete se mueve con velocidad v, la velocidad de los gases respecto del observador terrestre es v-u, que no es constante. Esta solución no es la más eficiente, aunque sea la más utilizada.

En esta página, vamos a estudiar el denominado cohete "perfecto" definido como aquél en el que la velocidad de salida de los gases u₀ medida por el observador terrestre es constante. Por tanto, un cohete "perfecto" necesita de un motor que proporcione una velocidad variable de salida de los gases, que se incremente a medida que el cohete acelera.

Los cohetes del futuro probablemente dejarán de emplear combustibles químicos, y usarán aceleradores de iones, láseres, o motores nucleares, etc. que podrían aumentar de este modo el rendimiento del cohete.

Conservación del momento lineal

Como se ha mencionado en la introducción a esta página y como se muestra en la figura, la velocidad de los gases expulsados respecto del observador terrestre es constante e igual a u₀. La velocidad de salida de los gases para el observador situado en el cohete vale u₀+v, si la velocidad del cohete es v.

La conservación del momento lineal aplicada al sistema aislado formado por el cohete (de masa m y velocidad v) y los gases expulsados hasta el instante t, (masa m₀-m y velocidad u₀) es

mv-(m₀-m)u₀=0

La ecuación del movimiento del cohete es muy simple

$v = \frac{m_{0} - m}{m} u_{0} = \frac{D t}{m_{0} - D t} u_{0}$

Siendo D la masa de combustible quemado en la unidad de tiempo.

Integrando, obtenemos la posición del cohete en función del tiempo (hay que integrar dos veces por partes)

$x = \int_{0}^{t} v \cdot d t = \frac{u_{0}}{D} [m_{0} \ln \frac{m_{0}}{m_{0} - D t} - D t]$

Balance energético

Energía cinética del cohete

$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} (m_{0} - D t) v^{2}$

Energía cinética de los gases expulsados desde el instante t=0, al instante t.

$E_{g} = \frac{1}{2} D t \cdot u_{0}^{2}$

Energía cinética total del sistema aislado formado por el cohete y los gases

$E_{c} + E_{g} = \frac{1}{2} D t \frac{m_{0}}{m_{0} - D t} u_{0}^{2}$

Rendimiento

$η = \frac{E_{c}}{E_{c} + E_{g}} = \frac{D t}{m_{0}}$

El rendimiento del cohete es grande, siempre que la masa final o carga útil que transporta m=m₀-Dt (masa inicial menos combustible quemado) sea pequeña comparada con la masa inicial m₀.

Ejemplo

Combustible total en el cohete 9000 kg
Carga útil que transporta 800 kg
Combustible quemado por segundo D=1000 kg/s
Velocidad inicial de salida de los gases u₀=2000 m/s
Masa del recipiente que contiene el combustible 5% de la masa del combustible

Masa total del cohete=carga útil+combustible+masa del recipiente

m₀=800+9000+0.05·9000=10250 kg

Tiempo que tarda en agotarse el combustible

Como hay 9000 kg de combustible que se queman a razón de 1000 kg/s. Luego, el combustible se agota en 9 s.

Velocidad máxima alcanzada por el cohete

$v = \frac{D t}{m_{0} - D t} u_{0} = \frac{1000 \cdot 9}{10250 - 1000 \cdot 9} = 14400 m/s$

En un cohete normal, la velocidad de salida de los gases respecto del cohete es constante (recta de color azul). En un cohete perfecto, el motor impulsor ha de estar diseñado de modo que la velocidad v+u₀ de salida de los gases respecto del cohete (curva de color rojo) tiene que aumentar con el tiempo en la forma indicada en la figura

Rendimiento cuando se ha agotado todo el combustible

$η = \frac{D t}{m_{0}} = \frac{1000 \cdot 9}{10250} = 87.8 %$

Desplazamiento al cabo de 9 s.

$\begin{array}{l} = \frac{u_{0}}{D} [m_{0} \ln \frac{m_{0}}{m_{0} - D t} - D t] \\ x = \frac{2000}{1000} [10250 \cdot \ln (\frac{10250}{10250 - 9000}) - 9000] = 25135 m \end{array}$

Actividades

Se introduce.

El combustible c, en el control de edición titulado Combustible total en el cohete
La carga útil que transporta, en el control de edición titulado Carga útil que transporta
La cantidad D de combustible que se quema por segundo, en el control de edición titulado Combustible quemado por seg.
La velocidad inicial de salida de los gases se ha fijado en u=2000 m/s
La masa del recipiente que contiene el combustible se ha fijado en el 5% de la masa del combustible

Se pulsa el botón titulado Empieza

El applet simula un cohete perfecto, de modo que la velocidad de salida de los gases siempre es constante para el observador terrestre pero crece en el sistema de referencia del cohete a medida que éste se acelera.

En la cola del cohete se dibuja una flecha que señala la fuerza de empuje u·D=(u₀+v)·D. El empuje va aumentando a medida que aumenta la velocidad de salida de los gases u₀+v en el Sistema de Referencia en el cohete.

El cohete que estudiaremos, expulsará una cantidad constante D de combustible en la unidad de tiempo

Se sugiere al lector que compare el comportamiento de dos cohetes con la misma carga y la misma cantidad de combustible, y el mismo valor para el parámetro D (combustible quemado por segundo).

Cuando la velocidad de salida de los gases es constante en el sistema de referencia del cohete
Cuando la velocidad de salida de los gases es constante en el sistema de referencia terrestre (cohete perfecto)

Referencias

Gowdy, R.H. The physics of perfect rockets. Am. J. Phys. 63 (3) March 1995, pp. 229-232.