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Cohete con aceleración constante

Si queremos que el cohete viaje con aceleración constante a, la masa de gas expulsada por segundo D, deja de ser constante

${\displaystyle v=\frac{Dt}{m_0-Dt}{u}_0=atD=\frac{m_{0}a}{u_0+at}}$

Para que la aceleración a sea constante D debe variar con el tiempo de la forma indicada en la figura. Los datos son los del ejemplo de más abajo.

La energía total del cohete más la de los gases expulsados será

${\displaystyle E_k=\frac{1}{2}Dt\frac{m_0}{m_0-Dt}{u}_0^2=\frac{1}{2}{m}_0{u}_{0}at}$

La potencia (energía por unidad de tiempo) suministrada por el motor es constante

${\displaystyle P=\frac{1}{2}{m}_0{u}_{0}a}$

Ejemplo

Supongamos un cohete con una masa inicial de 10000 kg y que la velocidad inicial de salida de los gases de1000 m/s, la potencia de su motor es de 50·10⁶ W. Determinar, su velocidad al cabo de 5 minutos, la distancia que habrá recorrido y la masa de combustible que ha gastado.

1. En la fórmula de la potencia P, despejamos la aceleración

m₀=10000 kg
u₀=1000 m/s
P=50·10⁶ W

El resultado es a=10 m/s²

2. La velocidad al cabo de 5 minutos ó 300 s es v=10·300=3000 m/s

3. La distancia que ha viajado

${\displaystyle x=\frac{1}{2}a{t}^2=450\text{km}}$

4. Combustible quemado en el tiempo t=300 s.

${\displaystyle \begin{array}{l}D=\frac{dm}{dt}=\frac{m_{0}a}{u_0+at}=\frac{10000·10}{1000+10·t}=\frac{1000}{100+t}\text{kg/s}\\ m={\displaystyle \underset{\text{0}}{\overset{\text{300}}{\int }}\frac{1000}{100+t}dt}=10000·\ln 4\text{kg}\end{array}}$

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