Movimiento de un objeto bajo la acción de una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y al cuadrado de la velocidad.

En las páginas anteriores, hemos estudiando el movimiento de caída de un cuerpo bajo la acción de su peso y de una fuerza de rozamiento en los dos casos en los que es posible obtener expresiones analíticas para la evolución de la velocidad en función del tiempo y de la posición (altura) del móvil en función del tiempo.

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad
La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad

La fórmula general de la fuerza de rozamiento de un cuerpo de densidad ρ que se mueve en el seno de un fluido de densidad ρ_f y viscosidad η es

$F_{r} = \frac{1}{2} C_{d} ρ_{f} A v^{2}$

Donde C_d se denomina coeficiente de arrastre, A es el área de la sección transversal al movimiento (en el caso de una esfera es πR²) y v es la velocidad.

El coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds, Re. Este número que es importante para definir la transición del flujo laminar al turbulento, se define como

$Re = \frac{ρ_{f} l v}{η}$

donde l representa la longitud del objeto medida a lo largo de su sección transversal (en el caso de una esfera es 2R).

Para un amplio intervalo de números Re, la dependencia la forma funcional del coeficiente de arrastre C_d se puede escribir.

$C_{d} \approx \frac{24}{Re} + \frac{6}{1 + \sqrt{Re}} + 0.4$

Para pequeños números Re<1, el primer término domina. La fuerza de rozamiento sobre un cuerpo de forma esférica de radio R la podemos escribir

$F_{r} = \frac{1}{2} \frac{24}{Re} ρ_{f} (π R^{2}) v^{2} = 6 π η R v$

Que es la conocida fórmula de Stokes. La fuerza de rozamiento sobre un objeto de forma esférica que se mueve en un medio es proporcional a la velocidad.

Para grandes números Re, en el intervalo 1000<Re<20000, el coeficiente de arrastre C_d es aproximadamente constante C_d≈0.4. La fuerza de sobre un objeto de forma esférica que se mueve en un medio es proporcional al cuadrado de la velocidad.

F_r=0.2ρ_fπR²v²

En esta página, vamos a considerar el caso de un cuerpo que se mueve a lo largo del eje X, bajo la acción de una fuerza de rozamiento que es una combinación de una fuerza proporcional a la velocidad y otra proporcional al cuadrado de la velocidad.

Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad

La ecuación del movimiento del cuerpo a lo largo del eje X es

$\begin{array}{l} m \frac{d v}{d t} = - 6 π η R v \\ \frac{d v}{d t} = - \frac{6 π η R}{ρ \frac{4}{3} π R^{3}} v = - \frac{9 η}{2 ρ R^{2}} v \\ \frac{d v}{d t} = - \frac{1}{τ} v τ = \frac{2 ρ R^{2}}{9 η} \end{array}$

ρ es la densidad del cuerpo y η es la viscosidad del fluido

La solución de esta ecuación diferencial con la condición inicial t=0, v=v₀es

v=v₀·exp(-t/τ)

Integrando con respecto del tiempo obtenemos la posición x del móvil en función del tiempo t

$\begin{array}{l} \frac{d x}{d t} = v_{0} \exp (- t / τ) \\ x = \int_{0}^{t} v_{0} \exp (- t / τ) d t = v_{0} τ (1 - \exp (- t / τ)) \end{array}$

Cuando t→∞, la posición final del objeto tiende a x→v₀τ

Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad

La ecuación del movimiento del cuerpo a lo largo del eje X es

$\begin{array}{l} m \frac{d v}{d t} = - 0.2 ρ_{f} π R^{2} v^{2} \\ \frac{d v}{d t} = - \frac{0.2 ρ_{f} π R^{2}}{ρ \frac{4}{3} π R^{3}} v^{2} = - \frac{3 ρ_{f}}{20 ρ R} v^{2} \\ \frac{d v}{d t} = - \frac{1}{τ v_{c}} v^{2} v_{c} = \frac{30 η}{ρ_{f} R} \end{array}$

ρ_f es la densidad y η es la viscosidad del fluido

La solución de esta ecuación diferencial con la condición inicial t=0, v=v₀es

$\frac{1}{v} = \frac{1}{v_{0}} + \frac{t}{v_{c} τ} v = \frac{v_{0} (v_{c} τ)}{(v_{c} τ) + v_{0} t}$

Cuando v₀>>v_c, en un tiempo corto t=τ la fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad hace que ésta se reduzca a aproximadamente v_c.

Integrando con respecto del tiempo obtenemos la posición x del móvil en función del tiempo t

$x = \int_{0}^{t} \frac{v_{0} v_{c} τ}{v_{c} τ + v_{0} t} d t = v_{c} τ \ln (1 + \frac{v_{0} t}{v_{c} τ})$

La fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y al cuadrado de la velocidad

La ecuación del movimiento del cuerpo a lo largo del eje X es

$\frac{d v}{d t} = - \frac{1}{τ} v - \frac{1}{τ v_{c}} v^{2}$

Haciendo un cambio de variable, obtenemos una ecuación diferencial fácil de integrar

$u = \frac{1}{v} + \frac{1}{v_{c}} \frac{d u}{d t} = \frac{u}{τ}$

La solución de esta ecuación diferencial con la condición inicial t=0, v=v₀es

$\begin{array}{l} u = u_{0} \exp (t / τ) \\ \frac{1}{v} + \frac{1}{v_{c}} = (\frac{1}{v_{0}} + \frac{1}{v_{c}}) \exp (t / τ) \\ v = \frac{v_{0} v_{c}}{(v_{0} + v_{c}) \exp (t / τ) - v_{0}} \end{array}$

Cuando t→∞, la velocidad final del objeto tiende a cero

Integrando con respecto del tiempo, obtenemos la posición x del móvil en función del tiempo t

$x = \int_{0}^{t} \frac{v_{0} v_{c}}{(v_{0} + v_{c}) \exp (t / τ) - v_{0}} d t$

Hacemos el cambio de variable

$\begin{array}{l} u = (v_{0} + v_{c}) \exp (t / τ) - v_{0} \\ d u = \frac{u + v_{0}}{τ} d t \\ v_{0} v_{c} τ \int \frac{d u}{u (u + v_{0})} = v_{c} τ \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{u + v_{0}}) d u = v_{c} τ \ln \frac{u}{u + v_{0}} \end{array}$

Deshaciendo el cambio de variable y evaluando la integral entre los limites 0 y t, obtenemos

$x = v_{c} τ \ln (\frac{v_{0}}{v_{c}} (1 - \exp (- t / τ)) + 1)$

Cuando t→∞, la posición final del objeto tiende a

$x \to v_{c} τ \ln (\frac{v_{0}}{v_{c}} + 1)$

Ejemplo

Velocidad inicial, v₀=10.0 m/s
Parámetros, v_c=8 m/s y τ=9 s

En el instante t=3 s

$\begin{array}{l} v = \frac{v_{0} v_{c}}{(v_{0} + v_{c}) \exp (t / τ) - v_{0}} \\ v = \frac{10 \cdot 8}{(10 + 8) \exp (3 / 9) - 10} = 5.29 m/s \\ x = v_{c} τ \ln (\frac{v_{0}}{v_{c}} (1 - \exp (- t / τ)) + 1) \\ x = 8 \cdot 9 \ln (\frac{10}{8} (1 - \exp (- 3 / 9)) + 1) = 21.83 m \end{array}$

Cuando t→∞, la posición final del objeto tiende a

$\begin{array}{l} v \to 0 \\ x \to v_{c} τ \ln (\frac{v_{0}}{v_{c}} + 1) \\ x \to 8 \cdot 9 \ln (\frac{10}{8} + 1) = 58.39 m \end{array}$

Actividades

Se selecciona el botón de radio:

Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, V.
Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, V2
Combinación de ambas fuerzas, ambas

Se introduce

El valor de la velocidad v_c, actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad
El valor de la constante de tiempo τ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Tiempo.
La velocidad inicial del cuerpo de forma esférica se ha fijado en v₀=10 m/s

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento del objeto a lo largo del eje X, hasta que alcanza la posición final.

Cuando la fuerza es proporcional a la velocidad, el comportamiento del móvil solamente depende del parámetro τ.
Cuando la fuerza es proporcional al cuadrado de la velocidad, el comportamiento del móvil solamente depende del producto v_c·τ. Por ejemplo: introducir primero v_c=1, τ=7 y después, v_c=7, τ=1.
Cuando la fuerza es una combianción de ambas, el comportamiento del móvil depende de los dos parámetros.

Referencias

Saslow M. W., Hong Lu. Newton on objects moving in a fluid-the penetration length. Eur. J. Phys. 29 (2008) pp. 689-696.