Movimiento de un objeto bajo la acción de una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y al cuadrado de la velocidad.
En las páginas anteriores, hemos estudiando el movimiento de caída de un cuerpo bajo la acción de su peso y de una fuerza de rozamiento en los dos casos en los que es posible obtener expresiones analíticas para la evolución de la velocidad en función del tiempo y de la posición (altura) del móvil en función del tiempo.
- La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad
- La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad
La fórmula general de la fuerza de rozamiento de un cuerpo de densidad ρ que se mueve en el seno de un fluido de densidad ρf y viscosidad η es
Donde Cd se denomina coeficiente de arrastre, A es el área de la sección transversal al movimiento (en el caso de una esfera es πR2) y v es la velocidad.
El coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds, Re. Este número que es importante para definir la transición del flujo laminar al turbulento, se define como
donde l representa la longitud del objeto medida a lo largo de su sección transversal (en el caso de una esfera es 2R).
Para un amplio intervalo de números Re, la dependencia la forma funcional del coeficiente de arrastre Cd se puede escribir.
- Para pequeños números Re<1, el primer término domina. La fuerza de rozamiento sobre un cuerpo de forma esférica de radio R la podemos escribir
- Para grandes números Re, en el intervalo 1000<Re<20000, el coeficiente de arrastre Cd es aproximadamente constante Cd≈0.4. La fuerza de sobre un objeto de forma esférica que se mueve en un medio es proporcional al cuadrado de la velocidad.
Que es la conocida fórmula de Stokes. La fuerza de rozamiento sobre un objeto de forma esférica que se mueve en un medio es proporcional a la velocidad.
Fr=0.2ρfπR2v2
En esta página, vamos a considerar el caso de un cuerpo que se mueve a lo largo del eje X, bajo la acción de una fuerza de rozamiento que es una combinación de una fuerza proporcional a la velocidad y otra proporcional al cuadrado de la velocidad.
Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad
La ecuación del movimiento del cuerpo a lo largo del eje X es
ρ es la densidad del cuerpo y η es la viscosidad del fluido
La solución de esta ecuación diferencial con la condición inicial t=0, v=v0 es
v=v0·exp(-t/τ)
Integrando con respecto del tiempo obtenemos la posición x del móvil en función del tiempo t
Cuando t→∞, la posición final del objeto tiende a x→v0τ
Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad
La ecuación del movimiento del cuerpo a lo largo del eje X es
ρf es la densidad y η es la viscosidad del fluido
La solución de esta ecuación diferencial con la condición inicial t=0, v=v0 es
Cuando v0>>vc, en un tiempo corto t=τ la fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad hace que ésta se reduzca a aproximadamente vc.
Integrando con respecto del tiempo obtenemos la posición x del móvil en función del tiempo t
La fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y al cuadrado de la velocidad
La ecuación del movimiento del cuerpo a lo largo del eje X es
Haciendo un cambio de variable, obtenemos una ecuación diferencial fácil de integrar
La solución de esta ecuación diferencial con la condición inicial t=0, v=v0 es
Cuando t→∞, la velocidad final del objeto tiende a cero
Integrando con respecto del tiempo, obtenemos la posición x del móvil en función del tiempo t
Hacemos el cambio de variable
Deshaciendo el cambio de variable y evaluando la integral entre los limites 0 y t, obtenemos
Cuando t→∞, la posición final del objeto tiende a
Ejemplo
- Velocidad inicial, v0=10.0 m/s
- Parámetros, vc=8 m/s y τ=9 s
En el instante t=3 s
Cuando t→∞, la posición final del objeto tiende a
Actividades
Se selecciona el botón de radio:
- Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, V.
- Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, V2
- Combinación de ambas fuerzas, ambas
Se introduce
- El valor de la velocidad vc, actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad
- El valor de la constante de tiempo τ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Tiempo.
- La velocidad inicial del cuerpo de forma esférica se ha fijado en v0=10 m/s
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa el movimiento del objeto a lo largo del eje X, hasta que alcanza la posición final.
- Cuando la fuerza es proporcional a la velocidad, el comportamiento del móvil solamente depende del parámetro τ.
- Cuando la fuerza es proporcional al cuadrado de la velocidad, el comportamiento del móvil solamente depende del producto vc·τ. Por ejemplo: introducir primero vc=1, τ=7 y después, vc=7, τ=1.
- Cuando la fuerza es una combianción de ambas, el comportamiento del móvil depende de los dos parámetros.
Referencias
Saslow M. W., Hong Lu. Newton on objects moving in a fluid-the penetration length. Eur. J. Phys. 29 (2008) pp. 689-696.